1、导数与函数的极值、最值导数与函数的极值、最值 一、单选题 1（2014 全国陕西省 高三一模）已知 e 为自然对数的底数，设函数 f（x）=xex，则 A1 是 f（x）的极小值点 B1 是 f（x）的极小值点 C1 是 f（x）的极大值点 D1 是 f（x）的极大值点 2（2021 河南（理）已知函数32( )5f xxxax在3x 处取得极值，则a（ ） A4 B3 C2 D3 3（2021 全国高二专题练习（理）已知函数( )f x的导函数( )fx的图像如下，若( )f x在0 xx处有极值，则0 x的值为（ ） A3 B0 C3 D7 4（2020 河南南阳市 高二期中（理）已知是函
2、数2x就函数3( )32f xxax的极小值点，那么函数 f x的极大值为（ ） A-2 B6 C17 D18 5（2019 四川省绵阳南山中学高二期中（理）已知( )yf x是R上的连续可导函数，则“00fx”是“0 xx是函数( )yf x的一个极值点”的条件. A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分又不必要 6 （2021 江西赣州市 高二期末（理）若函数2( )()f xx xc在1x 处有极大值，则常数 c 为（ ） A1 B3 C1 或 3 D-1 或-3 7（2020 全国高二课时练习）设三次函数 f(x)的导函数为 f(x)，函数 yxf(x)的图象的一部分如图所示，则
3、（ ） Af(x)极大值为 f(3)，极小值为 f(3) Bf(x)极大值为 f(3)，极小值为 f(3) Cf(x)极大值为 f(3)，极小值为 f（3） Df(x)极大值为 f（3），极小值为 f(3) 8（2021 河北沧州市 高三三模）已知函数 ln xfxxx，则（ ） A f x的单调递减区间为0,1 B f x的极小值点为 1 C f x的极大值为1 D f x的最小值为1 9（2021 河南开封市 高三三模（理）设函数 xef xxa，若 f x的极小值为e，则a（ ） A12 B12 C32 D2 10（2021 全国高三其他模拟（理）函数 (2)xf xxe的最小值为（ ）
4、 A2 Be C1 D0 11（2021 河南郑州市 高二期末（理）若函数 33f xxx在区间22 ,3aa上有最大值，则实数a的取值范围是（ ） A3,1 B2,1 C13,2 D2, 1 12（2020 全国） 若函数321( )13f xxx在区间( ,3)m m上存在最小值， 则实数m的取值范围是 （ ） A 5,0) B( 5,0) C 3,0) D( 3,0) 13 （2021 全国高考真题 （理） ） 设0a， 若xa为函数 2fxa xaxb的极大值点， 则 （ ） Aab Bab C2aba D2aba 14 （2019 辽宁高考真题 （理） ） 设函数 f x满足 222
5、,2,8xeex fxxf xfx则0 x时， f x A有极大值，无极小值 B有极小值，无极大值 C既有极大值又有极小值 D既无极大值也无极小值 15（2020 重庆高考真题（理）设函数( )f x在 R 上可导，其导函数为 ( )fx，且函数(1)( )yx fx的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是 A函数( )f x有极大值 (2)f和极小值(1)f B函数( )f x有极大值 ( 2)f 和极小值(1)f C函数( )f x有极大值 (2)f和极小值( 2)f D函数( )f x有极大值 ( 2)f 和极小值(2)f 16 （2018 全国高考真题（理）若2x是函数21(
6、)(1)xf xxaxe的极值点，则( )f x的极小值为 A1 B32e C35e D1 导数与函数的极值、最值导数与函数的极值、最值 一、单选题 1（2014 全国陕西省 高三一模）已知 e 为自然对数的底数，设函数 f（x）=xex，则 A1 是 f（x）的极小值点 B1 是 f（x）的极小值点 C1 是 f（x）的极大值点 D1 是 f（x）的极大值点 【答案】B 【详解】 试题分析：， 当时， 当时， 当时，所以当时，函数取得极小值，是函数的极小值点，故选 B. 考点：导数与极值 2（2021 河南（理）已知函数32( )5f xxxax在3x 处取得极值，则a（ ） A4 B3 C
7、2 D3 【答案】B 【分析】 依题意30f ，即可求出参数a的值； 【详解】 解:因为32( )5f xxxax， 所以2( )310fxxxa， 由条件知，3x 是方程( )0fx的实数根，3a所以32( )53f xxxx，2( )3103313fxxxxx ，令( )0fx，解得13x 或3x，即 f x在1,3和, 3 上单调递增，令( )0fx，解得133x ，即 f x在13,3上单调递减，故 f x在3x 取得极大值，满足条件； 故选：B 3（2021 全国高二专题练习（理）已知函数( )f x的导函数( )fx的图像如下，若( )f x在0 xx处有极值，则0 x的值为（ ）
8、 A3 B0 C3 D7 【答案】B 【分析】 根据极值与导数的关系判断 【详解】 由( )fx知，0 x时，(0)0f ，30 x 时，( )0fx，03x时，( )0fx，0是极值点虽然有(7)0f ，但在 7 的两侧，( )0fx，7 不是极值点 故选：B 4（2020 河南南阳市 高二期中（理）已知是函数2x就函数3( )32f xxax的极小值点，那么函数 f x的极大值为（ ） A-2 B6 C17 D18 【答案】D 【分析】 求出导数，由题意得， 20f，解出a，再由单调性，判断极大值点，求出即可 【详解】 函数3( )32f xxax的导数 233fxxa， 由题意得， 20
9、f，即1230a，4a 3122f xxx， 2312322fxxxx， 令 0fx，得2x 或2x； 0fx ，得22x ， 所以当时2x取极大值，即 8242218f xf 极大值 故选：D 【点睛】 本题考查导数的应用：求极值，同时考查运算能力，属于基础题 5（2019 四川省绵阳南山中学高二期中（理）已知( )yf x是R上的连续可导函数，则“00fx”是“0 xx是函数( )yf x的一个极值点”的条件. A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分又不必要 【答案】B 【分析】 由极值点的定义可以判定条件不能推结论，结论可以推条件，再由充分必要性的判定，即可判定答案. 【详解】
10、因为( )yf x是R上的连续可导函数 条件中00fx， 只能说明0 xx是一个驻点， 该点处两边的单调性不一定相异， 所以不一定是极值点，故不可推出结论 结论中0 xx是函数( )yf x的一个极值点，则该点处的导数必然00fx，故可以推出条件 所以是必要不充分条件 故选：B 【点睛】 本题考查函数中极值点的定义，还考查了充分必要条件的判定，属于基础题. 6 （2021 江西赣州市 高二期末（理）若函数2( )()f xx xc在1x 处有极大值，则常数 c 为（ ） A1 B3 C1 或 3 D-1 或-3 【答案】B 【分析】 求出函数的导数，再令导数等于 0，求出c 值，再检验函数的导
11、数是否满足在1x 处左侧为正数，右侧为负数，把不满足条件的c值舍去 【详解】 Q函数2322( )()2f xx xcxcxc x，22( )34f xxcxc， 由题意知，在1x 处的导数值为2340cc， 3c ，或1c， 又函数2( )()f xx xc在1x 处有极大值， 故导数值在1x 处左侧为正数，右侧为负数 当3c 时，2( )31293(1)(3)f xxxxx， 满足导数值在1x 处左侧为正数，右侧为负数 当1c时，2( )341(31)(1)f xxxxx ， 导数值在1x 处左侧为负数，右侧为正数 故3c 故选：B 7（2020 全国高二课时练习）设三次函数 f(x)的导
12、函数为 f(x)，函数 yxf(x)的图象的一部分如图所示，则（ ） Af(x)极大值为 f(3)，极小值为 f(3) Bf(x)极大值为 f(3)，极小值为 f(3) Cf(x)极大值为 f(3)，极小值为 f（3） Df(x)极大值为 f（3），极小值为 f(3) 【答案】D 【分析】 利用导数与函数单调性之间的关系以及极值的定义即可得出结果. 【详解】 当 x0，即 f(x)0； 当3x3 时，f(x)0 f(x)的极大值是 f（3），f(x)的极小值是 f(3) 故选：D 8（2021 河北沧州市 高三三模）已知函数 ln xfxxx，则（ ） A f x的单调递减区间为0,1 B f
13、 x的极小值点为 1 C f x的极大值为1 D f x的最小值为1 【答案】C 【分析】 先对函数求导 221 ln xxfxx，令 21 lnxxx ，再利用导数判断其单调性，而 1 =0，从而可求出 f x的单调区间和极值 【详解】 2221 ln1 ln1xfxxxxx.令 21 lnxxx ，则 120 xxx ， 所以 21 lnxxx 在0,上单调递减.因为 1 =0， 所以当01x时， 0 x；当1x 时， 0 x. 所以 f x的单调递增区间为0,1，单调递减区间为1,， 故 f x的极大值点为 1， f x的极大值为 11f 故选：C 9（2021 河南开封市 高三三模（理
14、）设函数 xef xxa，若 f x的极小值为e，则a（ ） A12 B12 C32 D2 【答案】B 【分析】 由函数的导数( )0fx求极值点，将极值点代入( )f x可得方程，进而求得a值. 【详解】 由已知得：2(1)( )()xexafxxa()xa ，令( )0fx，有1xa ，且1xa 上递减，1xa 上递增， ( )f x的极小值为1(1)afaee，即112a，得12a . 故选：B. 10（2021 全国高三其他模拟（理）函数 (2)xf xxe的最小值为（ ） A2 Be C1 D0 【答案】B 【分析】 首先利用导数求出函数的单调区间，再根据单调区间即可得到最小值. 【
15、详解】 ( )(2)(1)xxxfxexexe， 令( )0fx，解得1x . 所以 f x在,1上单调递减，在1,上单调递增， 故 f x的最小值为 1fe 故选：B 11（2021 河南郑州市 高二期末（理）若函数 33f xxx在区间22 ,3aa上有最大值，则实数a的取值范围是（ ） A3,1 B2,1 C13,2 D2, 1 【答案】D 【分析】 求导( )233fxx=-，求得其最大值点，再根据 f x在区间22 ,3aa上有最大值，由最大值点的横坐标是 22 ,3aa中的元素求解. 【详解】 因为函数 33f xxx， 所以( )233fxx=-， 当1x或1x 时， 0fx，当
16、11x 时， 0fx， 所以当1x时， f x取得最大值， 又 122ff，且 f x在区间22 ,3aa上有最大值， 所以22132aa ， 解得21a ， 所以实数a的取值范围是2, 1 故选：D 12（2020 全国） 若函数321( )13f xxx在区间( ,3)m m上存在最小值， 则实数m的取值范围是 （ ） A 5,0) B( 5,0) C 3,0) D( 3,0) 【答案】D 【分析】 求导，可得( )f x的单调区间和极值点，根据题意，可得03mm，经检验符合题意，即可得答案. 【详解】 函数321( )13f xxx的导函数为2( )2fxxx， 令( )0fx，得2x或
17、0 x， 故( )f x在(, 2),(0,) 上单调递增，在( 2,0)上单调递减， 则0 x为极小值点，2x为极大值点. 由( )f x在区间( ,3)m m上存在最小值， 可得03mm，解得30m ， 此时32211( )1(3)11(0)33f mmmm mf ， 因此实数 m 的取值范围是( 3,0)， 故选：D. 13 （2021 全国高考真题 （理） ） 设0a， 若xa为函数 2fxa xaxb的极大值点， 则 （ ） Aab Bab C2aba D2aba 【答案】D 【分析】 结合对a进行分类讨论，画出 f x图象，由此确定正确选项. 【详解】 若ab，则 3f xa xa
18、为单调函数，无极值点，不符合题意，故ab. 依题意，xa为函数 2fxa xaxb的极大值点， 当0a 时，由xb， 0f x ，画出 f x的图象如下图所示： 由图可知ba，0a ，故2aba. 当0a时，由xb时， 0f x ，画出 f x的图象如下图所示： 由图可知ba，0a，故2aba. 综上所述，2aba成立. 故选：D 【点睛】 本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答. 14 （2019 辽宁高考真题 （理） ） 设函数 f x满足 222,2,8xeex fxxf xfx则0 x时， f x A有极大值，无极小值 B有极小值，无极大值 C既有极
19、大值又有极小值 D既无极大值也无极小值 【答案】D 【详解】 Q函数( )f x满足2( )2( )xex fxxf xx， 2xex f xx，令 2F xx f x， 则 2,24?22xeeFxFfx， 由 22xex fxxf xx，得 32xeF xfxx，令 2xxeF x， 则 22,xxexxeFxx x在0,2上单调递减，在2,上单调递增， x的最小值为 22220,0eFx. 又 0,0,xfxf x在0,单调递增， f x既无极大值也无极小值，故选 D. 考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值及函数的求导法则. 【方法点睛】 本题主要考察抽象函数的
20、单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状”； 若是选择题， 可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题通过观察导函数的“形状”，联想到函数 2F xx f x，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论. 15（2020 重庆高考真题（理）设函数( )f x在 R 上可导，其导函数为 ( )fx，且函数(1)( )yx fx的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立
21、的是 A函数( )f x有极大值 (2)f和极小值(1)f B函数( )f x有极大值 ( 2)f 和极小值(1)f C函数( )f x有极大值 (2)f和极小值( 2)f D函数( )f x有极大值 ( 2)f 和极小值(2)f 【答案】D 【详解】 2,10, 10 xxx fx则 0fx函数 f x增； 21,10, 10 xxx fx 则 0fx函数 f x减； 12,10, 10 xxx fx则 0fx函数 f x减； 2,10, 10 xxx fx则 0fx函数 f x增；选 D. 【考点定位】 判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于 0 则函数递增，当导函数小于 0
22、则函数递减 16 （2018 全国高考真题（理）若2x是函数21( )(1)xf xxaxe的极值点，则( )f x的极小值为 A1 B32e C35e D1 【答案】A 【详解】 由题可得 121212121xxxfxxa exaxexaxae， 因为20f ，所以1a， 211xf xxxe，故 212xfxxxe， 令 0fx，解得2x或1x ， 所以 f x在 , 2 , 1, 上单调递增，在2,1上单调递减， 所以 f x的极小值为 1 111 1 11fe ，故选 A 【名师点睛】（1）可导函数 yf(x)在点 x0处取得极值的充要条件是 f (x0)0，且在 x0左侧与右侧 f (x)的符号不同； （2）若 f(x)在(a，b)内有极值，那么 f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值