1、导数及其应用导数及其应用 一、单选题 1（2021 四川成都市 石室中学高三三模）已知函数 2xf xaex的图象在点 1,1Mf处的切线方程是22yexb，那么ab（ ） A2 B1 C1 D2 2（2021 江苏高三其他模拟）已知曲线323yxx上一点1,5A，则 A 处的切线斜率等于 A9 B1 C3 D2 3（2021 全国高三其他模拟）曲线22sinxyexx在0 x处的切线方程为（ ） A3yx B2yx C21yx D31yx=+ 4（2021 四川自贡市 高三三模（理）已知点,P a b是曲线 C：y321132xx+1 上的点，曲线 C 在点P 处的切线平行于直线 6x3y7
2、0，则实数 a 的值为（ ） A1 B2 C1 或 2 D1 或2 5（2021 河南南阳市 高二其他模拟 （理） ） 已知函数2( )ln21f xxxx， 则曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程为（ ） A0 xy B20 xy C210 xy D240 xy 6（2021 全国高三其他模拟 （理） ） 已知实数, a b满足23,ab则下列不等关系中一定成立的是 （ ） A331515abba B331515abba C22abba D22abba 7（2021 全国高三其他模拟）已知函数 f（x）ln xxex，则下列说法正确的是（ ） Af（x）无极大值，也无极小值 Bf（x）有
3、极大值，也有极小值 Cf（x）有极大值，无极小值 Df（x）无极小值，有极大值 8（2021 辽宁实验中学高三其他模拟）已知实数x，y，z满足lnyxexye且1lnzxezex，若1y ，则（ ） Axyz Bxzy Cyzx Dyxz 9 （2021 全国高三其他模拟（理）已知1,1ab，且111abeeab，则下列结论一定正确的是（ ） Aln2ab Bln0ab C122ab D3222ab 10（2021 安徽省泗县第一中学高三其他模拟（理）若点P是曲线2ln1yxx上任意一点，则点P到直线3yx的最小距离为（ ） A1 B22 C2 D2 11（2021 全国高三其他模拟（理）已知
4、函数21( )3121xxf xx，且2(34)2f afa，则实数 a 的取值范围是（ ） A( 4,1) B( 3,2) C(0,5) D( 1,4) 12 （2021 全国高三其他模拟（理）已知函数 22211,01ln ,02xaxxf xaxxx x在R上恰有三个极值点，则实数a的取值范围是（ ） A11,2 B1,02 C1,2e D, 0e 二、填空题 13（2021 全国高三其他模拟 （理） ） 已知函数2( )2lnf xxxx在点(1,2)处的切线方程为0 xmyt ，则 t=_. 14（2021 福建三明市 三明一中高三其他模拟）函数 2sinsin2f xxx，0,2x
5、的单调递增区间为_ 15（2021 浙江宁波市 镇海中学高三其他模拟）我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算 设 2xf xe， 则 fx_， 其在点0,1处的切线方程为_ 16（2021 全国高三其他模拟（理）函数2( )ln22axf xxx（aR）在1,116内不存在极值点，则 a 的取值范围是_ 导数及其应用导数及其应用 一、单选题 1（2021 四川成都市 石室
6、中学高三三模）已知函数 2xf xaex的图象在点 1,1Mf处的切线方程是22yexb，那么ab（ ） A2 B1 C1 D2 【答案】D 【分析】 根据导数的几何意义确定斜率与切点即可求解答案. 【详解】 因为 2xf xaex，所以( )2xfxaex，因此切线方程的斜率(1)2kfae， 所以有222aee，得2a， 又切点在切线上，可得切点坐标为(1,22)eb， 将切点代入( )f x中，有(1)2122feeb ，得1b， 所以2ab. 故选：D. 2（2021 江苏高三其他模拟）已知曲线323yxx上一点1,5A，则 A 处的切线斜率等于 A9 B1 C3 D2 【答案】A 【
7、分析】 求出函数323yxx的导数，然后在导数中令1x ，可得出所求切线的斜率. 【详解】 对函数323yxx求导得263yx，故该曲线在点A处的切线斜率为26 139， 故选 A. 【点睛】 本题考查导数的几何意义，考查利用导数求切线的斜率，解题时要熟知导数的几何意义，考查对导数概念的理解，属于基础题. 3（2021 全国高三其他模拟）曲线22sinxyexx在0 x处的切线方程为（ ） A3yx B2yx C21yx D31yx=+ 【答案】D 【分析】 根据导数的几何意义，求0 x处切线的斜率并求对应的函数值，直接写出切线方程即可. 【详解】 依题意，22cos2xyexx，则03xy，
8、而当0 x时，1y ， 故所求切线方程为13yx ，即31yx=+， 故选：D. 4（2021 四川自贡市 高三三模（理）已知点,P a b是曲线 C：y321132xx+1 上的点，曲线 C 在点P 处的切线平行于直线 6x3y70，则实数 a 的值为（ ） A1 B2 C1 或 2 D1 或2 【答案】A 【分析】 求出导函数并把xa代入令其值等于 2 可求得a可得答案. 【详解】 y321132xx+1，2yxx， 曲线 C 在点 P 处的切线平行于直线 6x3y70， 结合题意得：2|2x ayaa，解得：a2 或1a， 当2a时，32115223213b， 切点坐标为2,35，代入5
9、6 23703 ，所以不合题意，舍去， 当1a时，32111113216b ， 切点坐标为11,6，代入1613706 ， 故选：A 5（2021 河南南阳市 高二其他模拟 （理） ） 已知函数2( )ln21f xxxx， 则曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程为（ ） A0 xy B20 xy C210 xy D240 xy 【答案】A 【分析】 根据导数的几何意义求解切线的斜率，最后写出切线方程即可. 【详解】 因为( )2 ln2fxxxx，所以(1)121f 因为 11f ，所以曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程为11yx ， 即0 xy故选：A. 【点睛】 本题主要考查导
10、数的几何意义， 导数在切点处的取值为切线的斜率， 这类问题需要注意题目中的关键信息，是在这个点处还是过这个点，注意区别对待. 6（2021 全国高三其他模拟 （理） ） 已知实数, a b满足23,ab则下列不等关系中一定成立的是 （ ） A331515abba B331515abba C22abba D22abba 【答案】D 【分析】 构造函数 315f xxx，求导分析单调性可判断 A，B；构造函数 2xg xx根据单调性可判断 C，D 【详解】 设 315f xxx，则 235fxx， 当2, 5x时， 2350fxx；当5,3x时， 2350fxx， 所以 f x在2, 5上单调减，
11、在5,3上单调增，因为23ab，故 f a与( )f b大小不定，所以 A，B 错； 设 2xg xx ，则 22ln21xxgxx，当2,3x时， 22ln210 xxgxx 所以 2xg xx在2,3上单调增，因为23ab，所以 g ag b，则22abab 得22abba，故 D 正确 故选：D 7（2021 全国高三其他模拟）已知函数 f（x）ln xxex，则下列说法正确的是（ ） Af（x）无极大值，也无极小值 Bf（x）有极大值，也有极小值 Cf（x）有极大值，无极小值 Df（x）无极小值，有极大值 【答案】C 【分析】 求导判断函数的单调性，但由于21 lnxxx e不容易判断
12、正负，所以需要二次求导来判断. 【详解】 因为 lnxxf xex，所以 2221ln11 lnxxxxxx exfxexx ， 令 21 lnxh xxx e ， 221122xxxxh xxex exex exx ， 因为0 x，所以210,20,0 xxxex ex，即2120 xxxex ex，故 0h x， 所以 h x在0,上单调递减， 又因为 110he ， 112211220eeheeee ， 所以存在唯一的01,1xe，使得002001 ln0 xh xxx e ， 所以 f x在00,x上单调递增，在0,x 上单调递减， 所以 f（x）有极大值，无极小值. 故选：C. 8（
13、2021 辽宁实验中学高三其他模拟）已知实数x，y，z满足lnyxexye且1lnzxezex，若1y ，则（ ） Axyz Bxzy Cyzx Dyxz 【答案】D 【分析】 首先根据题中的条件得到0yzeeyz，从而得到0z ；再根据1x 时lnxx得到yxeeyx，结合函数( )1xeg xxx的单调性得到yx，从而得到yxz. 【详解】 由lnyxexye得lnyxeeyx， 由1lnzxezex得1lnzxeexz， 两式相加得0yzeeyz，因为1y ，0ye ，所以0zez，又因为0ze ，所以0z ； 因为lnyxeeyx，1y ，所以0lnxex，即ln0 x，所以1x ；
14、令( )lnf xxx1x ，则11( )1xfxxx ，当1,x时，( )0fx， 所以( )lnf xxx在1,内单调递增，即lnxx， 所以lnyxxeeeyxx，即yxeeyx， 又令( )1xeg xxx，则221( )1xxxxexxeeg xxx， 当1x 时，( )0g x，所以( )xeg xx在1,内单调递增，所以由yxeeyx，得到yx. 所以yxz. 故选：D. 9 （2021 全国高三其他模拟（理）已知1,1ab，且111abeeab，则下列结论一定正确的是（ ） Aln2ab Bln0ab C122ab D3222ab 【答案】B 【分析】 1,1ab， 且111a
15、beeab， 即1111abeeabb得11011abeeabb， 构造函数 ,1xef xxx，求导后利用导数的正负求得函数单调递增，利用 10f af b得1a b ，结合赋值法即可判断出结果. 【详解】 1,1ab，且111abeeab，即1111abeeabb得11011abeeabb 设 ,1xef xxx， 则 210 xexfxx恒成立， f x在1,上单调递增， 1f af b11011abeeabb， 1ab，即1a b ， 故ln0ab，B 正确； 令4,2ab满足1a b ，但ln2ab不成立，故 A 错误； 令4,2ab满足1a b ，122ab不成立，故 C 错误；
16、令4,2ab满足1a b ，3222ab不成立，故 D 错误； 故选：B. 10（2021 安徽省泗县第一中学高三其他模拟（理）若点P是曲线2ln1yxx上任意一点，则点P到直线3yx的最小距离为（ ） A1 B22 C2 D2 【答案】C 【分析】 由已知可知曲线2ln1yxx在点P处的切线与直线3yx平行，利用导数求出点P的坐标，利用点到直线的距离公式可求得结果. 【详解】 因为点P是曲线2ln1yxx任意一点，所以当点P处的切线和直线3yx平行时，点P到直线的3yx的距离最小， 因为直线3yx的斜率等于1，曲线2ln1yxx的导数12yxx ， 令1y ，可得1x 或12x （舍去），所
17、以在曲线2ln1yxx与直线3yx平行的切线经过的切点坐标为1,0， 所以点P到直线3yx的最小距离为1 322d. 故选：C. 【点睛】 关键点点睛：本题考查曲线上的点到直线距离的最小值的求解，解题的关键在于分析出曲线在点P处的切线与直线平行，进而利用导数求解. 11（2021 全国高三其他模拟（理）已知函数21( )3121xxf xx，且2(34)2f afa，则实数 a 的取值范围是（ ） A( 4,1) B( 3,2) C(0,5) D( 1,4) 【答案】A 【分析】 令21( )321xxg xx可得( )( )1f xg x，将所求不等式等价于2(34)0g aga，再根据(
18、)g x为奇函数且为减函数，从而得到243aa，解不等式即可得到答案； 【详解】 解：令21( )321xxg xx，则( )( )1f xg x， 2(34)2f afa，2(34)0g aga， 2121()3()3( )2121xxxxgxxxg x ，( )g x是 R 上的奇函数， 2(34)0g aga可化为2(43 )g aga， 又212( )3132121xxxg xxx ，22 2 ln21ln2( )32ln23301221222xxxxg x 所以( )g x在 R 上是减函数，243aa，解得，41a ， 故选：A 12 （2021 全国高三其他模拟（理）已知函数 2
19、2211,01ln ,02xaxxf xaxxx x在R上恰有三个极值点，则实数a的取值范围是（ ） A11,2 B1,02 C1,2e D, 0e 【答案】A 【分析】 先分析 21ln02g xaxxx x极值点的最多个数， 然后根据2211xayx极值点的最多个数确定出极值点个数的分布情况，由此得到关于a的不等式组，从而求解出a的取值范围. 【详解】 设 21ln02g xaxxx x， ln10g xaxxx，令 0g x，所以ln1xax ， 设 ln10 xh xxx， 2ln xh xx， 当0,1x时， 0h x， h x单调递增， 当1,x时， 0h x， h x单调递减，
20、所以 max11h xh， 且当1x 时， 0h x ，10 xe时， 0h x ， 所以方程ln1xax 最多仅有两个解， 又因为2211xayx在,0上最多仅有一个极值点， 所以 g x有两个极值点，2211xayx有一个极值点； 当方程ln1xax 有两个解时，0,1a ，所以1,0a ， 当2211xayx在,0有一个极值点时，2102a ，所以12a ， 综上可知，若要使 f x在R上恰有三个极值点，则11,2a ， 故选：A. 二、填空题 13（2021 全国高三其他模拟 （理） ） 已知函数2( )2lnf xxxx在点(1,2)处的切线方程为0 xmyt ，则 t=_. 【答案
21、】13 【分析】 求得 f x在1x 处导数，即可求出m，再将(1,2)代入切线求得m. 【详解】 Q2( )2lnf xxxx， 4ln1fxxx， 13f ，13m，即13m ， 又(1,2)为切点，11203t ，解得13t . 故答案为：13. 14（2021 福建三明市 三明一中高三其他模拟）函数 2sinsin2f xxx，0,2x的单调递增区间为_ 【答案】(0,)3；（区间两端开闭都可以） 【分析】 利用三角恒等变换得322sin1 sinyxx，再利用换元法设sin0,1tx，利用导数和复合函数的单调性解不等式30sin2x，即可得到答案； 【详解】 令2232sinsin2
22、2sin cossin2sin1 sinyxxxxxxx， 设sin0,1tx，则32( )21h ttt， 22326121h ttttt， 22422422222612234261111ttttttttttt，0.1)t， 3( )002h tt ， 30sin023xx， ( )f x在区间(0,)3单调递增. 故答案为：(0,)3. 【点睛】 本题考查复合函数的单调性与导数的结合，考查运算求解能力，求解时注意复合函数的单调性是同增异减的原则. 15（2021 浙江宁波市 镇海中学高三其他模拟）我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼
23、”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算 设 2xf xe， 则 fx_， 其在点0,1处的切线方程为_ 【答案】22xxe 1y 【分析】 利用复合函数的求导法则可求得 fx，利用导数的几何意义可求得曲线 yf x在点0,1处的切线方程. 【详解】 2xfxeQ，故 2222xxfxxexe，则 00f. 故曲线 yf x在点0,1处的切线方程为1y . 故答案为：22xxe；1y . 16（2021 全国高三其他模拟（理）函数2( )ln22axf xxx（aR
24、）在1,116内不存在极值点，则 a 的取值范围是_ 【答案】1,3,)16 U 【分析】 将函数在1,116内不存在极值点，转化为函数为单调函数，求导利用导数( ) 0fx或( ) 0fx恒成立即可求解. 【详解】 解：函数2( )ln22axf xxx（aR）在1,116内不存在极值点， 函数( )f x在1,116内单调递增或单调递减， ( ) 0fx或( ) 0fx在1,116内恒成立， 214( )2222axxafxxxx， 令2( )4g xxxa，二次函数的对称轴为18x =， 2min111( )48816g xaa ， 2max( )4 113g xaa ， 当( ) 0fx时，需满足1016a ，即116a， 当( ) 0fx时，需满足30a ，即3a， 综上所述，a 的取值范围为1,3,)16 U 故答案为：1,3,)16 U