1、学科网（北京）股份有限公司 抛物线抛物线 1（2021 北京高三开学考试）直线2yx与抛物线W：22ypx交于A，B两点，若5AB ，则A，B两点到抛物线W的准线的距离之和为（ ） A1 B2 C3 D4 2 （2021 南涧彝族自治县民族中学高二期中（理）已知命题:p抛物线22yx的焦点为1,04；命题:q平面内两条不同直线的斜率相等是两条直线平行的充分不必要条件.则下列命题是真命题的是（ ） Apq Bpq C pq Dpq 3（2021 全国）若抛物线24yx上一点M到该抛物线的焦点F的距离| 5MF ，则点M到x轴的距离为（ ） A4 B2 6 C4 6 D5 6 4（2021 天津耀
2、华中学高三开学考试）过抛物线C：26yx的焦点且垂直于x轴的直线被双曲线E：22210 xyaa所截得线段长度为2 2，则双曲线的离心率为（ ） A2 B512 C72 D213 5（2021 陕西高三其他模拟（理）抛物线20yaxa上点1,2Mm到其准线 l 的距离为 1，则 a 的值为（ ） A14 B12 C2 D4 6（2021 四川成都 石室中学高二期中）已知F是抛物线24yx的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，6AFBF 则线段AB的中点到y轴的距离为（ ） A32 B1 C2 D52 7（2021 会泽县茚旺高级中学高二月考（理）设斜率为 1 的直线l过抛物线210 xyaa的
3、焦点F，且和y轴交于点A，若OAF（O为坐标原点）的面积为 2，则a（ ） A4 B8 C4 D8 学科网（北京）股份有限公司 8（2021 江苏高三一模）过抛物线24yx的焦点作直线 l 交抛物线于 A，B 两点，若线段AB中点的横坐标为 3，则AB等于（ ） A2 B4 C6 D8 9（2021 全国高二专题练习）到点0,4F的距离比到直线5y 的距离小1的动点M的轨迹方程为（ ） A216yx B216yx C216xy D216xy 10（2021 全国高二专题练习）设抛物线的焦点到顶点的距离为 3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是（ ） A(6，) B6，) C(3，) D3，
4、) 11（2021 四川省蒲江县蒲江中学高二月考（理）已知直线:(2)(0)l yk xk与抛物线2:8C yx交于A，B 两点，F 为抛物线 C 的焦点，若2AFFBuuu ruuu r则 k 的值是（ ） A13 B2 23 C2 2 D24 12（2021 天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点与抛物线22(0)ypx p的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于 A，B 两点，交双曲线的渐近线于 C、D 两点，若2 |CDAB则双曲线的离心率为（ ） A2 B3 C2 D3 12（2021 天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点与抛物线22(
5、0)ypx p的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于 A，B 两点，交双曲线的渐近线于 C、D 两点，若2 |CDAB则双曲线的离心率为（ ） A2 B3 C2 D3 14（2017 全国高考真题（理）已知 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1与 C 交于 A、B 两点，直线 l2与 C 交于 D、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A16 B14 C12 D10 15（2021 全国高考真题）已知O为坐标原点，抛物线C：22ypx(0p )的焦点为F，P为C上一点，学科网（北京）股份有限公司 PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQOP，
6、若6FQ ，则C的准线方程为_. 16 （2018 全国高考真题（理）已知点1 1M，和抛物线24C yx：，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若90AMB，则k _ 16 （2018 全国高考真题（理）已知点1 1M，和抛物线24C yx：，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若90AMB，则k _ 抛物线抛物线 1（2021 北京高三开学考试）直线2yx与抛物线W：22ypx交于A，B两点，若5AB ，则A，B两点到抛物线W的准线的距离之和为（ ） A1 B2 C3 D4 【答案】C 【分析】 直线2yx与抛物线W：22ypx联立，可得0,0A，,2pBp，再利用两点之间
7、的距离公式求得2p ，再利用抛物线的性质即可得解. 【详解】 联立222yxypx，整理得：220 xpx，解得：120,2pxx 即直线与抛物线交于0,0，,2pp两点，且0p 由5AB ，得2245pp+=，解得：2p 或2p （舍） 所以抛物线方程为24yx，准线方程为1x 故A，B两点到抛物线W的准线的距离之和为11 13， 故选：C. 【点睛】 关键点点睛：解题的关键是熟悉抛物线的性质. 2 （2021 南涧彝族自治县民族中学高二期中（理）已知命题:p抛物线22yx的焦点为1,04；命题:q平学科网（北京）股份有限公司 面内两条不同直线的斜率相等是两条直线平行的充分不必要条件.则下列
8、命题是真命题的是（ ） Apq Bpq C pq Dpq 【答案】A 【分析】 判断出命题p、q的真假，利用复合命题的真假可判断各选项中命题的真假. 【详解】 抛物线22yx的标准方程为212xy，该抛物线的焦点坐标为10,8，命题p为假命题； 对于命题q，充分性：平面内两条不同直线的斜率相等，则这两条直线平行，充分性成立， 必要性：若平面内两条不同直线平行，则这两条直线斜率相等或这两条直线的斜率都不存在，必要性不成立. 故平面内两条不同直线的斜率相等是两条直线平行的充分不必要条件，命题q为真命题. 故pq为真，pq为假， pq 为假，pq 为假. 故选：A. 3（2021 全国）若抛物线24
9、yx上一点M到该抛物线的焦点F的距离| 5MF ，则点M到x轴的距离为（ ） A4 B2 6 C4 6 D5 6 【答案】A 【分析】 根据抛物线的定义求得M点的横坐标，进而求得M点的纵坐标，从而求得点M到x轴的距离. 【详解】 根据题意可知抛物线的准线方程为1x，M到该抛物线的焦点F的距离为5， M到准线的距离为5，即15Mx ，4Mx，代入抛物线方程求得4y ， 点M到x轴的距离为4. 故选：A 4（2021 天津耀华中学高三开学考试）过抛物线C：26yx的焦点且垂直于x轴的直线被双曲线E：22210 xyaa所截得线段长度为2 2，则双曲线的离心率为（ ） A2 B512 C72 D21
10、3 【答案】D 【分析】 学科网（北京）股份有限公司 根据题意，代入32x ，求得弦长294212 2a 即可求得a，再由基本量的计算即可得解. 【详解】 抛物线C：26yx的焦点为3( ,0)2，令32x ，可得2941ya ， 所以294212 2a ，32a ，由1b，所以37142c ，所以7212332cea. 故选：D 5（2021 陕西高三其他模拟（理）抛物线20yaxa上点1,2Mm到其准线 l 的距离为 1，则 a 的值为（ ） A14 B12 C2 D4 【答案】B 【分析】 首先求出抛物线的准线方程，由题意得到方程，解得即可； 【详解】 解：抛物线20yaxa即201ya
11、xa，可得准线方程14ya ， 抛物线20yaxa上点1,2Mm到其准线 l 的距离为 1， 可得：11124a，解得12a . 故选：B. 6（2021 四川成都 石室中学高二期中）已知F是抛物线24yx的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，6AFBF 则线段AB的中点到y轴的距离为（ ） A32 B1 C2 D52 【答案】C 【分析】 根据抛物线的方程求出焦点和准线方程，利用抛物线的定义，列出方程，求出,A B的中点横坐标，即可求学科网（北京）股份有限公司 出线段AB的中点到y轴的距离 【详解】 因为F是抛物线24yx的焦点，所以1,0F，准线方程1x， 设1122,A x yB x y
12、， 所以12116AFBFxx ，所以124xx， 所以线段AB的中点横坐标为2，所以线段AB的中点到y轴的距离为2 故选：C 【点睛】 关键点点睛：解题的关键是利用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离 7（2021 会泽县茚旺高级中学高二月考（理）设斜率为 1 的直线l过抛物线210 xyaa的焦点F，且和y轴交于点A，若OAF（O为坐标原点）的面积为 2，则a（ ） A4 B8 C4 D8 【答案】D 【分析】 把抛物线方程化为标准方程，求出焦点坐标与直线l的方程，进而可得A点的坐标 ，再结合三角形面积公式即可求解 【详解】 由题意可知： 抛物线2yax的焦点,04aF
13、，直线l的方程为4ayx， 将0 x代入得0,4aA， 12244OAFaaS ， 264a ，8a 故选：D 8（2021 江苏高三一模）过抛物线24yx的焦点作直线 l 交抛物线于 A，B 两点，若线段AB中点的横坐标为 3，则AB等于（ ） A2 B4 C6 D8 【答案】D 【分析】 根据抛物线方程得它的准线为:1l x ， 从而得到线段AB中点M到准线的距离等于 4 过A、B分别作AC、BD与l垂直，垂足分别为C、D，根据梯形中位线定理算出| 2| 8ACBDMN，结合抛物线的定义即学科网（北京）股份有限公司 可算出AB的长 【详解】 解：Q抛物线方程为24yx，抛物线的焦点为(1,
14、0)F，准线为:1l x 设线段AB的中点为0(3,)My，则M到准线的距离为：| 3( 1)4MN ， 过A、B分别作AC、BD与l垂直，垂足分别为C、D， 根据梯形中位线定理，可得| 2| 8ACBDMN， 再由抛物线的定义知：| |AFAC，| |BFBD， | | | 8ABAFBFACBD 故选：D. 9（2021 全国高二专题练习）到点0,4F的距离比到直线5y 的距离小1的动点M的轨迹方程为（ ） A216yx B216yx C216xy D216xy 【答案】C 【分析】 分析可知点M的轨迹是抛物线，确定该抛物线的焦点坐标和准线方程，即可得出点M的轨迹方程. 【详解】 由题意可
15、知，动点M到点0,4F的距离等于到直线4y 的距离， 故点M的轨迹为以点0,4F为焦点，以直线4y 为准线的抛物线，其轨迹方程为216xy. 故选：C. 10（2021 全国高二专题练习）设抛物线的焦点到顶点的距离为 3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是（ ） A(6，) B6，) C(3，) D3，) 【答案】D 【分析】 学科网（北京）股份有限公司 抛物线的焦点到顶点的距离为 3 求得p，又抛物线上的点到准线的距离的最小值为2p可得答案 【详解】 抛物线的焦点到顶点的距离为 3， 32p=，即6p =， 又抛物线上的点到准线的距离的最小值为2p， 抛物线上的点到准线的距离的取值范围为
16、3, 故选：D. 11（2021 四川省蒲江县蒲江中学高二月考（理）已知直线:(2)(0)l yk xk与抛物线2:8C yx交于A，B 两点，F 为抛物线 C 的焦点，若2AFFBuuu ruuu r则 k 的值是（ ） A13 B2 23 C2 2 D24 【答案】C 【分析】 画出图象，结合抛物线的定义求得k的值. 【详解】 直线:(2)(0)l yk xk过2,0，也即直线l过抛物线的焦点2,0F， 画出图象如下图所示， 过A作直线垂直于抛物线的准线，垂足为D；过B作直线垂直于抛物线的准线，垂足为C， 过B作BEAD，交AD于E. 依题意2AFFBuuu ruuu r，设220AFBF
17、t t， 则,3AEADBCt ABAFBFt， 2232 2BEttt， 所以直线l的斜率2 2BEkAE. 故选：C 学科网（北京）股份有限公司 12（2021 天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点与抛物线22(0)ypx p的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于 A，B 两点，交双曲线的渐近线于 C、D 两点，若2 |CDAB则双曲线的离心率为（ ） A2 B3 C2 D3 【答案】A 【分析】 设公共焦点为,0c，进而可得准线为xc，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212ac，再由双曲线离心率公式即可得解. 【详解】 设双曲线22221(0,0)x
18、yabab与抛物线22(0)ypx p的公共焦点为,0c， 则抛物线22(0)ypx p的准线为xc， 令xc，则22221cyab，解得2bya ，所以22bABa, 又因为双曲线的渐近线方程为byxa ，所以2bcCDa， 学科网（北京）股份有限公司 所以222 2bcbaa，即2cb，所以222212acbc， 所以双曲线的离心率2cea. 故选：A. 13 （2020 全国高考真题（理）已知 A 为抛物线 C:y2=2px（p0）上一点，点 A 到 C 的焦点的距离为 12，到 y 轴的距离为 9，则 p=（ ） A2 B3 C6 D9 【答案】C 【分析】 利用抛物线的定义建立方程即
19、可得到答案. 【详解】 设抛物线的焦点为 F，由抛物线的定义知|122ApAFx，即1292p，解得6p =. 故选：C. 【点晴】 本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题. 14（2017 全国高考真题（理）已知 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1与 C 交于 A、B 两点，直线 l2与 C 交于 D、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A16 B14 C12 D10 【答案】A 【详解】 设11223344( ,), (,),(,),(,)A x yB xyD x yE xy，直线1l的方程
20、为1(1)yk x，联立方程214(1)yxyk x，得2222111240k xk xxk， 21122124kxxk 212124kk， 同理直线2l与抛物线的交点满足22342224kxxk，由抛物线定义可知12342ABDExxxxp 221222222212121224244416482816kkkkkkk k，当且仅当121kk （或1）时，取等号. 点睛:对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角
21、表示，设直线的倾斜角为，则22|sinpAB，则2222|cossin ( +)2ppDE，所以222221|4(cossincosppABDE 学科网（北京）股份有限公司 222222222111sincos)4()(cossin)4(2)4 (22)16sincossincossin. 15（2021 全国高考真题）已知O为坐标原点，抛物线C：22ypx(0p )的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQOP，若6FQ ，则C的准线方程为_. 【答案】32x 【分析】 先用坐标表示PQ，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p，即得结果. 【详解】 抛物线C：22ypx
22、(0p )的焦点,02pF, P 为C上一点，PF与x轴垂直， 所以 P 的横坐标为2p，代入抛物线方程求得 P 的纵坐标为p, 不妨设(, )2pPp, 因为 Q 为x轴上一点，且PQOP，所以 Q 在 F 的右侧， 又| 6FQ Q， (6,0),(6,)2pQPQpuuu r 因为PQOP，所以PQ OPuuu r uuu r2602pp , 0,3ppQ， 所以C的准线方程为32x 故答案为：32x . 【点睛】 利用向量数量积处理垂直关系是本题关键. 16 （2018 全国高考真题（理）已知点1 1M，和抛物线24C yx：，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若90AMB，
23、则k _ 【答案】2 【分析】 利用点差法得到 AB 的斜率，结合抛物线定义可得结果. 【详解】 详解：设1122A,B,x yx y 学科网（北京）股份有限公司 则21122244yxyx所以22121244yyxx所以1212124kyyxxyy 取 AB 中点00M xy，,分别过点 A,B 作准线x1 的垂线，垂足分别为A ,B 因为AMB90, 111MM222ABAFBFAABB， 因为 M为 AB 中点，所以 MM平行于 x 轴 因为 M(-1,1)所以01y ，则122yy即k2 故答案为 2. 【点睛】 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设1122A,B,x yx y，利用点差法得到1212124kyyxxyy，取 AB 中点00M xy，, 分别过点 A,B 作准线x1 的垂线，垂足分别为A ,B，由抛物线的性质得到1MM2AABB，进而得到斜率