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2022年高考数学理科一轮复习《导数与不等式》基础练+能力练+真题练(含答案解析)

1、导数与不等式导数与不等式 一、单选题 1 (2021 黑龙江全国 高二期中 (理) ) 已知函数 2lnf xkxx, 若 0f x 在函数定义域内恒成立,则k的取值范围是 A1,ee B11,2e e C1,2e D1,2e 2(2020 四川乐山市 高二期中(理)设a为正实数,函数322( )34f xxaxa,若( ,2 )xaa ,( )0f x ,则a的取值范围是( ) A2,) B(2,) C(0,2 D2(0, )3 3(2019 六盘山高级中学高二月考(理)若不等式4342xxa对任意实数 x 都成立,则实数 a 的取值范围是( ) A27a B25a C29a D29a 4

2、(2020 全国(理).设函数( )f x在R上的导函数为( )fx,且22 ( )( )f xxfxx.下面的不等式在R上恒成立的是 A( )0f x B( )0f x C( )f xx D( )f xx 5(2020 重庆西南大学附中高三月考) 已知函数 lnf xxax, 若不等式1xf xxae在0,x上恒成立,则实数 a 的取值范围为( ) A,1 B1 , C,0 D0,1 6(2020 浙江省柯桥中学高三开学考试)已知a是实数,1,4x,则“52a ”是“101xax恒成立”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7(2021 浙江高

3、三其他模拟)若实数, a b满足 221ln 2ln1abab,则ab( ) A2 B3 C3 22 D5 32 8(2021 浙江高三其他模拟)已知非负函数 f x的导函数为 fx,且 f x的定义域为0,,若对于定义域内的任意x,均满足 f xfxx,则下列式子中不一定正确的是( ) A 221ff B 32fe f C 7436ff D 122f ee f 9 (2021 江苏南京市 高三一模) 已知e是自然对数的底数,是圆周率, 下列不等式中,33,33ee,ee,正确的个数为( ) A0 B1 C2 D3 10(2021 江西高三其他模拟(理)若正实数a,b满足22lnln222ba

4、ba,则( ) A1224ab B122 22ab C2ab D240ba 11(2021 济南市 山东省实验中学高二月考)已知函数ln0,1xxf xaex a aa,对任意12,0,1x x,不等式212f xf xa恒成立,则a的取值范围为( ) A21,2e B,ee C1,2 D2,ee e 12(2021 重庆高三三模)若关于x的不等式lnx aexa对一切正实数x恒成立,则实数a的取值范围是( ) A1,e B,e C,1 D,2 13(2019 天津高考真题(理)已知aR,设函数222 ,1,( )ln ,1,xaxaxf xxaxx若关于x的不等式( ) 0f x 在R上恒成

5、立,则a的取值范围为 A0,1 B0,2 C0,e D1,e 14(2021 全国高考真题(理)设2ln1.01a ,ln1.02b,1.041c 则( ) Aabc Bbca Cbac Dcab 15(2019 辽宁高考真题(理)若0,)x,则下列不等式恒成立的是 A21xexx B21111241xxx C21cos12xx D21ln(1)8xxx 16(2020 江苏高考真题)3( )31f xaxx对于1,1x 总有( )0f x 成立,则a=_ 导数与不等式导数与不等式 一、单选题 1 (2021 黑龙江全国 高二期中 (理) ) 已知函数 2lnf xkxx, 若 0f x 在函

6、数定义域内恒成立,则k的取值范围是 A1,ee B11,2e e C1,2e D1,2e 【答案】D 【详解】 试题分析: 由题意得 0f x 在函数定义域内恒成立, 即2ln0kxx在函数定义域内恒成立, 即2ln xkx在函数定义域内恒成立,设 2ln xg xx,则 442 ln(1 2ln )xxxxxgxxx,当(0,)xe上,函数 g x单调递增;当(,)xe上,函数 g x单调递减,所以当xe时,函数 g x取得最大值,此时最大值为 max12g xe,所以实数k的取值范围是1,2e,故选 D 考点:函数的恒成立问题 【方法点晴】本题主要考查了函数的恒成立问题,其中解答中涉及到利

7、用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值、恒成立的分离参数构造新函数等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及转化与化归思想,试题有一定的思维深度,属于中档试题,解答中根据函数的恒成立,利用分离参数法构造新函数,利用新函数的性质是解答的关键 2(2020 四川乐山市 高二期中(理)设a为正实数,函数322( )34f xxaxa,若( ,2 )xaa ,( )0f x ,则a的取值范围是( ) A2,) B(2,) C(0,2 D2(0, )3 【答案】A 【分析】 对函数进行求导,利用导数的正负性判断函数( )f x在( ,2 )aa上的单调性,根据函数(

8、)f x在( ,2 )aa上单调性结合已知进行求解即可. 【详解】 3222( )34( )363 (2 )f xxaxafxxaxx xa, 因为0a,当( ,2 )xaa时,所以有( )0fx 成立,因此函数( )f x在( ,2 )aa上单调递减, 因此当( ,2 )xaa 时,( )0f x 恒成立,一定有( )0f a 成立, 即22320(2)340aaa aaa,因为0a,所以有2a. 故选:A 【点睛】 本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题,考查了数学运算能力. 3(2019 六盘山高级中学高二月考(理)若不等式4342xxa对任意实数 x 都成立,则实数 a 的取值范围是(

9、 ) A27a B25a C29a D29a 【答案】D 【分析】 设43( )4f xxx,不等式4342xxa对任意实数 x 都成立,只需min( )2f xa,用导数法求出min( )f x,即可求解. 【详解】 43322( )4,( )4124(3)f xxxfxxxxx, 当3x时,( )0fx,当3x 时,( )0fx, ( )f x的递减区间是(,3),递增区间是(3,), 所以3,( )xf x取得极小值,也是最小值, min( )(3)27f xf , 不等式4342xxa对任意实数 x 都成立, 所以272,29a a. 故选:D. 【点睛】 本题考查利用导数求函数的最值

10、、函数恒成立问题,意在考查逻辑推理、数学运算能力,属于基础题. 4 (2020 全国(理).设函数( )f x在R上的导函数为( )fx,且22 ( )( )f xxfxx.下面的不等式在R上恒成立的是 A( )0f x B( )0f x C( )f xx D( )f xx 【答案】A 【详解】 可令 f(x)12x212,则 f(x)满足条件,验证各个选项,知 B、C、D 都不恒成立,故选 A. 5(2020 重庆西南大学附中高三月考) 已知函数 lnf xxax, 若不等式1xf xxae在0,x上恒成立,则实数 a 的取值范围为( ) A,1 B1 , C,0 D0,1 【答案】B 【分

11、析】 将不等式进行恒等变形,则原问题转化为函数单调性的问题,据此求解 a 的取值范围即可 【详解】 xxf exae, 所以12xf xaxe在0,上恒成立, 等价于1xf xf e在0,上恒成立, 因为0,x时,11xxe ,所以只需 f x在1,上递减, 即1x , 0fx恒成立,即1x 时,10ax恒成立,即1ax恒成立, 只需max1ax,所以1a ,故选:B 6(2020 浙江省柯桥中学高三开学考试)已知a是实数,1,4x,则“52a ”是“101xax恒成立”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 变形可得11ax

12、x,即求11yxx的最小值,利用导数可求其单调性,即可求得最小值为32,即可得 a 的范围,根据充分、必要条件的定义,即可得答案. 【详解】 101xax可等价为11axx, 设11yxx,1,4x, 2110(1)yx ,1,4x, 所以11yxx在1,4x为单调递增函数, 所以min32y,即32a , 所以“52a ”是“32a ” 的必要不充分条件, 故选:B 【点睛】 本题考查恒成立问题,充分、必要条件的判定,利用导数判断函数的单调性等知识,考查分析理解,求值化简的能力,属基础题. 7(2021 浙江高三其他模拟)若实数, a b满足 221ln 2ln1abab,则ab( ) A2

13、 B3 C3 22 D5 32 【答案】C 【分析】 构造函数 ln1g xxx证得ln1xx, 从而得到 221lnln 2lnaaabbb , 结合均值不等式得到方程组,解之即可. 【详解】 证明不等式ln1xx, 令 ln1g xxx, 11gxx , 故 g x在0,1上单调递减,在1,上单调递增, 10g xg,故ln1xx证明成立; 又因为2211ab21ab,且仅当 a=1b时成立 又因为 221lnln 2lnaaabbb 故与题意联立,得 221lnln 2lnaaabbb 令 t=2ab,故有1lntt ,解得1t 时成立,综上联立:2ab=1 与 a=1b 解得 a=22

14、,b=2, 故选:C. 【点睛】 构造函数证明不等式,然后结合不等式的夹逼定理以及均值不等式得到方程组,需要较强的抽象思维能力. 8(2021 浙江高三其他模拟)已知非负函数 f x的导函数为 fx,且 f x的定义域为0,,若对于定义域内的任意x,均满足 f xfxx,则下列式子中不一定正确的是( ) A 221ff B 32fe f C 7436ff D 122f ee f 【答案】B 【分析】 根据题意可得 xfxf x,构造函数 f xg xx,对其求导判断单调性,根据单调性即可判断四个选项的正误,进而可得正确选项. 【详解】 因为0 x,且 f xfxx,可得 xfxf x,即 0

15、xfxf x, 令 f xg xx,则 2xfxf xgxx,所以 0g x, 所以 f xg xx在0,上单调递增, 对于选项 A:由 21gg可得 2121ff,即 221ff,故选项 A 正确; 对于选项 B:由 32gg可得 3232ff,即 3322ff,得不出 32fe f ,故选项 B 不正确; 对于选项 C:由 43gg可得 4343ff,即 4433ff,因为 30f ,所以 473336ff,可得 7436ff,故选项 C 正确; 对于选项 D:由 12g eg可得 1212ff ee,即 122f eef,故选项 D 正确; 所以不一定正确的是选项 B, 故选:B. 【点

16、睛】 关键点点睛:本题解题的关键是根据已知条件构造函数 f xg xx,并根据单调性比较大小. 9 (2021 江苏南京市 高三一模) 已知e是自然对数的底数,是圆周率, 下列不等式中,33,33ee,ee,正确的个数为( ) A0 B1 C2 D3 【答案】D 【分析】 构造函数 ln xfxx,利用导数判断 f x的单调性,由此判断不等式正确的个数. 【详解】 构造函数 ln0 xfxxx, 21ln xfxx, 所以 f x在区间0,e上 0fx , f x递增;在区间, e 上 0,fxf x递减, 由于3e ,所以lnln3ln3ee, 所以:33lnln33lnln3lnln333

17、eeeeeeee, lnlnlnlnlnlneeeeeeee, 33ln3lnln33lnln3ln33, 所以不等式正确的个数为3. 故选:D 10(2021 江西高三其他模拟(理)若正实数a,b满足22lnln222baba,则( ) A1224ab B122 22ab C2ab D240ba 【答案】B 【分析】 利用基本不等式可得2222212baab(当且仅当222ba 时取等号),利用熟知的结论1lnxx (当且仅当1x 时取等号)进行放缩可得到2222lnln2baab,结合已知条件,得到22lnln222baba,考虑到各不等式取等号的条件,解得, a b的值,然后逐一检验即可

18、做出正确判断. 【详解】 先证明熟知的结论:1lnxx 恒成立,且当且仅当1x 时取等号. 设 1 lnf xxx ,则 11fxx , 在(0,1)上, 0fx, f x单调递减;在(1,+)上, 0fx, f x单调递增. 故 11 1 00minf xf , 1lnf xxx 恒成立,且当且仅当1x 时取等号. 由22222222 22212lnlnln22bbaaababab, 由已知22lnln222baba,22lnln222baba, 且22221baab,解得122ab, 经检验只有 B 正确, 故选:B. 【点睛】 本题关键点在于利用基本不等式和熟知的结论1lnxx 恒成立,

19、且当且仅当1x 时取等号进行研究,得到2222lnln2baab,结合已知得到等式,一定要注意基本不等式和1lnxx 取等号的条件,才能列出方程组求得, a b的值. 11(2021 济南市 山东省实验中学高二月考)已知函数ln0,1xxf xaex a aa,对任意12,0,1x x,不等式212f xf xa恒成立,则a的取值范围为( ) A21,2e B,ee C1,2 D2,ee e 【答案】B 【分析】 求出函数 f x在0,1上的最值,212f xf xa等价于maxmin( )( )2f xf xa,解出即可 【详解】 因为( )lnxxf xaexa,所以( )lnln1 ln

20、xxxxfxaaeaaae, 当1a 时,对任意的0,1x,10,ln0 xaa ,恒有( )0fx; 当01a时,10,ln0 xaa , 恒有( )0fx, 所以( )f x在0,1x上是单调递增函数,对任意的12,10 x x ,不等式 212f xf xa恒成立, 只要maxmin( )( )2f xf xa, 又max( )(1)lnf xfaea ,min( )(0)1 12f xf , 所以2ln2aaea ,即lnae, 解得eae, 所以a的取值范围是,ee 故选:B 12(2021 重庆高三三模)若关于x的不等式lnx aexa对一切正实数x恒成立,则实数a的取值范围是(

21、) A1,e B,e C,1 D,2 【答案】C 【分析】 构造函数( )(0)x af xelnxa x,将原不等式转化为求解函数( )f x的最小值,通过导数判断函数的单调性研究函数的最值,得到000 xaelnxa ,再利用基本不等式进行求解即可 【详解】 解:设( )(0)x af xelnxa x,则( ) 0f x 对一切正实数x恒成立,即( )0minf x, 由1( )x afxex,令1( )x ah xex,则21( )0 x ah xex恒成立, 所以( )h x在(0,)上为增函数, 当0 x时,( )h x ,当x 时,( )h x , 则在(0,)上,存在0 x使得

22、0()0h x, 当00 xx时,( )0h x ,当0 xx时,( )0h x , 故函数( )f x在0(0,)x上单调递减,在0(x,)上单调递增, 所以函数( )f x在0 xx处取得最小值为000()0 xaf xelnxa , 因为001xaex,即00 xalnx , 所以0010 xaax 恒成立,即0012a xx, 又00001122xxxx,当且仅当001xx,即01x 时取等号, 故22a,所以1a 故选:C 【点睛】 方法点睛:不等式恒成立问题常见方法: 分离参数( )af x恒成立(min( )af x即可)或( )af x恒成立(max( )af x即可); 数形

23、结合( yf x 图象在 yg x 上方即可); 讨论最值min( )0f x或max( )0f x恒成立; 讨论参数. 13(2019 天津高考真题(理)已知aR,设函数222 ,1,( )ln ,1,xaxaxf xxaxx若关于x的不等式( ) 0f x 在R上恒成立,则a的取值范围为 A0,1 B0,2 C0,e D1,e 【答案】C 【分析】 先判断0a时,2220 xaxa在(,1上恒成立;若ln0 xax在(1,)上恒成立,转化为lnxax在(1,)上恒成立 【详解】 (0)0f,即0a, (1)当01a时,2222( )22()22(2)0f xxaxaxaaaaaaa, 当1

24、a 时,(1)10f , 故当0a时,2220 xaxa在(,1上恒成立; 若ln0 xax在(1,)上恒成立,即lnxax在(1,)上恒成立, 令( )lnxg xx,则2ln1( )(ln )xg xx, 当,xe函数单增,当0,xe函数单减, 故 ming xg ee,所以ae当0a时,2220 xaxa在(,1上恒成立; 综上可知,a的取值范围是0, e, 故选 C 【点睛】 本题考查分段函数的最值问题,关键利用求导的方法研究函数的单调性,进行综合分析 14(2021 全国高考真题(理)设2ln1.01a ,ln1.02b,1.041c 则( ) Aabc Bbca Cbac Dcab

25、 【答案】B 【分析】 利用对数的运算和对数函数的单调性不难对 a,b 的大小作出判定,对于 a 与 c,b 与 c 的大小关系,将 0.01换成 x,分别构造函数 2ln 11 41f xxx, ln 1 21 41g xxx,利用导数分析其在0 的右侧包括 0.01 的较小范围内的单调性,结合 f(0)=0,g(0)=0 即可得出 a 与 c,b 与 c 的大小关系. 【详解】 2222ln1.01ln1.01ln 1 0.01ln 1 2 0.01 0.01ln1.02ab , 所以ba; 下面比较c与, a b的大小关系. 记 2ln 11 41f xxx,则 00f, 21 4122

26、11 411 4xxfxxxxx , 由于2214122xxxxxx 所以当 0 x0 时,214120 xx, 所以 0g x,即函数 g x在0,+)上单调递减,所以 0.0100gg,即ln1.021.041,即 bc; 综上,bca, 故选:B. 【点睛】 本题考查比较大小问题,难度较大,关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换,构造函数,利用导数研究相应函数的单调性,进而比较大小,这样的问题,凭借近似估计计算往往是无法解决的. 15(2019 辽宁高考真题(理)若0,)x,则下列不等式恒成立的是 A21xexx B21111241xxx C21cos12xx D21ln(1)8xxx

27、 【答案】C 【详解】 对于21xexx 与,当 5x 时,32xe ,而 2131xx,所以 A 选项不正确;对于21111241xxx与,当 14x 时,212 511572 5,15246451xxx,所以 B 选项不正确;令 21( )cos12f xxx,则( )sin0fxxx,对 0,)x恒成立,( )f x在 0,)上为增函数,所以( )f x的最小值为 (0)0f,所以( )0f x ,21cos12xx ,故 C 正确;令 21( )ln(1)8g xxxx,则11( )114g xxx, 令( )0g x ,得03xx或.当 (0,3)x时,( )0g x ,当(3,)x

28、时, ( )0g x . ( )g x在 3x 时取得最小值9(3)ln4308g ,所以 D 不正确 故选:C 考点定位:本题考查不等式恒成立问题,意在考查考生用构造函数的方法,利用导数求最值来比较大小的能力 16(2020 江苏高考真题)3( )31f xaxx对于1,1x 总有( )0f x 成立,则a=_ 【答案】4 【解析】 本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用,体现了分类讨论的数学思想 要使( )0f x 恒成立,只要min( )0f x在1,1x 上恒成立 22( )333(1)fxaxax 01 当0a时,所以min( )20f x ,不符合题意,舍去 02当0a时22( )333(1)0fxaxax,即( )f x单调递减,min( )(1)202f xfaa,舍去 03当0a时1( )0fxxa 若111aa 时( )f x在11,a 和1,1a上单调递增, 在11,aa上单调递减 所以min1( )min( 1),()f xffa( 1)400411()120faafaa 当111aa 时( )f x在1,1x 上单调递减, min( )(1)202f xfaa,不符合题意,舍去综上可知 a=4.