1、椭圆椭圆 1（2021 江苏南通 高三一模）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为35，面积为20，则椭圆C的标准方程为（ ） A22154xy B2212516xy C22145xy D2251162xy 2（2021 贵溪市实验中学高三其他模拟）若 1，m，9 三个数成等比数列，则圆锥曲线221yxm的离心率是（ ） A2 23或10 B2 23或 2 C63或 2 D63或 10 3（2021 贵州高三其他模拟（理）已知椭圆22:1(4)4xyCmm的离心率为3
2、3，则椭圆 C 的长轴长为（ ） A6 B6 C2 6 D12 4（2021 赣州市南康区第三中学高三期中 （理） ） 已知椭圆22221xyab (ab0)的离心率为13， 则ab （ ） A98 B3 22 C43 D3 24 5（2021 全国高二课时练习）若方程221204xyaa表示椭圆，则实数 a 的取值范围是（ ） A20,4 B 20, 88,4U C , 204, U D , 208, U 6 （2021 江苏省板浦高级中学高二期末）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积 若椭圆C的中心为原点， 焦点1F，2F均在x轴上，
3、C的面积为2 3，过点1F的直线交C于点A，B，且2ABFV的周长为 8则C的标准方程为（ ） A2214xy B22134xy C22143xy D2241163xy 7（2021 全国高三专题练习（理）过椭圆2222:1(0)xyCabab的上顶点与右顶点的直线方程为240 xy，则椭圆C的标准方程为 A221164xy B221204xy C221248xy D221328xy 8（2021 全国高二专题练习）已知椭圆2222:10 xyCabab的左右焦点分别是1F，2F，直线ykx与椭圆C交于A，B两点，113AFBF，且1260FAF，则椭圆C的离心率是（ ） A716 B74 C
4、916 D34 9（2021 全国高二专题练习）椭圆22221(0)xyabab的上下顶点分别为12,B B，右顶点为 A，右焦点为F，12B FB A，则椭圆的离心率为（ ） A12 B22 C512 D512 10（2021 安徽安庆一中高三三模（理）已知1F，2F是椭圆 C 的两个焦点，P 是 C 上的一点，若以12FF为直径的圆过点 P，且21122PF FPFF ，则 C 的离心率为（ ） A312 B31 C312 D23 11（2021 全国高考真题（理）设B是椭圆2222:1(0)xyCabab的上顶点，若C上的任意一点P都满足| 2PBb，则C的离心率的取值范围是（ ） A2
5、,12 B1,12 C20,2 D10,2 12（2017 全国高考真题（理）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的一条渐近线方程为52yx，且与椭圆221123xy有公共焦点.则 C 的方程为（ ） A221810 xy B22145xy C22154xy D22143xy 13（2019 北京高考真题（理）已知椭圆2222 1xyab（ab0）的离心率为12，则 Aa2=2b2 B3a2=4b2 Ca=2b D3a=4b 14（2018 全国高考真题（理）已知1F，2F是椭圆22221(0)xyCabab：的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，12PFF为
6、等腰三角形，12120FF P，则C的离心率为 A23 B12 C13 D14 15（2019 全国高考真题（理）设12FF，为椭圆22:+13620 xyC的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若12MFF为等腰三角形，则M的坐标为_. 椭圆椭圆 1（2021 江苏南通 高三一模）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为35，面积为20，则椭圆C的标准方程为（ ） A22154xy B2212516xy C22145xy D2251162xy 【答案】D 【分析】 根
7、据题意设椭圆C的标准方程为22221yxab(0ab)，由面积为20可得：20ab，根据离心率35再结合, ,a b c之间的关系即可得解. 【详解】 设椭圆C的标准方程为22221yxab(0ab)，焦距为2c， 则：2223,520,caababc解得5,4.ab 故选：D 2（2021 贵溪市实验中学高三其他模拟）若 1，m，9 三个数成等比数列，则圆锥曲线221yxm的离心率是（ ） A2 23或10 B2 23或 2 C63或 2 D63或 10 【答案】C 【分析】 由题意先求出，3m或3m，然后分别将m的值代入圆锥曲线方程221yxm中，求出, ,a b c的值，再利用离心率公式
8、可得结果 【详解】 解：因为 1，m，9 三个数成等比数列， 所以29m ，解得3m或3m， 当3m时，圆锥曲线为2213yx 表示椭圆，其中223,1ab，则2222cab， 所以离心率2633cea， 当3m时，圆锥曲线为2213yx 表示双曲线，其中221,3ab，则2224cab， 所以离心率为221cea， 综上圆锥曲线的离心率为63或 2， 故选：C 3（2021 贵州高三其他模拟（理）已知椭圆22:1(4)4xyCmm的离心率为33，则椭圆 C 的长轴长为（ ） A6 B6 C2 6 D12 【答案】C 【分析】 利用椭圆的离心率列出关系式，求解m即可得到椭圆长轴长 【详解】 由
9、题意可知：433mm，解得6m ，所以椭圆长轴长为：2 6 故选：C 4（2021 赣州市南康区第三中学高三期中 （理） ） 已知椭圆22221xyab (ab0)的离心率为13， 则ab （ ） A98 B3 22 C43 D3 24 【答案】D 【分析】 由离心率结合222acb即可求出. 【详解】 因为22213cabeaa，所以 8a29b2，所以3 24ab. 故选：D. 5（2021 全国高二课时练习）若方程221204xyaa表示椭圆，则实数 a 的取值范围是（ ） A20,4 B 20, 88,4U C , 204, U D , 208, U 【答案】B 【分析】 根据椭圆标准
10、方程的特点得到不等式组，解不等式组即可. 【详解】 因为方程221204xyaa表示椭圆， 所以有200204042082048aaaaaaaa 或84a . 故选：B 【点睛】 本题考查了已知方程表示椭圆求参数取值范围，考查了数学运算能力. 6 （2021 江苏省板浦高级中学高二期末）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积 若椭圆C的中心为原点， 焦点1F，2F均在x轴上，C的面积为2 3，过点1F的直线交C于点A，B，且2ABFV的周长为 8则C的标准方程为（ ） A2214xy B22134xy C22143xy D2241163xy
11、 【答案】C 【分析】 根据已知所给的面积公式，结合椭圆的定义进行求解即可. 【详解】 因为2ABFV的周长为 8， 所以221122121288()()8ABAFBFAFBFAFBFAFAFBFBF， 由椭圆的定义可知：12122 ,2AFAFa BFBFa 所以2282aaa ， 由题意可得：2 3ab ，解得3b ， 因为椭圆的焦点在x轴上，所以C的标准方程为22143xy 故选：C 【点睛】 本题考查了椭圆定义的应用，考查了数学阅读能力和数学运算能力. 7（2021 全国高三专题练习（理）过椭圆2222:1(0)xyCabab的上顶点与右顶点的直线方程为240 xy，则椭圆C的标准方程
12、为 A221164xy B221204xy C221248xy D221328xy 【答案】A 【分析】 求出直线与坐标轴的交点坐标，得椭圆的, a b，从而得椭圆方程 【详解】 在直线方程240 xy中， 令 x=0，得 y=2，得到椭圆的上顶点坐标为（0,2），即 b=2， 令 y=0，得 x=4，得到椭圆的右顶点坐标为（4,0），即 a=4， 从而得到椭圆方程为：221164xy. 故选：A. 【点睛】 本题考查求椭圆标准方程，考查椭圆的几何性质属于基础题 8（2021 全国高二专题练习）已知椭圆2222:10 xyCabab的左右焦点分别是1F，2F，直线ykx与椭圆C交于A，B两点，
13、113AFBF，且1260FAF，则椭圆C的离心率是（ ） A716 B74 C916 D34 【答案】B 【分析】 根据椭圆的对称性可知，21AFBF， 设2A Fm， 由113AFBF以及椭圆定义可得132aAF ，22aAF ，在12AFF中再根据余弦定理即可得到22744ac ，从而可求出椭圆C的离心率 【详解】 由椭圆的对称性， 得21AFBF.设2AFm， 则13A Fm.由椭圆的定义， 知122AFAFa， 即32mma，解得2am ，故132aAF ，22aAF . 在12AFF中，由余弦定理，得122212121222cosFFAFAFAFAF AFF，即2222931742
14、442224aaaaac ，则222716cea，故74e . 故选：B. 9（2021 全国高二专题练习）椭圆22221(0)xyabab的上下顶点分别为12,B B，右顶点为 A，右焦点为F，12B FB A，则椭圆的离心率为（ ） A12 B22 C512 D512 【答案】C 【分析】 求出椭圆的焦点坐标，顶点坐标，利用垂直关系列出方程，转化求解即可. 【详解】 解：椭圆22221(0)xyabab的上下顶点分别为12(0, ),(0,)Bb Bb， 右顶点为 A(a，0)，右焦点为 F(c，0)，12BFB A，可得b bc a=1， 22acac=1，解得 e=512. 故选：C.
15、 10（2021 安徽安庆一中高三三模（理）已知1F，2F是椭圆 C 的两个焦点，P 是 C 上的一点，若以12FF为直径的圆过点 P，且21122PF FPFF ，则 C 的离心率为（ ） A312 B31 C312 D23 【答案】B 【分析】 根据题意，在12FPF中，设2PFm，则12122 ,3cFFm PFm，进而根据椭圆定义得12231aPFPFm，进而可得离心率. 【详解】 在12FPF中，122190 ,60FPFPF Foo 设2PFm，则12122 ,3cFFm PFm， 又由椭圆定义可知12231aPFPFm 则离心率2231231ccmeaam， 故选：B. 【点睛】
16、 本题考查椭圆离心率的计算，考查运算求解能力，是基础题.本题解题的关键在于根据已知条件，结合椭圆的定义，在焦点三角形中根据边角关系求解. 11（2021 全国高考真题（理）设B是椭圆2222:1(0)xyCabab的上顶点，若C上的任意一点P都满足| 2PBb，则C的离心率的取值范围是（ ） A2,12 B1,12 C20,2 D10,2 【答案】C 【分析】 设00,P x y，由0,Bb，根据两点间的距离公式表示出 PB，分类讨论求出PB的最大值，再构建齐次不等式，解出即可 【详解】 设00,P x y，由0,Bb，因为 2200221xyab，222abc，所以 222342222222
17、0000022221ycbbPBxybaybyabbbcc ， 因为0byb ， 当32bbc， 即 22bc时，22max4PBb， 即 max2PBb， 符合题意， 由22bc可得222ac，即 202e； 当32bbc ，即22bc时， 42222maxbPBabc，即422224babbc，化简得， 2220cb，显然该不等式不成立 故选：C 【点睛】 本题解题关键是如何求出PB的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值 12（2017 全国高考真题（理）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的一条渐近线方程为52yx，且与椭圆22112
18、3xy有公共焦点.则 C 的方程为（ ） A221810 xy B22145xy C22154xy D22143xy 【答案】B 【分析】 根据已知可得52ba，双曲线焦距26c ，结合, ,a b c的关系，即可求出结论. 【详解】 因为双曲线的一条渐近线方程为52yx，则52ba. 又因为椭圆221123xy与双曲线有公共焦点， 双曲线的焦距26c ，即 c3，则 a2b2c29. 由解得 a2，b5，则双曲线 C 的方程为22145xy. 故选：B. 【点睛】 本题考查椭圆、双曲线的标准方程以及双曲线的简单几何性质，属于基础题. 13（2019 北京高考真题（理）已知椭圆2222 1xy
19、ab（ab0）的离心率为12，则 Aa2=2b2 B3a2=4b2 Ca=2b D3a=4b 【答案】B 【分析】 由题意利用离心率的定义和, ,a b c的关系可得满足题意的等式. 【详解】 椭圆的离心率2221,2cecaba,化简得2234ab, 故选 B. 【点睛】 本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识基本运算能力的考查. 14（2018 全国高考真题（理）已知1F，2F是椭圆22221(0)xyCabab：的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，12PFF为等腰三角形，12120FF P，则C的离心率为 A23 B12 C13 D14 【答
20、案】D 【详解】 分析：先根据条件得 PF2=2c,再利用正弦定理得 a,c 关系，即得离心率. 详解：因为12PFF为等腰三角形，12120FF P，所以 PF2=F1F2=2c, 由AP斜率为36得，2223112tan,sincos61313PAFPAFPAF， 由正弦定理得2222sinsinPFPAFAFAPF, 所以2112211313=4 ,5431211sin()3221313cac eacPAF，故选 D. 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于, ,a b c的方程或不等式，再根据, ,a b c的关系消掉b得到, a c的关系式，而建立关于,
21、 ,a b c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 15（2019 全国高考真题（理）设12FF，为椭圆22:+13620 xyC的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若12MFF为等腰三角形，则M的坐标为_. 【答案】3, 15 【分析】 根据椭圆的定义分别求出12MFMF、，设出M的坐标，结合三角形面积可求出M的坐标. 【详解】 由已知可得2222236,20,16,4abcabc ， 11228MFFFc24MF 设点M的坐标为0000,0,0 xyxy，则1 21200142MF FSFFyy， 又1 222014824 15 ,44 152MF FSy ，解得015y ， 2201513620 x，解得03x （03x 舍去）， M的坐标为3, 15 【点睛】 本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养