1、 平面向量的数量积平面向量的数量积 一、单选题 1（2021 黑龙江哈尔滨市 哈尔滨三中高一期中）已知1eu r，2eu u r是单位向量，若1237eeu ru u r，则1eu r与2eu u r的夹角为（ ） A30 B60 C90 D120 2（2021 重庆高一期末）在圆 O 中弦 AB 的长度为 8，则AO ABuuu r uuu r=（ ） A8 B16 C24 D32 3（2021 全国高一课时练习）若单位向量, a br r满足 122abab rrrr，则abrr等于（ ） A1 B2 C3 D2 33 4 （2021 辽宁高三其他模拟） 已知向量mu r、nr满足,1mt
2、u r，3,2nt r且2mn u rr， 则t （ ） A2 B1 C1 D2 5 （2021 沙坪坝区 重庆八中高三其他模拟） 在边长为a的正六边形ABCDEF中， 若4AB ADuuu r uuu r， 则a（ ） A1 B2 C2 D2 2 6（2021 四川达州市 高三二模（理）已知向量, a br r满足1,(2 )5aaab rrrr，则a b r r（ ） A2 B2 C3 D3 7（2021 四川省绵阳南山中学高三其他模拟 （理） ） 在平行四边形ABCD中，60BAD，4AB ，2AD ， E为DC的中点，则AB AEuuu r uuu r（ ） A9 B12 C18 D2
3、2 8（2021 全国高三其他模拟（理）如图，在矩形ABCD中，2AB ，1AD ，E为边DC的中点，F为BE的中点，则AF AEuuu r uuu r（ ） A3 B2 C32 D12 9（2021 全国高一课时练习）已知1er，2er是两个夹角为3的单位向量，1224aeerrr，124beerrr，则rra b（ ） A7 B9 C11 D13 10（2021 广东高三其他模拟）若向量ar和br满足| 2,| 1,|4 | 2 3ababrrrr，则向量ar在向量br上的投影为（ ） A2 B3 C1 D1 11（2021 黑龙江佳木斯市 佳木斯一中高三三模 （理） ） 已知单位向量ar
4、，br的夹角为 120 ， 设32cabrrr 则|cr|（ ） A7 B21 C3 D2 12 （2021 江西九江市 九江一中高三其他模拟（理）若向量ar、br满足2a r，26abarrr，则br在ar方向上的投影为（ ） A1 B1 C12 D12 13（2021 浙江高考真题）已知非零向量, ,a b cr r r，则“a cb c r rr r”是“abrr”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 14（2020 海南高考真题）已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点，则AP ABuuu r uuu r 的取值范围是（
5、 ） A()2,6 B( 6,2) C( 2,4) D( 4,6) 15 （2020 全国高考真题（理）已知向量abrr ar，br满足| 5a r，| 6b r，6a brr，则cos,=a abrr r（ ） A3135 B1935 C1735 D1935 16（2019 全国高考真题（理）已知ABuuu v=(2,3)，ACuuu v=(3，t)，BCuuu v=1，则AB BCuuu v uuu v= A-3 B-2 C2 D3 17（2021 全国高考真题）已知向量0abc rrrr，1a r，2bcrr，a bb cc a r rr rr r_ 18（2020 全国高考真题（理）设
6、, a brr为单位向量，且| 1abrr，则|abrr_. 平面向量的数量积平面向量的数量积 一、单选题 1（2021 黑龙江哈尔滨市 哈尔滨三中高一期中）已知1eu r，2eu u r是单位向量，若1237eeu ru u r，则1eu r与2eu u r的夹角为（ ） A30 B60 C90 D120 【答案】B 【分析】 直接将1237eeu ru u r平方展开即可求出 【详解】 因为1237eeu ru u r，所以222121697ee eeu ru r u u ru u r， 设1eu r与2eu u r的夹角为，即有1 6cos97 ，解得1cos2，而0180oo，所以60
7、o 故选：B 2（2021 重庆高一期末）在圆 O 中弦 AB 的长度为 8，则AO ABuuu r uuu r=（ ） A8 B16 C24 D32 【答案】D 【分析】 根据垂径定理以及平面向量数量积的定义即可求出 【详解】 cos8 432AO ABAB AOOAB uuu r uuu ruuu r uuu r 故选：D 3（2021 全国高一课时练习）若单位向量, a br r满足 122abab rrrr，则abrr等于（ ） A1 B2 C3 D2 33 【答案】C 【分析】 先由已知条件求出a br r，再由2ababrrrr即可求出答案. 【详解】 解：因为, a br r为单
8、位向量， 所以 22122=12ababaa bba b rrrrrr rrr r，所以12a b r r, 所以222=2+3ababaabbrrrrrrrr， 故选：C. 4 （2021 辽宁高三其他模拟） 已知向量mu r、nr满足,1mtu r，3,2nt r且2mn u rr， 则t （ ） A2 B1 C1 D2 【答案】A 【分析】 利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于实数t的方程，即可解得实数t的值. 【详解】 由已知可得322m nttt u r r，所以，2t . 故选：A. 5 （2021 沙坪坝区 重庆八中高三其他模拟） 在边长为a的正六边形ABCDEF中， 若4AB
9、 ADuuu r uuu r， 则a（ ） A1 B2 C2 D2 2 【答案】C 【分析】 在正六边形ABCDEF中2 ,60ADaBAD，根据数量积的定义得出AB ADuuu r uuu r,建立方程， 从而可解出a的值. 【详解】 如图在正六边形ABCDEF中，连接对角线,AD BE CF 则正六边形ABCDEF是由 6 个全等的等边三角形构成. 所以2 ,60ADaBAD 所以2cos604AB ADaa uuu r uuu r，解得2a 故选： C 6（2021 四川达州市 高三二模（理）已知向量, a br r满足1,(2 )5aaab rrrr，则a b r r（ ） A2 B2
10、 C3 D3 【答案】D 【分析】 根据向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】 由向量, a br r满足1a r，又由2(2 )21 25aabaa ba b rrrrr rr r，解得3a b r r. 故选：D. 7（2021 四川省绵阳南山中学高三其他模拟 （理） ） 在平行四边形ABCD中，60BAD，4AB ，2AD ，E为DC的中点，则AB AEuuu r uuu r（ ） A9 B12 C18 D22 【答案】B 【分析】 利用基底向量,AB ADuuu r uuu r表示出AEuuu r，再根据数量积的运算律以及定义即可求出 【详解】 因为12AEADDEADABuuu
11、 ruuu ruuu ruuu ruuu r， 所以22114 2 cos604122212AB AEABAADBDBABAA ouuu r uuu ruuu ruuu r uuuuuu ruuuurruur 故选：B 8（2021 全国高三其他模拟（理）如图，在矩形ABCD中，2AB ，1AD ，E为边DC的中点，F为BE的中点，则AF AEuuu r uuu r（ ） A3 B2 C32 D12 【答案】B 【分析】 以A为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算直接求解即可. 【详解】 以A为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系， 则0,0A，1,1E，3 1,2 2F，3
12、 1,2 2AFuuu r，1,1AE uuu r， 31222AF AEuuu r uuu r. 故选：B. 9（2021 全国高一课时练习）已知1er，2er是两个夹角为3的单位向量，1224aeerrr，124beerrr，则rra b（ ） A7 B9 C11 D13 【答案】C 【分析】 直接利用数量积的定义和运算律求解即可 【详解】 因为1224aeerrr，124beerrr， 所以 2212121122124481448 14 1 14112a beeeeee ee rrrrrrrrrr. 故选：C. 10（2021 广东高三其他模拟）若向量ar和br满足| 2,| 1,|4
13、| 2 3ababrrrr，则向量ar在向量br上的投影为（ ） A2 B3 C1 D1 【答案】D 【分析】 根据平面向量的数量积与投影的定义，计算即可 【详解】 解：| 2,| 1,|4 | 2 3ababrrrr， 所以2281612aa bbrrrrg， 所以4816 1 12a b rrg，所以1a b rr， 向量ar在向量br上的投影为1|cos11|a babrrgrr 故选：D 11（2021 黑龙江佳木斯市 佳木斯一中高三三模 （理） ） 已知单位向量ar，br的夹角为 120 ， 设32cabrrr 则|cr|（ ） A7 B21 C3 D2 【答案】A 【分析】 根据已
14、知条件，结合向量的模长公式即可得到cr. 【详解】 由单位向量, a brr的夹角为 120 ，且32cabrrr， 得cr221912413 12 1 172aa bb rrrr 故选：A 12 （2021 江西九江市 九江一中高三其他模拟（理）若向量ar、br满足2a r，26abarrr，则br在ar方向上的投影为（ ） A1 B1 C12 D12 【答案】D 【分析】 利用平面向量数量积的运算性质求得a br r的值，由此可求得br在ar方向上的投影. 【详解】 由已知条件可得222426abaaa ba brrrrr rr r，cos,1a ba ba b r rrrr r， 因此，
15、br在ar方向上的投影为1cos,2ba brr r. 故选：D. 13（2021 浙江高考真题）已知非零向量, ,a b cr r r，则“a cb c r rr r”是“abrr”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】 考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系. 【详解】 如图所示，,OAa OBb OCc BAabuuu ruuu ruuu ruu u rrrrrr,当ABOC时，abrr与cr垂直，所以成立，此时abrr， 不是abrr的充分条件， 当abrr时，0abrrr，00abcc rrrr r,成立，
16、是abrr的必要条件， 综上，“”是“”的必要不充分条件 故选：B. 14（2020 海南高考真题）已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点，则AP ABuuu r uuu r 的取值范围是（ ） A()2,6 B( 6,2) C( 2,4) D( 4,6) 【答案】A 【分析】 首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到APuuu r在ABuuu r方向上的投影的取值范围是( 1,3)，利用向量数量积的定义式，求得结果. 【详解】 ABuuu r的模为 2，根据正六边形的特征， 可以得到APuuu r在ABuuu r方向上的投影的取值范围是( 1,3)， 结合向量数量
17、积的定义式， 可知AP ABuuu r uuu r等于ABuuu r的模与APuuu r在ABuuu r方向上的投影的乘积， 所以AP ABuuu r uuu r的取值范围是()2,6， 故选：A. 【点睛】 该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目. 15 （2020 全国高考真题（理）已知向量abrr ar，br满足| 5a r，| 6b r，6a brr，则cos,=a abrr r（ ） A3135 B1935 C1735 D1935 【答案】D 【分析】 计算出aabrrr、abrr的值，利用平面向量数量积可计算出cos
18、, a abr rr的值. 【详解】 5a rQ，6b r，6a b r r，225619aabaa b rrrrr r. 2222252 6367ababaa bb rrrrrr rr， 因此，1919cos,5 735aaba abaabrrrr rrrrr. 故选：D. 【点睛】 本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题. 16（2019 全国高考真题（理）已知ABuuu v=(2,3)，ACuuu v=(3，t)，BCuuu v=1，则AB BCuuu v uuu v= A-3 B-2 C2 D3 【答案】C 【分析】
19、 根据向量三角形法则求出 t，再求出向量的数量积. 【详解】 由(1,3)BCACABtuuu ruuu ruuu r，221(3)1BCtuuu r，得3t ，则(1,0)BC uuu r，(2,3) (1,0)2 1 3 02AB BC uuu r uuu rgg故选 C 【点睛】 本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大 17（2021 全国高考真题）已知向量0abc rrrr，1a r，2bcrr，a bb cc a r rr rr r_ 【答案】92 【分析】 由已知可得20abc rrr，展开化简后可得结果. 【详解】 由已知可得22222920abcabca
20、bb cc aa bb cc a rrrrrrr rr rr rr rr rr r， 因此，92a bb cc a r rr rr r. 故答案为：92. 18（2020 全国高考真题（理）设, a brr为单位向量，且| 1abrr，则|abrr_. 【答案】3 【分析】 整理已知可得：2ababrrrr，再利用, a br r为单位向量即可求得21a b r r，对abrr变形可得：222abaa bb rrrr rr，问题得解. 【详解】 因为, a br r为单位向量，所以1abrr 所以2222221ababaa bba b rrrrrr rrr r 解得：21a b r r 所以22223ababaa bb rrrrrr rr 故答案为：3 【点睛】 本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.