1、等差数列等差数列 一、单选题 1（2021 湖南高二月考）在等差数列 na中，已知72519,221aaa，则 na的公差d （ ） A4 B3 C2 D1 2 （2021 江西省万载中学高一期末（理）已知 na为等差数列且11a ，41324aa，nS为其前n项的和，则16S（ ） A176 B182 C188 D192 3（2021 全国高三其他模拟（理）九章算术是中国古代张苍，耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了战国，秦，汉时期的数学成就.其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“今有 5 人分 5 钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前 2
2、人所得之和与后 3 人所得之和相等，问各得多少钱？”.则第 4 人所得钱数为（ ） A12钱 B23钱 C56钱 D1 钱 4（2021 河南洛阳市 高三其他模拟（理）已知等差数列 na的前n项和为nS，若39S ，663S ，则789aaa等于（ ） A63 B71 C99 D117 5（2021 全国高二专题练习）已知数列 na为等比数列，12a ，且234,2,a aa依次成等差数列，则21210logaaaL（ ） A35 B45 C55 D65 6（2021 山西临汾市 高三其他模拟 （理） ） 设 na是公差为-2 的等差数列， 且4624aa， 则10S（ ） A-8 B-10
3、C8 D10 7（2021 鄂尔多斯市第一中学高一月考（理）在等差数列 na中，18615aaa，则此等差数列的前 9 项之和为（ ） A5 B27 C45 D90 8 （2021 全国高二课时练习） 设数列an是等差数列， 且 a2=-6， a8=6， Sn是数列an的前 n 项和， 则 （ ） AS4S5 BS4=S5 CS6S5 DS6=S5 9（2021 全国高三其他模拟（理）数列 na满足m nmnaaa（m，*nN），11a ，20222440aaaaL（ ） A300 B330 C630 D600 10 （2021 河北饶阳中学高三其他模拟）已知 na是等差数列，且21a 是1a
4、和4a的等差中项，则 na的公差为（ ） A1 B2 C-2 D-1 11（2021 四川遂宁市 高三三模（理）已知等差数列 na满足13248,14aaaa，则它的前 8 项的和8S （ ） A70 B82 C92 D105 12（2021 全国高三其他模拟） 已知等差数列an的前n项和为Sn， 且Sn23252nn， 令Tm|am+am+1+am+4|（mN*），则 Tm的最小值为（ ） A9 B8 C5 D3 13 （2021 北京高考真题） na和 nb是两个等差数列，其中15kkakb为常值，1288a ，596a，1192b ，则3b （ ） A64 B128 C256 D512
5、14（2021 北京高考真题）数列 na是递增的整数数列，且13a ，12100naaa，则n的最大值为（ ） A9 B10 C11 D12 15 （2020 浙江高考真题）已知等差数列an的前 n 项和 Sn，公差 d0，11ad记 b1=S2，bn+1=S2n+2S2n，nN，下列等式不可能成立的是（ ） A2a4=a2+a6 B2b4=b2+b6 C2428aa a D242 8bb b 16（2020 全国高考真题（理）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌 9 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 9 块，下一层的第
6、一环比上一层的最后一环多 9 块，向外每环依次也增加 9 块，已知每层环数相同，且下层比中层多 729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ） A3699 块 B3474 块 C3402 块 D3339 块 17（2019 全国高考真题（理）记nS为等差数列na的前 n 项和已知4505Sa，则 A25nan B 310nan C228nSnn D2122nSnn 18（2021 江苏高考真题）已知等比数列 na的公比为q，且116a，24a，3a成等差数列，则q的值是_. 19 （2020 海南高考真题）将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列an，则an的前 n 项和为_ 等差
7、数列等差数列 一、单选题 1（2021 湖南高二月考）在等差数列 na中，已知72519,221aaa，则 na的公差d （ ） A4 B3 C2 D1 【答案】B 【分析】 根据条件列出方程组，即可求解. 【详解】 由题可得11619,3621,adad解得11,3.ad 故选：B 2 （2021 江西省万载中学高一期末（理）已知 na为等差数列且11a ，41324aa，nS为其前n项的和，则16S（ ） A176 B182 C188 D192 【答案】D 【分析】 先求出数列的公差d，再代入前n项和公式，即可得答案； 【详解】 Q11a ，41324aa， 11223122 152415
8、adaddd， 1616 15 221 16192215S ， 故选：D. 3（2021 全国高三其他模拟（理）九章算术是中国古代张苍，耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了战国，秦，汉时期的数学成就.其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“今有 5 人分 5 钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前 2 人所得之和与后 3 人所得之和相等，问各得多少钱？”.则第 4 人所得钱数为（ ） A12钱 B23钱 C56钱 D1 钱 【答案】C 【分析】 将问题转化为等差数列，结合等差数列的基本量计算来求得正确选项. 【详解】 设从前到后的 5 个人所得钱数
9、构成首项为1a，公差为d的等差数列 na， 则有12345aaaaa，123455aaaaa，故118021adad， 解得14316ad ，则414153326aad. 故选：C 4（2021 河南洛阳市 高三其他模拟（理）已知等差数列 na的前n项和为nS，若39S ，663S ，则789aaa等于（ ） A63 B71 C99 D117 【答案】C 【分析】 由等差数列的前n项和性质，求出9S，进而得到789aaa. 【详解】 由等差数列 na的前n项和性质， 得：3S，63SS，96SS也成等差数列， 即633962 SSSSS， 又因39S ，663S ，则解得9162S ， 因此7
10、89961626399aaaSS. 故选：C. 5（2021 全国高二专题练习）已知数列 na为等比数列，12a ，且234,2,a aa依次成等差数列，则21210logaaaL（ ） A35 B45 C55 D65 【答案】C 【分析】 利用等比数列的通项公式和等差数列的性质，求得公比，进而得到通项公式，然后利用对数的运算法则求解. 【详解】 设数列 na的公比为q，因为2a，342,aa依次成等差数列，所以32424aaa，所以21 (2)0qq，则2q =，故2nna ，所以21210log1 21055aaa LL. 故选：C. 6（2021 山西临汾市 高三其他模拟 （理） ） 设
11、 na是公差为-2 的等差数列， 且4624aa， 则10S（ ） A-8 B-10 C8 D10 【答案】D 【分析】 直接利用等差数列通项公式和前n项和公式进行计算，即可得答案； 【详解】 Q1111325341026adadaa， 1010 910 10( 2)102S ， 故选：D. 7（2021 鄂尔多斯市第一中学高一月考（理）在等差数列 na中，18615aaa，则此等差数列的前 9 项之和为（ ） A5 B27 C45 D90 【答案】C 【分析】 根据已知求得53a，由此求得9S. 【详解】 依题意18615aaa，即131215ad，即5315a ， 所以919599452S
12、aaa. 故选：C 8 （2021 全国高二课时练习） 设数列an是等差数列， 且 a2=-6， a8=6， Sn是数列an的前 n 项和， 则 （ ） AS4S5 BS4=S5 CS6S5 DS6=S5 【答案】B 【分析】 (方法一)利用首项和公差求解；(方法二)利用等差数列的性质求解. 【详解】 (方法一)设该等差数列的首项为 a1，公差为 d， 则有11-676.adad，解得1-82.ad， 从而有 S4=-20，S5=-20，S6=-18. 从而有 S4=S5. (方法二)由等差数列的性质知 a5+a5=a2+a8=-6+6=0， 所以 a5=0，从而有 S4=S5. 故选：B 9
13、（2021 全国高三其他模拟（理）数列 na满足m nmnaaa（m，*nN），11a ，20222440aaaaL（ ） A300 B330 C630 D600 【答案】B 【分析】 根据给定条件判断数列 na是等差数列，再借助等差数列的前 n 项和公式求解即得. 【详解】 数列 na满足m nmnaaa（m，*nN），则当1m时，则11nnaa， 于是得数列 na是首项为 1，公差为 1 的等差数列，1(1)11naandnn ， 从而有20222440(2040) 11202224403302aaaaLL， 所以20222440330aaaaL. 故选：B 10 （2021 河北饶阳中学
14、高三其他模拟）已知 na是等差数列，且21a 是1a和4a的等差中项，则 na的公差为（ ） A1 B2 C-2 D-1 【答案】B 【分析】 利用等差中项的性质得导方程，利用通项公式转化为关于首项和公差的方程，即可求得公差的值. 【详解】 设等差数列 na的公差为 d. 由已知条件，得14aa221a ， 即111321aadad，解得2d . 故选 B. 11（2021 四川遂宁市 高三三模（理）已知等差数列 na满足13248,14aaaa，则它的前 8 项的和8S （ ） A70 B82 C92 D105 【答案】C 【分析】 设等差数列na的首项为1a，公差为d，即可根据已知条件联立
15、方程组解出1a和d，从而计算出8S 【详解】 解：设等差数列na的首项为1a，公差为d 由1324814aaaa，得112282414adad，解得11a ，3d 所以81878828 3922Sad 故选：C 12（2021 全国高三其他模拟） 已知等差数列an的前n项和为Sn， 且Sn23252nn， 令Tm|am+am+1+am+4|（mN*），则 Tm的最小值为（ ） A9 B8 C5 D3 【答案】C 【分析】 先求出等差数列的通项公式，再根据等差数列的性质，即可分析到mT的最小值 【详解】 解：由等差数列 na的前 n 项和23252nnnS，当1n 时111a ，当2n时，213
16、12512nnnS 所以2213125132531422nnnnnnnaSSn 当1n ，314nan也成立，所以314nan 根据等差数列的性质可得1234255 385mmmmmmmaaTaaama，当且仅当3m时取等号 故选：C 13 （2021 北京高考真题） na和 nb是两个等差数列，其中15kkakb为常值，1288a ，596a，1192b ，则3b （ ） A64 B128 C256 D512 【答案】B 【分析】 由已知条件求出5b的值，利用等差中项的性质可求得3b的值. 【详解】 由已知条件可得5115aabb，则5 15196 19264288a bba，因此，1531
17、926412822bbb. 故选：B. 14（2021 北京高考真题）数列 na是递增的整数数列，且13a ，12100naaa，则n的最大值为（ ） A9 B10 C11 D12 【答案】C 【分析】 使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式即可得解. 【详解】 若要使 n 尽可能的大，则1a，递增幅度要尽可能小， 不妨设数列 na是首项为 3，公差为 1 的等差数列，其前 n 项和为nS， 则2nan，113 1311881002S，123 14121021002S， 所以 n 的最大值为 11. 故选：C. 15 （2020 浙江高考真题）已知等差数列an的前 n 项和
18、Sn，公差 d0，11ad记 b1=S2，bn+1=S2n+2S2n，nN，下列等式不可能成立的是（ ） A2a4=a2+a6 B2b4=b2+b6 C2428aa a D242 8bb b 【答案】D 【分析】 根据题意可得，21212222nnnnnbSaaS，而1212bSaa，即可表示出题中2468,b b b b，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立 【详解】 对于 A， 因为数列 na为等差数列， 所以根据等差数列的下标和性质， 由442 6可得，4262aaa，A 正确； 对于 B，由题意可知，21212222nnnnnbSaaS，1212bSaa， 234baa，478b
19、aa，61112baa，81516baa 47822baa，26341112bbaaaa 根据等差数列的下标和性质，由3 1177,4 1288可得26341112784=2=2bbaaaaaab，B 正确； 对于 C，2224281111137222aa aadadadda dd da， 当1ad时，2428aa a，C 正确； 对于 D，22222478111213452169baaadaa dd，222 8341516111125229468145b baaaaadadaadd， 2242 8112416832bb bdaddda 当0d 时，1ad，113220dadda即242 80
20、bb b； 当0d 时，1ad，113220dadda即242 80bb b，所以242 80bb b，D 不正确 故选：D. 【点睛】 本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题 16（2020 全国高考真题（理）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌 9 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 9 块，下一层的第一环比上一层的最后一环多 9 块，向外每环依次也增加 9 块，已知每层环数相同，且下层比中层多 729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ） A3699 块 B3474 块 C3402 块 D3339 块 【答
21、案】C 【分析】 第 n 环天石心块数为na，第一层共有 n 环，则na是以 9 为首项，9 为公差的等差数列， 设nS为na的前 n 项和，由题意可得322729nnnnSSSS，解方程即可得到 n，进一步得到3nS. 【详解】 设第 n 环天石心块数为na，第一层共有 n 环， 则na是以 9 为首项，9 为公差的等差数列，9(1) 99nann， 设nS为na的前 n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分 别为232,nnnnnS SS SS，因为下层比中层多 729 块， 所以322729nnnnSSSS， 即3 (927 )2 (918 )2 (918 )(99 )7292222n
22、nnnnnnn 即29729n ，解得9n ， 所以32727(9927)34022nSS. 故选：C 【点晴】 本题主要考查等差数列前 n 项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题. 17（2019 全国高考真题（理）记nS为等差数列na的前 n 项和已知4505Sa，则 A25nan B 310nan C228nSnn D2122nSnn 【答案】A 【分析】 等差数列通项公式与前 n 项和公式 本题还可用排除， 对 B，55a ，44( 72)1002S ， 排除 B，对 C，245540,2 58 50105SaSS ，排除 C对 D，24554150,52 50522S
23、aSS ，排除 D，故选 A 【详解】 由题知，415144 30245dSaaad ，解得132ad ，25nan，故选 A 【点睛】 本题主要考查等差数列通项公式与前 n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养利用等差数列通项公式与前 n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断 18（2021 江苏高考真题）已知等比数列 na的公比为q，且116a，24a，3a成等差数列，则q的值是_. 【答案】4 【分析】 根据三数成等差数列列等式，再将2a，3a用含1a和q的式子表示，代入等式求解. 【详解】 因为 na为等比数列，且公比为q， 所以21aa q，2
24、31aaq且10a ，0q . 因为116a，24a，3a成等差数列， 所以1321624aaa， 有2111162 4aa qa q ，28160qq， 解得4q . 故答案为：4. 19 （2020 海南高考真题）将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列an，则an的前 n 项和为_ 【答案】232nn 【分析】 首先判断出数列21n与32n项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果. 【详解】 因为数列21n是以 1 为首项，以 2 为公差的等差数列， 数列32n是以 1 首项，以 3 为公差的等差数列， 所以这两个数列的公共项所构成的新数列 na是以 1 为首项，以 6 为公差的等差数列， 所以 na的前n项和为2(1)16322n nnnn ， 故答案为：232nn. 【点睛】 该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.