1、导数与不等式导数与不等式 一、单选题 1 （2021 黑龙江全国 高二期中 （理） ） 已知函数 2lnf xkxx， 若 0f x 在函数定义域内恒成立，则k的取值范围是 A1,ee B11,2e e C1,2e D1,2e 2（2020 四川乐山市 高二期中（理）设a为正实数，函数322( )34f xxaxa，若( ,2 )xaa ，( )0f x ，则a的取值范围是（ ） A2,) B(2,) C(0,2 D2(0, )3 3（2019 六盘山高级中学高二月考（理）若不等式4342xxa对任意实数 x 都成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A27a B25a C29a D29a 4
2、（2020 全国（理）.设函数( )f x在R上的导函数为( )fx,且22 ( )( )f xxfxx.下面的不等式在R上恒成立的是 A( )0f x B( )0f x C( )f xx D( )f xx 5（2020 重庆西南大学附中高三月考） 已知函数 lnf xxax， 若不等式1xf xxae在0,x上恒成立，则实数 a 的取值范围为（ ） A,1 B1 ， C,0 D0,1 6（2020 浙江省柯桥中学高三开学考试）已知a是实数，1,4x，则“52a ”是“101xax恒成立”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7（2021 浙江高
3、三其他模拟）若实数, a b满足 221ln 2ln1abab，则ab（ ） A2 B3 C3 22 D5 32 8（2021 浙江高三其他模拟）已知非负函数 f x的导函数为 fx，且 f x的定义域为0,，若对于定义域内的任意x，均满足 f xfxx，则下列式子中不一定正确的是（ ） A 221ff B 32fe f C 7436ff D 122f ee f 9 （2021 江苏南京市 高三一模） 已知e是自然对数的底数，是圆周率， 下列不等式中，33，33ee，ee，正确的个数为（ ） A0 B1 C2 D3 10（2021 江西高三其他模拟（理）若正实数a，b满足22lnln222ba
4、ba，则（ ） A1224ab B122 22ab C2ab D240ba 11（2021 济南市 山东省实验中学高二月考）已知函数ln0,1xxf xaex a aa，对任意12,0,1x x，不等式212f xf xa恒成立，则a的取值范围为（ ） A21,2e B,ee C1,2 D2,ee e 12（2021 重庆高三三模）若关于x的不等式lnx aexa对一切正实数x恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A1,e B,e C,1 D,2 13（2019 天津高考真题（理）已知aR，设函数222 ,1,( )ln ,1,xaxaxf xxaxx若关于x的不等式( ) 0f x 在R上恒成
5、立，则a的取值范围为 A0,1 B0,2 C0,e D1,e 14（2021 全国高考真题（理）设2ln1.01a ，ln1.02b，1.041c 则（ ） Aabc Bbca Cbac Dcab 15（2019 辽宁高考真题（理）若0,)x，则下列不等式恒成立的是 A21xexx B21111241xxx C21cos12xx D21ln(1)8xxx 16（2020 江苏高考真题）3( )31f xaxx对于1,1x 总有( )0f x 成立，则a=_ 导数与不等式导数与不等式 一、单选题 1 （2021 黑龙江全国 高二期中 （理） ） 已知函数 2lnf xkxx， 若 0f x 在函
6、数定义域内恒成立，则k的取值范围是 A1,ee B11,2e e C1,2e D1,2e 【答案】D 【详解】 试题分析： 由题意得 0f x 在函数定义域内恒成立， 即2ln0kxx在函数定义域内恒成立， 即2ln xkx在函数定义域内恒成立，设 2ln xg xx，则 442 ln(1 2ln )xxxxxgxxx，当(0,)xe上，函数 g x单调递增；当(,)xe上，函数 g x单调递减，所以当xe时，函数 g x取得最大值，此时最大值为 max12g xe，所以实数k的取值范围是1,2e，故选 D 考点：函数的恒成立问题 【方法点晴】本题主要考查了函数的恒成立问题，其中解答中涉及到利
7、用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值、恒成立的分离参数构造新函数等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想，试题有一定的思维深度，属于中档试题，解答中根据函数的恒成立，利用分离参数法构造新函数，利用新函数的性质是解答的关键 2（2020 四川乐山市 高二期中（理）设a为正实数，函数322( )34f xxaxa，若( ,2 )xaa ，( )0f x ，则a的取值范围是（ ） A2,) B(2,) C(0,2 D2(0, )3 【答案】A 【分析】 对函数进行求导，利用导数的正负性判断函数( )f x在( ,2 )aa上的单调性，根据函数(
8、)f x在( ,2 )aa上单调性结合已知进行求解即可. 【详解】 3222( )34( )363 (2 )f xxaxafxxaxx xa， 因为0a，当( ,2 )xaa时，所以有( )0fx 成立，因此函数( )f x在( ,2 )aa上单调递减， 因此当( ,2 )xaa 时，( )0f x 恒成立，一定有( )0f a 成立， 即22320(2)340aaa aaa，因为0a，所以有2a. 故选：A 【点睛】 本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，考查了数学运算能力. 3（2019 六盘山高级中学高二月考（理）若不等式4342xxa对任意实数 x 都成立，则实数 a 的取值范围是（
9、 ） A27a B25a C29a D29a 【答案】D 【分析】 设43( )4f xxx，不等式4342xxa对任意实数 x 都成立，只需min( )2f xa，用导数法求出min( )f x，即可求解. 【详解】 43322( )4,( )4124(3)f xxxfxxxxx, 当3x时，( )0fx，当3x 时，( )0fx， ( )f x的递减区间是(,3)，递增区间是(3,)， 所以3,( )xf x取得极小值，也是最小值， min( )(3)27f xf ， 不等式4342xxa对任意实数 x 都成立， 所以272,29a a. 故选:D. 【点睛】 本题考查利用导数求函数的最值
10、、函数恒成立问题，意在考查逻辑推理、数学运算能力，属于基础题. 4 （2020 全国（理）.设函数( )f x在R上的导函数为( )fx,且22 ( )( )f xxfxx.下面的不等式在R上恒成立的是 A( )0f x B( )0f x C( )f xx D( )f xx 【答案】A 【详解】 可令 f(x)12x212，则 f(x)满足条件，验证各个选项，知 B、C、D 都不恒成立，故选 A. 5（2020 重庆西南大学附中高三月考） 已知函数 lnf xxax， 若不等式1xf xxae在0,x上恒成立，则实数 a 的取值范围为（ ） A,1 B1 ， C,0 D0,1 【答案】B 【分
11、析】 将不等式进行恒等变形，则原问题转化为函数单调性的问题，据此求解 a 的取值范围即可 【详解】 xxf exae， 所以12xf xaxe在0,上恒成立， 等价于1xf xf e在0,上恒成立， 因为0,x时，11xxe ，所以只需 f x在1,上递减， 即1x ， 0fx恒成立，即1x 时，10ax恒成立，即1ax恒成立， 只需max1ax，所以1a ，故选：B 6（2020 浙江省柯桥中学高三开学考试）已知a是实数，1,4x，则“52a ”是“101xax恒成立”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 变形可得11ax
12、x，即求11yxx的最小值，利用导数可求其单调性，即可求得最小值为32，即可得 a 的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案. 【详解】 101xax可等价为11axx， 设11yxx，1,4x， 2110(1)yx ，1,4x， 所以11yxx在1,4x为单调递增函数， 所以min32y，即32a ， 所以“52a ”是“32a ” 的必要不充分条件， 故选：B 【点睛】 本题考查恒成立问题，充分、必要条件的判定，利用导数判断函数的单调性等知识，考查分析理解，求值化简的能力，属基础题. 7（2021 浙江高三其他模拟）若实数, a b满足 221ln 2ln1abab，则ab（ ） A2
13、 B3 C3 22 D5 32 【答案】C 【分析】 构造函数 ln1g xxx证得ln1xx， 从而得到 221lnln 2lnaaabbb ， 结合均值不等式得到方程组，解之即可. 【详解】 证明不等式ln1xx， 令 ln1g xxx， 11gxx ， 故 g x在0,1上单调递减，在1,上单调递增， 10g xg，故ln1xx证明成立； 又因为2211ab21ab，且仅当 a=1b时成立 又因为 221lnln 2lnaaabbb 故与题意联立，得 221lnln 2lnaaabbb 令 t=2ab，故有1lntt ，解得1t 时成立，综上联立：2ab=1 与 a=1b 解得 a=22
14、，b=2， 故选：C. 【点睛】 构造函数证明不等式，然后结合不等式的夹逼定理以及均值不等式得到方程组，需要较强的抽象思维能力. 8（2021 浙江高三其他模拟）已知非负函数 f x的导函数为 fx，且 f x的定义域为0,，若对于定义域内的任意x，均满足 f xfxx，则下列式子中不一定正确的是（ ） A 221ff B 32fe f C 7436ff D 122f ee f 【答案】B 【分析】 根据题意可得 xfxf x，构造函数 f xg xx，对其求导判断单调性，根据单调性即可判断四个选项的正误，进而可得正确选项. 【详解】 因为0 x，且 f xfxx，可得 xfxf x，即 0
15、xfxf x， 令 f xg xx，则 2xfxf xgxx，所以 0g x， 所以 f xg xx在0,上单调递增， 对于选项 A：由 21gg可得 2121ff，即 221ff，故选项 A 正确； 对于选项 B：由 32gg可得 3232ff，即 3322ff，得不出 32fe f ，故选项 B 不正确； 对于选项 C：由 43gg可得 4343ff，即 4433ff，因为 30f ，所以 473336ff，可得 7436ff，故选项 C 正确； 对于选项 D：由 12g eg可得 1212ff ee，即 122f eef，故选项 D 正确； 所以不一定正确的是选项 B， 故选：B. 【点
16、睛】 关键点点睛：本题解题的关键是根据已知条件构造函数 f xg xx，并根据单调性比较大小. 9 （2021 江苏南京市 高三一模） 已知e是自然对数的底数，是圆周率， 下列不等式中，33，33ee，ee，正确的个数为（ ） A0 B1 C2 D3 【答案】D 【分析】 构造函数 ln xfxx，利用导数判断 f x的单调性，由此判断不等式正确的个数. 【详解】 构造函数 ln0 xfxxx， 21ln xfxx， 所以 f x在区间0,e上 0fx ， f x递增；在区间, e 上 0,fxf x递减， 由于3e ，所以lnln3ln3ee， 所以：33lnln33lnln3lnln333
17、eeeeeeee， lnlnlnlnlnlneeeeeeee， 33ln3lnln33lnln3ln33， 所以不等式正确的个数为3. 故选：D 10（2021 江西高三其他模拟（理）若正实数a，b满足22lnln222baba，则（ ） A1224ab B122 22ab C2ab D240ba 【答案】B 【分析】 利用基本不等式可得2222212baab（当且仅当222ba 时取等号），利用熟知的结论1lnxx （当且仅当1x 时取等号）进行放缩可得到2222lnln2baab，结合已知条件，得到22lnln222baba，考虑到各不等式取等号的条件，解得, a b的值，然后逐一检验即可
18、做出正确判断. 【详解】 先证明熟知的结论：1lnxx 恒成立，且当且仅当1x 时取等号. 设 1 lnf xxx ,则 11fxx , 在(0,1)上， 0fx, f x单调递减;在(1,+)上， 0fx, f x单调递增. 故 11 1 00minf xf , 1lnf xxx 恒成立，且当且仅当1x 时取等号. 由22222222 22212lnlnln22bbaaababab, 由已知22lnln222baba，22lnln222baba， 且22221baab，解得122ab, 经检验只有 B 正确， 故选：B. 【点睛】 本题关键点在于利用基本不等式和熟知的结论1lnxx 恒成立，
19、且当且仅当1x 时取等号进行研究，得到2222lnln2baab，结合已知得到等式，一定要注意基本不等式和1lnxx 取等号的条件，才能列出方程组求得, a b的值. 11（2021 济南市 山东省实验中学高二月考）已知函数ln0,1xxf xaex a aa，对任意12,0,1x x，不等式212f xf xa恒成立，则a的取值范围为（ ） A21,2e B,ee C1,2 D2,ee e 【答案】B 【分析】 求出函数 f x在0,1上的最值，212f xf xa等价于maxmin( )( )2f xf xa，解出即可 【详解】 因为( )lnxxf xaexa，所以( )lnln1 ln
20、xxxxfxaaeaaae， 当1a 时，对任意的0,1x，10,ln0 xaa ，恒有( )0fx； 当01a时，10,ln0 xaa , 恒有( )0fx， 所以( )f x在0,1x上是单调递增函数，对任意的12,10 x x ，不等式 212f xf xa恒成立, 只要maxmin( )( )2f xf xa， 又max( )(1)lnf xfaea ，min( )(0)1 12f xf , 所以2ln2aaea ，即lnae, 解得eae, 所以a的取值范围是,ee 故选：B 12（2021 重庆高三三模）若关于x的不等式lnx aexa对一切正实数x恒成立，则实数a的取值范围是（
21、） A1,e B,e C,1 D,2 【答案】C 【分析】 构造函数( )(0)x af xelnxa x，将原不等式转化为求解函数( )f x的最小值，通过导数判断函数的单调性研究函数的最值，得到000 xaelnxa ，再利用基本不等式进行求解即可 【详解】 解：设( )(0)x af xelnxa x，则( ) 0f x 对一切正实数x恒成立，即( )0minf x， 由1( )x afxex，令1( )x ah xex，则21( )0 x ah xex恒成立， 所以( )h x在(0,)上为增函数， 当0 x时，( )h x ，当x 时，( )h x ， 则在(0,)上，存在0 x使得
22、0()0h x， 当00 xx时，( )0h x ，当0 xx时，( )0h x ， 故函数( )f x在0(0,)x上单调递减，在0(x，)上单调递增， 所以函数( )f x在0 xx处取得最小值为000()0 xaf xelnxa ， 因为001xaex，即00 xalnx ， 所以0010 xaax 恒成立，即0012a xx， 又00001122xxxx，当且仅当001xx，即01x 时取等号， 故22a，所以1a 故选：C 【点睛】 方法点睛：不等式恒成立问题常见方法： 分离参数( )af x恒成立(min( )af x即可)或( )af x恒成立（max( )af x即可）； 数形
23、结合( yf x 图象在 yg x 上方即可)； 讨论最值min( )0f x或max( )0f x恒成立； 讨论参数. 13（2019 天津高考真题（理）已知aR，设函数222 ,1,( )ln ,1,xaxaxf xxaxx若关于x的不等式( ) 0f x 在R上恒成立，则a的取值范围为 A0,1 B0,2 C0,e D1,e 【答案】C 【分析】 先判断0a时，2220 xaxa在(,1上恒成立；若ln0 xax在(1,)上恒成立，转化为lnxax在(1,)上恒成立 【详解】 (0)0f，即0a， （1）当01a时，2222( )22()22(2)0f xxaxaxaaaaaaa， 当1
24、a 时，(1)10f ， 故当0a时，2220 xaxa在(,1上恒成立； 若ln0 xax在(1,)上恒成立，即lnxax在(1,)上恒成立， 令( )lnxg xx，则2ln1( )(ln )xg xx， 当,xe函数单增，当0,xe函数单减， 故 ming xg ee，所以ae当0a时，2220 xaxa在(,1上恒成立； 综上可知，a的取值范围是0, e， 故选 C 【点睛】 本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析 14（2021 全国高考真题（理）设2ln1.01a ，ln1.02b，1.041c 则（ ） Aabc Bbca Cbac Dcab
25、 【答案】B 【分析】 利用对数的运算和对数函数的单调性不难对 a,b 的大小作出判定，对于 a 与 c，b 与 c 的大小关系，将 0.01换成 x,分别构造函数 2ln 11 41f xxx, ln 1 21 41g xxx，利用导数分析其在0 的右侧包括 0.01 的较小范围内的单调性，结合 f(0)=0,g(0)=0 即可得出 a 与 c，b 与 c 的大小关系. 【详解】 2222ln1.01ln1.01ln 1 0.01ln 1 2 0.01 0.01ln1.02ab , 所以ba; 下面比较c与, a b的大小关系. 记 2ln 11 41f xxx,则 00f, 21 4122
26、11 411 4xxfxxxxx ， 由于2214122xxxxxx 所以当 0 x0 时,214120 xx, 所以 0g x,即函数 g x在0,+)上单调递减，所以 0.0100gg,即ln1.021.041,即 bc; 综上，bca, 故选：B. 【点睛】 本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的. 15（2019 辽宁高考真题（理）若0,)x，则下列不等式恒成立的是 A21xexx B21111241xxx C21cos12xx D21ln(1)8xxx
27、 【答案】C 【详解】 对于21xexx 与，当 5x 时，32xe ，而 2131xx，所以 A 选项不正确；对于21111241xxx与，当 14x 时，212 511572 5,15246451xxx，所以 B 选项不正确；令 21( )cos12f xxx，则( )sin0fxxx，对 0,)x恒成立，( )f x在 0,)上为增函数，所以( )f x的最小值为 (0)0f，所以( )0f x ，21cos12xx ，故 C 正确；令 21( )ln(1)8g xxxx，则11( )114g xxx， 令( )0g x ，得03xx或.当 (0,3)x时，( )0g x ，当(3,)x
28、时， ( )0g x . ( )g x在 3x 时取得最小值9(3)ln4308g ，所以 D 不正确 故选：C 考点定位：本题考查不等式恒成立问题，意在考查考生用构造函数的方法，利用导数求最值来比较大小的能力 16（2020 江苏高考真题）3( )31f xaxx对于1,1x 总有( )0f x 成立，则a=_ 【答案】4 【解析】 本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用，体现了分类讨论的数学思想 要使( )0f x 恒成立，只要min( )0f x在1,1x 上恒成立 22( )333(1)fxaxax 01 当0a时，所以min( )20f x ，不符合题意，舍去 02当0a时22( )333(1)0fxaxax，即( )f x单调递减，min( )(1)202f xfaa，舍去 03当0a时1( )0fxxa 若111aa 时( )f x在11,a 和1,1a上单调递增， 在11,aa上单调递减 所以min1( )min( 1),()f xffa( 1)400411()120faafaa 当111aa 时( )f x在1,1x 上单调递减， min( )(1)202f xfaa，不符合题意，舍去综上可知 a=4.