1、推理与证明推理与证明 1 （2021 广西玉林市 高二期中（理）用数学归纳法证明不等式1111132123224nnnnn的过程中，由nk递推到1nk时，不等式的左边（ ） A增加了一项121k B增加了两项121k ，121k C增加了一项121k ，又减少了一项11k D增加了两项121k ，121k ，又减少了一项11k 2（2021 陕西咸阳市 高二期中（理）下面几种推理是合情推理的是（ ） 由圆的性质类比出球的有关性质； 由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180归纳出所有三角形的内角和都是180； 某次考试张军成绩是 100 分，由此推出全班同学成绩都是 100 分； 三角
2、形内角和是180， 四边形内角和是360， 五边形内角和是540， 由此得凸多边形内角和是(2) 180n A B C D 3（2021 山西省古县第一中学高二期中（理）用数学归纳法证明11111231nnnnNL，在验证1n 时，左边的代数式为（ ） A111234 B1123 C12 D1 4（2021 安徽省蚌埠第三中学高二月考（理）用反证法证明命题“, , ,a b c dR，1ab ，1cd，且1ac bd，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为（ ） Aa，b，c，d全都大于等于0 Ba，b，c，d全为正数 Ca，b，c，d中至少有一个正数 Da，b，c，d中至多有一个负数
3、5（2021 山西高二期中（理）某公司制造了一个人工智能机器人，程序设计师的程序是让机器人每一秒前进一步或后退一步，并且以先前进 3 步，然后再后退 2 步的规律前进.如果将机器人放在数轴的原点，面向数轴的正方向前进 （1 步的距离为一个单位长度） ， 令( )P n表示第n秒机器人所在位置的坐标， 记(0)0P，则(2021)P（ ） A403 B404 C405 D406 6（2021 江西省兴国县第三中学高二月考 （理） ） 观察按下列顺序排列的等式： 9 0+1=1， 9 1+2=11， 9 2+3=21，9 3+4=31，L，猜想第 n（nN+）个等式应为（ ） A9（n+1）+n=
4、10n+9 B9（n1）+n=10n9 C9n+（n1）=10n9 D9（n1）+（n1）=10n10 7（2021 广西玉林市 高二期中（理）指数函数都是增函数，（大前提）：函数1xye是指数函数，（小前提）；所以函数1xye是增函数.（结论）.上述推理错误的原因是（ ） A小前提不正确 B大前提不正确 C推理形式不正确 D大小前提都不正确 8（2021 西安市信德中学高二期中（理）下面给出的类比推理中，结论正确的是（ ） A由“acabcb”类比推出“a cab cbr rrr rr” B由“()nnnaba b”类比推出“()nnnabab” C由“边长为a的正三角形的面积为234a”类
5、比推出“棱长为a的正四面体的体积为3312a” D由“若三角形的周长为l，面积为S，则其内切圆的半径2Srl”类比推出“若三棱锥的表面积为S，体积为V，则其内切球的半径3VrS” 9（2021 黑龙江哈尔滨三中高二期末（理）我国古代数学名著九章算术中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在222中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程2xx确定2x，类比上述方法，则正数11111（ ） A352- B152 C152 D352 10 （2021 山西运城 高二期中 （理） ） 已知223344
6、22, 33, 44,33881515， 类比这些等式，若88aabb（a，b 均为正整数），则ab（ ） A72 B71 C55 D42 11（2021 江西（理）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以下排列的规律，则第 20 行从左向右的第 3 个数为（ ） A193 B192 C174 D173 12（2021 广西南宁三中高二月考（理）某程序执行后的输出结果为 ，按这种规律往下排，则第43个图形（ ） A是 B是 C是 的可能性大 D是的可能性大 13（2021 全国高三其他模拟（理）从一个边长为 3 的等边三角形开始，把三角形的每一条边三等分，并以每一条边三等分后的中段为边，向外作新
7、的等边三角形（如图），但要去掉与原三角形叠合的边，接着对此图形每一个等边三角形“尖出”的部分继续上述过程 若按照上述规律， 则第四个图形的周长是 （ ） A1433 B2049 C2569 D643 14 （2021 陕西省洛南中学高二月考 （理） ） 甲、 乙、 丙， 丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩 老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ） A乙、丁可以知道自己的成绩 B乙可以知道四人的成绩 C乙、丁可以知道对方的成绩 D丁可以知道四人的成绩 15（2021 安徽高三
8、二模（理）“干支(gnzh)纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称.甲乙丙丁戊已庆辛壬癸十个符号叫天干，子丑實卯辰巳午未申酉戌亥十二个符号叫地支，千支按序相配，组成干支纪年法，相配顺序为甲子乙丑丙寅癸酉；甲戌乙亥丙子未；甲申乙酉丙戌癸巳；共得 60 种不同组合，这就是俗称的“六十甲子”，也叫“干支丧”， 周而复始干支纪年以每年立春换年， 是中华民族的伟大发明.2021 年是干支纪年中的辛丑年， 则 2035年是干支纪年中的（ ） A甲寅年 B乙卯年 C丙辰年 D甲巳年 16（2019 北京高考真题（理）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合
9、格”“不合格”若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( ) A2 人 B3 人 C4 人 D5 人 17（2018 湖北高考真题（理）我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积，求其直径的一个近似公式. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据判断，下列近似公式中最精确的一个是 A B C D 18（2020 陕西高考真题（理）为提高信
10、息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息设定原信息为012ia a aa，01，（012i ， ，），传输信息为0012 1h a a a h，其中001102haahha，运算规则为：000 ，01 1 ，101 ，110 ，例如原信息为 111，则传输信息为 01111传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是 A11010 B01100 C10111 D00011 19（2019 广东高考真题（理）如果一个凸多面体是 n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_条，这些直线中共有( )f n对异面直线，则(4)_
11、f；f(n)=_(答案用数字或 n 的解析式表示) 20（2021 全国高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm 12dm的长方形纸，对折 1 次共可以得到10dm 12dm，20dm 6dm两种规格的图形，它们的面积之和21240dmS ，对折 2 次共可以得到5dm 12dm，10dm 6dm，20dm 3dm三种规格的图形，它们的面积之和22180dmS ， 以此类推， 则对折 4 次共可以得到不同规格图形的种数为_； 如果对折n次，那么1nkkS_2dm. 推理与证明推理与证明 1 （2021 广西玉林市 高二期中（理）用数学归纳
12、法证明不等式1111132123224nnnnn的过程中，由nk递推到1nk时，不等式的左边（ ） A增加了一项121k B增加了两项121k ，121k C增加了一项121k ，又减少了一项11k D增加了两项121k ，121k ，又减少了一项11k 【答案】D 【分析】 根据题意，分别写出当nk和1nk时，左边的式子，两式比较，即可求解. 【详解】 由题意，当nk时，左边为111122kkk， 当1nk时，111112222121kkkkk， 两式比较，可得从nk递推到1nk时，不等式的左边增加了两项121k ，121k ，又减少了一项11k . 故选：D. 2（2021 陕西咸阳市 高
13、二期中（理）下面几种推理是合情推理的是（ ） 由圆的性质类比出球的有关性质； 由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180归纳出所有三角形的内角和都是180； 某次考试张军成绩是 100 分，由此推出全班同学成绩都是 100 分； 三角形内角和是180， 四边形内角和是360， 五边形内角和是540， 由此得凸多边形内角和是(2) 180n A B C D 【答案】B 【分析】 由类比推理和归纳推理的定义逐个判断即可得解. 【详解】 合情推理分为类比推理和归纳推理，由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有类似特征的推理称为类比推理；由特殊具体的事例推导
14、出一般原理、原则的推理是归纳推理； 对比选项，可得属于类比推理，属于归纳推理， 所以是合情推理的是. 故选：B. 3（2021 山西省古县第一中学高二期中（理）用数学归纳法证明11111231nnnnNL，在验证1n 时，左边的代数式为（ ） A111234 B1123 C12 D1 【答案】A 【分析】 将1n 代入计算可得结果. 【详解】 解：1111231nnnL代入1n 为：111234. 故选：A 4（2021 安徽省蚌埠第三中学高二月考（理）用反证法证明命题“, , ,a b c dR，1ab ，1cd，且1ac bd，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为（ ） Aa，b，
15、c，d全都大于等于0 Ba，b，c，d全为正数 Ca，b，c，d中至少有一个正数 Da，b，c，d中至多有一个负数 【答案】A 【分析】 用反证法证明数学命题时,应先假设结论的否定成立，直接写出即可. 【详解】 “a,b,c,d 中至少有一个负数”的否定为“a,b,c,d 全都大于或等于 0”，所以用反证法证明数学命题的方法可得，应假设“a,b,c,d 全都大于或等于 0”. 故选：A 5（2021 山西高二期中（理）某公司制造了一个人工智能机器人，程序设计师的程序是让机器人每一秒前进一步或后退一步，并且以先前进 3 步，然后再后退 2 步的规律前进.如果将机器人放在数轴的原点，面向数轴的正方
16、向前进 （1 步的距离为一个单位长度） ， 令( )P n表示第n秒机器人所在位置的坐标， 记(0)0P，则(2021)P（ ） A403 B404 C405 D406 【答案】C 【分析】 由题意可知此运动以 5 秒为一时间段，每段时间向前移动一个单位，本题只需将 2021 除以 5，观察商及余数即可，逐一运算得解 【详解】 解：从计时开始，此运动以 5 秒为一时间段，每段时间先向前移动 3 步，再向后移动 2 步，结果是向前移动一个单位， 2021 5404? 1 ， 从开始计算的 404 个 5 秒组共前进到数轴上 404 的位置，下一秒应是向右在前进一步，到达 405 的位置，即202
17、1405P, 故选：C 6（2021 江西省兴国县第三中学高二月考 （理） ） 观察按下列顺序排列的等式： 9 0+1=1， 9 1+2=11， 9 2+3=21，9 3+4=31，L，猜想第 n（nN+）个等式应为（ ） A9（n+1）+n=10n+9 B9（n1）+n=10n9 C9n+（n1）=10n9 D9（n1）+（n1）=10n10 【答案】B 【分析】 根据所给的四个式子依次归纳出规律，从而可得结论 【详解】 解：第 1 个等式：9 0 1 1 化为9 (1 1)11 109 ， 第 2 个等式：9 1 2 11 化为9 (2 1)22 109， 第 3 个等式：9 2 321
18、化为9 (3 1)33 109 ， 第 4 个等式：9 3 431 化为9 (4 1)44 109， ， 由此可得第 n（nN+）个等式应为9(1)109nnn， 故选：B 7（2021 广西玉林市 高二期中（理）指数函数都是增函数，（大前提）：函数1xye是指数函数，（小前提）；所以函数1xye是增函数.（结论）.上述推理错误的原因是（ ） A小前提不正确 B大前提不正确 C推理形式不正确 D大小前提都不正确 【答案】B 【分析】 根据指数函数的单调性及演绎推理即可得到答案. 【详解】 大前提错误.因为指数函数xya（0a ，且1a ）在1a 时是增函数，而在01a时为减函数. 故选：B 8
19、（2021 西安市信德中学高二期中（理）下面给出的类比推理中，结论正确的是（ ） A由“acabcb”类比推出“a cab cbr rrr rr” B由“()nnnaba b”类比推出“()nnnabab” C由“边长为a的正三角形的面积为234a”类比推出“棱长为a的正四面体的体积为3312a” D由“若三角形的周长为l，面积为S，则其内切圆的半径2Srl”类比推出“若三棱锥的表面积为S，体积为V，则其内切球的半径3VrS” 【答案】D 【分析】 由向量的数量积运算判断 A；举实例判断 B；通过空间几何体的计算判断 C、D. 【详解】 A，由向量的数量积运算知，a cab cbr rrr r
20、r，A 错误； B，由“()nnnaba b”类比推出“()nnnabab”，不正确， 比如2n时，可得222()abab，B 错误； C，如图， 可求出32BEa，2333BOBEa， 2263AOABBOa， 棱长为a的正四面体的体积为23136234312aaa，C 错误； D，设三棱锥的四个面的面积分别为1234,S S S S，内切球半径为r， 12341111133333VS rS rS rS rSr，所以内切球半径3VrS，D 正确. 故选：D 9（2021 黑龙江哈尔滨三中高二期末（理）我国古代数学名著九章算术中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合
21、体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在222中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程2xx确定2x，类比上述方法，则正数11111（ ） A352- B152 C152 D352 【答案】B 【分析】 根据已知求222L的例子，令11(0)111x xL，即11xx，解方程即可得到x的值. 【详解】 令11(0)111x xL， 即11xx， 即210 xx ， 解得152x(152x舍)， 故11511211L 故选：B. 10 （2021 山西运城 高二期中 （理） ） 已知22334422, 33, 44,33881515， 类比这些等式，若88aa
22、bb（a，b 均为正整数），则ab（ ） A72 B71 C55 D42 【答案】B 【分析】 分析式子的特点找出规律，用归纳推理求解即可 【详解】 由题可知，规律可表示为2211nnnnnn， 故可得8,63ab，则71a b 故选：B 11（2021 江西（理）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以下排列的规律，则第 20 行从左向右的第 3 个数为（ ） A193 B192 C174 D173 【答案】A 【分析】 根据题意，分析可得第n行的第一个数字为(1)12n n，进而可得第 20 行的第一个数字，据此分析可得答案 【详解】 解：根据题意，由数表可得：每一行的第一个数字依次为 1、
23、2、4、7、， 则第n行的第一个数字为(1)12n n， 则第 20 行的第一个数字为 191，故第 20 行从左向右的第 3 个数为 193； 故选：A 12（2021 广西南宁三中高二月考（理）某程序执行后的输出结果为 ，按这种规律往下排，则第43个图形（ ） A是 B是 C是 的可能性大 D是的可能性大 【答案】A 【分析】 从图形中寻找规律， 和交替出现，其中每次只出现 1 个，而 每次出现都比前面多 1 个，由此规律可得结论 【详解】 观察可知 与d交替出现， 到第n个圆共有3()1232nnnn L个图形， 当7n时， 共有35个图形，当8n 时，共有44个图形，所以第43个图形是
24、 故选：A 13（2021 全国高三其他模拟（理）从一个边长为 3 的等边三角形开始，把三角形的每一条边三等分，并以每一条边三等分后的中段为边，向外作新的等边三角形（如图），但要去掉与原三角形叠合的边，接着对此图形每一个等边三角形“尖出”的部分继续上述过程 若按照上述规律， 则第四个图形的周长是 （ ） A1433 B2049 C2569 D643 【答案】D 【分析】 找出相邻图形的边长之间的关系，以及相邻图形边数之间的关系进行求解即可 【详解】 设曲线的边长分别为1a，2a，3a，4a，边长个数为1b，2b，3b，4b， 设周长为nS（1,2,3,4n ），13a ，13b ， 21113
25、aa，321133aa，431139aa， 13b ，23 4b ，33 4 4b ，43 4 4 4b ， 19S ，212S ，316S ，4643S ， 故选：D 14 （2021 陕西省洛南中学高二月考 （理） ） 甲、 乙、 丙， 丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩 老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ） A乙、丁可以知道自己的成绩 B乙可以知道四人的成绩 C乙、丁可以知道对方的成绩 D丁可以知道四人的成绩 【答案】A 【分析】 先阅读题意，再结合简单的合情推理
26、逐一判断即可得解 【详解】 解：因为甲、乙、丙，丁四位同学中有两位优秀，两位良好， 又甲看了乙、丙的成绩且甲还是不知道自己的成绩，即可推出乙、丙的成绩一位优秀，一位良好， 又乙看了丙的成绩，即乙由丙的成绩可知自己的成绩， 又甲、丁的成绩一位优秀，一位良好，则丁由甲的成绩可知自己的成绩， 即乙、丁可以知道自己的成绩， 故选：A 15（2021 安徽高三二模（理）“干支(gnzh)纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称.甲乙丙丁戊已庆辛壬癸十个符号叫天干，子丑實卯辰巳午未申酉戌亥十二个符号叫地支，千支按序相配，组成干支纪年法，相配顺序为甲子乙丑丙寅癸酉；甲戌乙亥丙
27、子未；甲申乙酉丙戌癸巳；共得 60 种不同组合，这就是俗称的“六十甲子”，也叫“干支丧”， 周而复始干支纪年以每年立春换年， 是中华民族的伟大发明.2021 年是干支纪年中的辛丑年， 则 2035年是干支纪年中的（ ） A甲寅年 B乙卯年 C丙辰年 D甲巳年 【答案】B 【分析】 由题意把干支顺序相配正好六十为一周， 周而复始， 循环记录， 再根据 2021 年是“干支纪年法”中的辛丑年，2016 年是“干支纪年法”中的丙申年即可求出答案 【详解】 解：因为 2021 年是干支纪年中的辛丑年， 2035 2021 14， 14 10 14 L， 所以 2035 年是“乙”年，14 1212 L
28、 所以 2035 年是“卯”年 所以 2035 年是干支纪年中的乙卯年， 故选： B 16（2019 北京高考真题（理）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( ) A2 人 B3 人 C4 人 D5 人 【答案】B 【详解】 试题分析：用, ,A B C分别表示优秀、及格和不及格，显然语文成绩得A的学生最多只有1个，语文成绩得B也最多只有1个，得C的最
29、多只有1个，因此人数最多只有3人，显然(),(),()ACBBCA满足条件，故选 B 考点：合情推理的应用 17（2018 湖北高考真题（理）我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积，求其直径的一个近似公式. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据判断，下列近似公式中最精确的一个是 A B C D 【答案】D 【详解】 18（2020 陕西高考真题（理）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息设定原信息为012ia a aa，01，（012i ， ，），传输信息
30、为0012 1h a a a h，其中001102haahha，运算规则为：000 ，01 1 ，101 ，110 ，例如原信息为 111，则传输信息为 01111传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是 A11010 B01100 C10111 D00011 【答案】C 【详解】 A 选项原信息为 101，则 h0=a0a1=10=1，h1=h0a2=11=0，所以传输信息为 11010，A 选项正确； B 选项原信息为 110，则 h0=a0a1=11=0，h1=h0a2=00=0，所以传输信息为 01100，B 选项正确； C 选项原信息为 011，则
31、 h0=a0a1=01=1，h1=h0a2=11=0，所以传输信息为 10110，C 选项错误； D 选项原信息为 001，则 h0=a0a1=00=0，h1=h0a2=01=1，所以传输信息为 00011，D 选项正确； 故选 C 19（2019 广东高考真题（理）如果一个凸多面体是 n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_条，这些直线中共有( )f n对异面直线，则(4)_f；f(n)=_(答案用数字或 n 的解析式表示) 【答案】，12， 【解析】 当多面体的棱数由 n 增加到 n+1 时，所确定的直线的条数将增加 n+1，由递推关系 f(n+1) -f(n)=n+1 我们
32、能够求出答案从图中我们明显看出四棱锥中异面直线的对数为 12 对能与棱锥每棱构成异面关系的直线的条数为，进而得到 f(n)的表达式 20（2021 全国高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm 12dm的长方形纸，对折 1 次共可以得到10dm 12dm，20dm 6dm两种规格的图形，它们的面积之和21240dmS ，对折 2 次共可以得到5dm 12dm，10dm 6dm，20dm 3dm三种规格的图形，它们的面积之和22180dmS ， 以此类推， 则对折 4 次共可以得到不同规格图形的种数为_； 如果对折n次，那么1nkkS_2d
33、m. 【答案】5 415 37202nn 【分析】 （1）按对折列举即可；（2）根据规律可得nS，再根据错位相减法得结果. 【详解】 （1）由对折 2 次共可以得到5dm 12dm，10dm 6dm，20dm 3dm三种规格的图形，所以对着三次的结果有：5312 5 610 3 2022，；，共 4 种不同规格（单位2dm )； 故对折 4 次可得到如下规格：5124，562，5 3，3102，3204，共 5 种不同规格； （2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为12的等比数列， 首项为 1202dm,第 n 次对折后的图形面积为1
34、11202n， 对于第 n 此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为1n种（证明从略），故得猜想1120(1)2nnnS， 设012111201120 2120 3120 42222nknknSSL， 则1211120 2120 3120120(1)22222nnnnSL， 两式作差得： 2112011111240 12022222nnnSL 1160 1120122401212nnn 112011203120360360222nnnnn， 因此，4240315372072022nnnnS. 故答案为：5；41537202nn. 【点睛】 方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； （2）对于n na b结构，其中 na是等差数列， nb是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于nnab结构，利用分组求和法； （4）对于11nna a结构，其中 na是等差数列，公差为0d d ，则111111nnnna adaa，利用裂项相消法求和.