1、 正弦、余弦定理正弦、余弦定理 一、单选题 1（2021 安徽高一月考）在ABCV中，已知1sin,336ABAC，则BC （ ） A3 B2 C32 D92 2（2021 甘肃金昌市 高三二模（理）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin:sin:sin5:7:9ABC ，则cosC =（ ） A335 B114 C15 D110 3（2021 北京朝阳区 高三一模）在ABCV中，若2220abcac，则B （ ） A6 B4 C3 D23 4（2020 河南高二其他模拟（理）已知在ABCV中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足220sin0aA，1sin10C
2、，则c（ ） A2 B22 C25 D210 5（2020 汪清县汪清第六中学高三三模（理）设ABCV的内角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，且3 cos4csinaCA，已知ABCV的面积等于10，4b，则a的值为（ ） A233 B283 C263 D253 6（2021 江苏盐城市 盐城中学高三一模）在平行四边形 ABCD 中，2,1,60oABADBAD，则cosBAC的值是（ ） A5 714 B5 714 C2114 D2114 7 （2021 全国高三其他模拟） 在ABCV中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若2 13a ，6b，3A，则c等于（ ） A2
3、B4 C6 D8 8（2021 江苏扬州市 高三其他模拟） 在ABCV中，6AB，8AC ，10BC ，2BCDBuuu ruuu r， 则A DB C uuu r uuu r（ ） A86 B86 C7 D7 9（2021 全国高三其他模拟（理）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2 cosaaBc，则tantantantanBAAB的取值范围是（ ） A1,22 B（1，2） C2 31,3 D1, 10 （2021 全国高三其他模拟 （理） ） 在ABCV中， 若满足sin2cos 2BabA， 则该三角形的形状为 （ ） A等腰三角形 B直角三角形 C等腰
4、直角三角形 D等腰三角形或直角三角形 11（2021 陕西宝鸡市 高三一模（理）ABCV的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a，b，c 成等差数列，30B，ABCV的面积为32，则 b=（ ） A132 B13 C223 D23 12（2021 全国高三其他模拟（理）ABCV内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，若4 3ab ，且222sinsinsinsinsinABABC，则该三角形的面积为（ ） A1 B4 C3 D3 13 （2021 全国高考真题 （理）2020 年 12 月 8 日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 8848.86（单位：m），三角
5、高程测量法是珠峰高程测量方法之一如图是三角高程测量法的一个示意图，现有 A，B，C 三点，且 A，B，C 在同一水平面上的投影,A B C满足45AC B ，60ABC 由 C 点测得B点的仰角为15，BB与CC的差为100； 由B点测得A点的仰角为45， 则A， C两点到水平面ABC 的高度差AACC约为（31.732）（ ） A346 B373 C446 D473 14（2020 全国高考真题（理）在 ABC 中，cosC=23，AC=4，BC=3，则 cosB=（ ） A19 B13 C12 D23 15（2019 全国高考真题（理）ABCV的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b
6、 c.若6,2 ,3bac B，则ABCV的面积为_. 16（2019 上海高考真题）在ABC中，3,3sin2sinACAB，且1cos4C ，则AB _ 17 （2021 全国高考真题（理）记ABCV的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，面积为3，60B ，223acac，则b_ 18 （2020 全国高考真题 （理） ） 如图， 在三棱锥 PABC 的平面展开图中， AC=1，3ABAD， ABAC，ABAD，CAE=30 ，则 cosFCB=_. 正弦、余弦定理正弦、余弦定理 一、单选题 1（2021 安徽高一月考）在ABCV中，已知1sin,336ABAC，则BC （ ） A
7、3 B2 C32 D92 【答案】B 【分析】 直接由正弦定理即可得到答案 【详解】 由正弦定理sinsinBCACAB，得2BC 故选：B 2（2021 甘肃金昌市 高三二模（理）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin:sin:sin5:7:9ABC ，则cosC =（ ） A335 B114 C15 D110 【答案】D 【分析】 根据条件sin:sin:sin5:7:9ABC ，由正弦定理得: :5:7:9a b c，可令5 ,7 ,9 (0)at bt ct t，再利用余弦定理求解. 【详解】 由正弦定理：2sinsinsinabcRABC 得2 sin,2 si
8、n,2 sinaRA bRB cRC 又因为sin:sin:sin5:7:9ABC ，所以: :5:7:9a b c 令5 ,7 ,9 (0)at bt ct t 所以2222222549811cos22 5710abctttCabtt 故选：D. 3（2021 北京朝阳区 高三一模）在ABCV中，若2220abcac，则B （ ） A6 B4 C3 D23 【答案】D 【分析】 利用余弦定理求出cosB的值，结合角B的取值范围可求得角B的值. 【详解】 由2220abcac可得222acbac ， 由余弦定理可得2221cos22acbBac ， 0BQ，因此，23B. 故选：D. 4（20
9、20 河南高二其他模拟（理）已知在ABCV中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足220sin0aA，1sin10C ，则c（ ） A2 B22 C25 D210 【答案】A 【分析】 根据题中条件，由正弦定理，可直接得出结果. 【详解】 由220sin0aA得10 2sinaA， 又1sin10C ， 由正弦定理可得10 2sinsinacAC，则2c . 故选：A. 【点睛】 本题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题型. 5（2020 汪清县汪清第六中学高三三模（理）设ABCV的内角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，且3 cos4csinaCA，已知ABCV的面积等于1
10、0，4b，则a的值为（ ） A233 B283 C263 D253 【答案】D 【分析】 先利用正弦定理化简3 cos4csinaCA，可得3sin5C ，然后利用三角形的面积为 10，列方程可求出a的值 【详解】 3 cos4 sinaCcAQ， 由正弦定理可得3sincos4sinsinACCA， sin0AQ，3cos4sinCC，即4cossin3CC， 222221625sincossinsinsin199CCCCC，解得，3sin5C 或3sin5C （舍去） 4b Q，ABCV的面积11310sin4225SabCa ，解得253a . 故选：D 【点睛】 此题考查了正弦定理、同
11、角三角函数的关系、三角形的面积公式等知识，属于基础题. 6（2021 江苏盐城市 盐城中学高三一模）在平行四边形 ABCD 中，2,1,60oABADBAD，则cosBAC的值是（ ） A5 714 B5 714 C2114 D2114 【答案】A 【分析】 在ABCV中，由余弦定理求得7AC ，再结合余弦定理，即可求得cosBAC的值. 【详解】 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，2,1,60oABADBAD， 在ABCV中，由余弦定理可得2222cosACABBCAB BCABC 22212 2 1cos1207 o，即7AC ， 又由22274 1cos22527147ACABBCB
12、ACAC AB. 故选：A. 7 （2021 全国高三其他模拟） 在ABCV中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若2 13a ，6b，3A，则c等于（ ） A2 B4 C6 D8 【答案】D 【分析】 根据题意，结合余弦定理求解即可. 【详解】 由2222cosabcbcA，得2152362 62cc ，即26160cc， 解得8c 或2c（舍） 故选 D 8（2021 江苏扬州市 高三其他模拟） 在ABCV中，6AB，8AC ，10BC ，2BCDBuuu ruuu r， 则A DB C uuu r uuu r（ ） A86 B86 C7 D7 【答案】A 【分析】 根据条件得3=2
13、AD ACCBuuu r uuu ruuu r，再由余弦定理计算得4cos5C ，再利用向量数量积计算即可. 【详解】 因为3=2AD ACCDACCBuuu r uuu ruuu ruuu ruuu r, 由6AB，8AC ，10BC ，结合余弦定理可得： 22264 100364cos22 8 105ACCBABCAC CB ， 所以23343()8 10100862252AD BCACCBBCAC BCBC uuu r uuu ruuu ruuu ruuu ruuu r uuu ruuu r. 故选：A. 9（2021 全国高三其他模拟（理）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别
14、为a，b，c，且满足2 cosaaBc，则tantantantanBAAB的取值范围是（ ） A1,22 B（1，2） C2 31,3 D1, 【答案】C 【分析】 由正弦定理化简得到sinsinABA， 求得2BA， 根据锐角三角形， 列出不等式组求得32B，得出12 3(1,)sin3B，再由tantan1tantansinBAABB，即可求解. 【详解】 因为2 cosaaBc，根据正弦定理得sin2sincossinAABC， 由sinsinCAB，即sinsinABA， 又因为三角形为锐角三角形，可得ABA，即2BA， 所以0202BAB，可得32B，可得3sin(,1)2B，所以1
15、2 3(1,)sin3B， 则tantansincoscossintantansinsinBABABAABABsin()sin1sinsinsinsinsinBAAABABB， 所以tantan2 31,tantan3BAAB. 故选：C 10 （2021 全国高三其他模拟 （理） ） 在ABCV中， 若满足sin2cos 2BabA， 则该三角形的形状为 （ ） A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】 由题设条件和正弦定理化简得sincossincosAABB， 得到sin2sin2AB， 求得AB或2AB，即可得到答案. 【详解】 由三
16、角函数的诱导公式，可得sincos2cos(2)cosBaBbAA， 又由正弦定理得sincossincosABBA，即sincossincosAABB，可得sin2sin2AB， 因为,(0, )A B，所以AB或2AB， 所以ABCV为等腰三角形或直角三角形. 故选：D. 11（2021 陕西宝鸡市 高三一模（理）ABCV的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a，b，c 成等差数列，30B，ABCV的面积为32，则 b=（ ） A132 B13 C223 D23 【答案】B 【分析】 由已知条件中的等差数列和三角形面积计算出6ac ，再运用余弦定理计算出2b的值，即可得到结果.
17、 【详解】 aQ，b，c成等差数列，2bac，平方得22242acbac， 又ABCV的面积为32，且30B，故由1113sinsin302242SacBacac ， 得6ac ，222412acb， 由余弦定理得22222241243cos22 642acbbbbBac， 解得242 3b ，又bQ为边长，13b ， 故选B. 12（2021 全国高三其他模拟（理）ABCV内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，若4 3ab ，且222sinsinsinsinsinABABC，则该三角形的面积为（ ） A1 B4 C3 D3 【答案】C 【分析】 先利用正弦定理将222sinsin
18、sinsinsinABABC化为222ababc， 然后利用余弦定理求出cosC，从而可求出sinC，进而可求出三角形的面积 【详解】 解：因为222sinsinsinsinsinABABC， 所以由正弦定理得222ababc，即222abcab， 所以2221cos222abcabCabab， 因为cos(0, )C，所以213sin1 cos142CC， 所以ABCV的面积为113sin4 33222abC ， 故选：C 13 （2021 全国高考真题 （理）2020 年 12 月 8 日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方
19、法之一如图是三角高程测量法的一个示意图，现有 A，B，C 三点，且 A，B，C 在同一水平面上的投影,A B C满足45AC B ，60ABC 由 C 点测得B点的仰角为15，BB与CC的差为100； 由B点测得A点的仰角为45， 则A， C两点到水平面ABC 的高度差AACC约为（31.732）（ ） A346 B373 C446 D473 【答案】B 【分析】 通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得A B，进而得到答案 【详解】 过C作CHBB，过B作BDAA， 故 100100AACCAABBBHAABBAD， 由题，易知ADB为等腰直角三角形，所以ADDB 所
20、以100 100AACCDBA B 因为15BCH，所以100tan15CHC B 在A B CV中，由正弦定理得： 100100sin45sin75tan15 cos15sin15A BC B， 而62sin15sin(4530 )sin45 cos30cos45 sin304 ， 所以2100 42100( 31)27362A B ， 所以 100373AACCA B 故选：B 【点睛】 本题关键点在于如何正确将AACC的长度通过作辅助线的方式转化为 100A B 14（2020 全国高考真题（理）在 ABC 中，cosC=23，AC=4，BC=3，则 cosB=（ ） A19 B13 C
21、12 D23 【答案】A 【分析】 根据已知条件结合余弦定理求得AB，再根据222cos2ABBCACBAB BC，即可求得答案. 【详解】 Q在ABCV中，2cos3C ，4AC ，3BC 根据余弦定理：2222cosABACBCAC BCC 22243224 33AB 可得29AB ，即3AB 由Q22299 161cos22 3 39ABBCACBAB BC 故1cos9B . 故选：A. 【点睛】 本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 15（2019 全国高考真题（理）ABCV的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c.若6,2 ,3bac B
22、，则ABCV的面积为_. 【答案】6 3 【分析】 本题首先应用余弦定理，建立关于c的方程，应用, a c的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查 【详解】 由余弦定理得2222cosbacacB，所以2221(2 )2 262ccc c ， 即212c ，解得2 3,2 3cc （舍去），所以24 3ac， 113sin4 32 36 3.222ABCSacB 【点睛】 本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算 16（201
23、9 上海高考真题）在ABC中，3,3sin2sinACAB，且1cos4C ，则AB _ 【答案】10 【分析】 根据正弦定理求出BC，再利用余弦定理求出AB. 【详解】 由正弦定理可知：sinsinACBCBA，又3sin2sinAB sin22sin3ACABCACB 由余弦定理可知：22212cos942 3 2104ABACBCAC BCC 10AB 本题正确结果：10 【点睛】 本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题，属于基础题. 17 （2021 全国高考真题（理）记ABCV的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，面积为3，60B ，223acac，则b_ 【答案】2 2
24、 【分析】 由三角形面积公式可得4ac ，再结合余弦定理即可得解. 【详解】 由题意，13sin324ABCSacBacV， 所以224,12acac， 所以22212cos122 482bacacB ，解得2 2b（负值舍去）. 故答案为：2 2. 18 （2020 全国高考真题 （理） ） 如图， 在三棱锥 PABC 的平面展开图中， AC=1，3ABAD， ABAC，ABAD，CAE=30 ，则 cosFCB=_. 【答案】14 【分析】 在ACEV中，利用余弦定理可求得CE，可得出CF，利用勾股定理计算出BC、BD，可得出BF，然后在BCF中利用余弦定理可求得cosFCB的值. 【详解】 ABACQ，3AB ，1AC ， 由勾股定理得222BCABAC， 同理得6BD，6BFBD， 在ACEV中，1AC ，3AEAD，30CAEo， 由余弦定理得22232cos301 32 1312CEACAEAC AE o， 1CFCE， 在BCF中，2BC ，6BF ，1CF ， 由余弦定理得2221 461cos22 1 24CFBCBFFCBCF BC . 故答案为：14. 【点睛】 本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.