1、不等式不等式 1（2019 广东揭阳市 高三期中 （理） ） 已知集合 | 14Axx ，2|60BxZ xx， 则AB I（ ） A1,2 B2,3 C1,2,3 D2,3,4 2（2021 江苏高一专题练习）已知0 x，0y ，若1xy，则1xy的最小值为（ ） A4 B14 C2 D12 3（2019 福建高三期中（理）不等式102xx的解集为（ ） A21x B2x或1x C1x D2x 4（2021 浙江高二学业考试）已知正实数x、y满足2xy ，则xy的最小值是（ ） A3 B2 2 C2 D2 5（2021 全国高一课时练习）设实数x、y满足34x，12y，则2Mxy的取值范围是
2、（ ） A46M B47M C56M D57M 6（2021 全国）设自变量 x 对应的因变量为 y，在满足对任意的 x，不等式 yM 都成立的所有常数 M 中，将 M 的最小值叫做 y 的上确界若 a，b 为正实数，且 ab1，则12a2b的上确界为（ ） A92 B92 C14 D4 7（2021 全国高一课时练习） 若关于x的不等式11axx的解集为|1x x或2x ， 则实数a的值为 （ ） A12 B12 C2 D2 8（2020 江苏省苏州第十中学校高二月考）已知三个实数 2，2x，2y成等比数列（其中0 x，0y ），则12yxxy的最小值为（ ） A2 104 B11 C10
3、D2 25 9（2021 江西丰城九中高一月考）若关于x的不等式22840 xxa在1,4内有解，则实数a的取值范围是（ ） A( 4,) B(, 4) C( 12,) D(, 12) 10（2020 江苏省灌南高级中学高二月考）已知函数( )4(0,0)af xxxax在3x 时取得最小值，则a等于（ ） A6 B8 C16 D36 11（2020 上海市松江一中高一期中）三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成，该图可用来解释下列哪个不等式（ ） A如果,ab bc，那么ac； B如果0ab，那么22ab； C对任意实数a和b，有222abab，当且仅当ab时等号成立； D如果ab
4、，0c ，那么acbc 12（2021 江苏高考真题）已知奇函数 f x是定义在R上的单调函数，若正实数a，b满足240faf b则121ab的最小值是（ ） A23 B43 C2 D4 13（2021 浙江高考真题）若实数 x，y 满足约束条件1002310 xxyxy ，则12zxy的最小值是（ ） A2 B32 C12 D110 14（2021 浙江高考真题）已知, 是互不相同的锐角，则在sincos,sincos ,sin cos三个值中，大于12的个数的最大值是（ ） A0 B1 C2 D3 15（2020 天津高考真题）已知0,0ab，且1ab，则11822abab的最小值为_ 1
5、6 （2020 全国高考真题 （理） ） 若 x， y 满足约束条件220,10,10,xyxyy 则 z=x+7y 的最大值为_.17（2020 江苏高考真题）已知22451( ,)x yyx yR，则22xy的最小值是_ 不等式不等式 1（2019 广东揭阳市 高三期中 （理） ） 已知集合 | 14Axx ，2|60BxZ xx， 则AB I（ ） A1,2 B2,3 C1,2,3 D2,3,4 【答案】C 【分析】 解一元二次不等式求集合 B，再由集合的交运算求ABI即可. 【详解】 由2|60|061,2,3,4,5BxZ xxxZx， | 141,2,3,4,51,2,3ABxx
6、. 故选：C 2（2021 江苏高一专题练习）已知0 x，0y ，若1xy，则1xy的最小值为（ ） A4 B14 C2 D12 【答案】A 【分析】 利用基本不等式即可求解. 【详解】 因为0 x，0y ，1xy， 所以21()24xyxy，当且仅当12xy时取等号， 则14xy，即最小值为 4. 故选：A. 3（2019 福建高三期中（理）不等式102xx的解集为（ ） A21x B2x或1x C1x D2x 【答案】A 【分析】 根据分式不等式的求解方法计算即可得出答案. 【详解】 原不等式等价于12021xxx ，选项 A 正确，选项 BCD 错误 故选：A. 4（2021 浙江高二学
7、业考试）已知正实数x、y满足2xy ，则xy的最小值是（ ） A3 B2 2 C2 D2 【答案】B 【分析】 利用基本不等式可求得结果. 【详解】 由基本不等式可得22 2xyxy，当且仅当2xy时，等号成立. 因此，xy的最小值是2 2. 故选：B. 5（2021 全国高一课时练习）设实数x、y满足34x，12y，则2Mxy的取值范围是（ ） A46M B47M C56M D57M 【答案】B 【分析】 利用不等式的基本性质可求得M的取值范围. 【详解】 由已知得，628x，21y ，故427xy， 故选：B. 6（2021 全国）设自变量 x 对应的因变量为 y，在满足对任意的 x，不等
8、式 yM 都成立的所有常数 M 中，将 M 的最小值叫做 y 的上确界若 a，b 为正实数，且 ab1，则12a2b的上确界为（ ） A92 B92 C14 D4 【答案】A 【分析】 利用基本不等式即可求解. 【详解】 解析因为 a，b 为正实数，且 ab1， 所以12a2b122ab (ab) 5222baab52222baab92， 当且仅当 b2a，即 a13，b23时等号成立， 因此有12a2b92，即12a2b的上确界为92 故选：A 7（2021 全国高一课时练习） 若关于x的不等式11axx的解集为|1x x或2x ， 则实数a的值为 （ ） A12 B12 C2 D2 【答案
9、】A 【分析】 将分式不等式化简后根据解集即可得出答案. 【详解】 根据原不等式可以推出 11110001110111a xaxaxxxa xxxx ， 因为不等式11axx的解集为|1x x或2x ， 所以1，2是方程 1110 xa x的两根，且10a，所以112 102aa . 故选:A 8（2020 江苏省苏州第十中学校高二月考）已知三个实数 2，2x，2y成等比数列（其中0 x，0y ），则12yxxy的最小值为（ ） A2 104 B11 C10 D2 25 【答案】A 【分析】 巧用“1”，把目标式子转化为齐次式，进而利用均值不等式求最值即可. 【详解】 三个实数 2，2x，2y
10、成等比数列（其中0 x，0y ）， 2222xy，即21xy， 22 21252442 10 xyyxyxyxxyxyxyyx， 当且仅当25,52 252 2xy时，等号成立， 12yxxy的最小值为2 104. 故选：A 9（2021 江西丰城九中高一月考）若关于x的不等式22840 xxa在1,4内有解，则实数a的取值范围是（ ） A( 4,) B(, 4) C( 12,) D(, 12) 【答案】B 【分析】 关于x的不等式22840 xxa在1,4内有解，等价于在1,4内2max284xxa，然后求出2max284xx即可 【详解】 解：关于x的不等式22840 xxa在1,4内有解
11、，等价于在1,4内2max284xxa， 令2( )284,1,4f xxxx， 因为抛物线的对称轴为824x ， 所以当4x 时，( )f x取最大值(4)2 168 444f ， 所以4a-， 故选：B 10（2020 江苏省灌南高级中学高二月考）已知函数( )4(0,0)af xxxax在3x 时取得最小值，则a等于（ ） A6 B8 C16 D36 【答案】D 【分析】 利用基本不等式“一正，二定，三相等”求解即可 【详解】 因为( )4(0,0)af xxxax，故42 44aaxxaxx，当且仅当4axx，即2ax 时取等号，故3,362aa 故选：D 【点睛】 均值不等式2aba
12、b： 一正：0,0ab，二定：ab为定值，三相等：当且仅当ab时等号成立 11（2020 上海市松江一中高一期中）三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成，该图可用来解释下列哪个不等式（ ） A如果,ab bc，那么ac； B如果0ab，那么22ab； C对任意实数a和b，有222abab，当且仅当ab时等号成立； D如果ab，0c ，那么acbc 【答案】C 【分析】 设图中直角三角形的直角边长分别为, a b，则斜边长为22ab，进而可表示出阴影面积以及外围正方形的面积，由图可得结果. 【详解】 设图中全等的直角三角形的直角边长分别为, a b，则斜边长为22ab. 图中四个直角三
13、角形的面积和为1422a bab ，外围正方形的面积为22222abab. 由图可知，四个直角三角形的面积之和不超过外围正方形的面积，所以222abab，当且仅当ab时，等号成立. 故选：C. 12（2021 江苏高考真题）已知奇函数 f x是定义在R上的单调函数，若正实数a，b满足240faf b则121ab的最小值是（ ） A23 B43 C2 D4 【答案】B 【分析】 由奇函数 f x是定义在R上的单调函数，240faf b，可得24ab ，即2(1)6ab，所以121122(1)161ababab，化简后利用基本不等式可求得结果 【详解】 解：因为240faf b，所以(2 )(4)
14、faf b ， 因为奇函数 f x是定义在R上的单调函数， 所以(2 )(4)(4)faf bfb ， 所以24ab ，即24ab ， 所以226ab ，即2(1)6ab， 所以121122(1)161ababab 14(1)2261baab 14(1)461baab 14(1)1424(44)6163baab， 当且仅当4(1)1baab，即1,32ab时取等号， 所以121ab的最小值是43. 故选：B 13（2021 浙江高考真题）若实数 x，y 满足约束条件1002310 xxyxy ，则12zxy的最小值是（ ） A2 B32 C12 D110 【答案】B 【分析】 画出满足条件的可
15、行域，目标函数化为22yxz，求出过可行域点，且斜率为2的直线在y轴上截距的最大值即可. 【详解】 画出满足约束条件1002310 xxyxy 的可行域， 如下图所示： 目标函数12zxy化为22yxz， 由12310 xxy ，解得11xy ，设( 1,1)A ， 当直线22yxz过A点时， 12zxy取得最小值为32. 故选：B. 14（2021 浙江高考真题）已知, 是互不相同的锐角，则在sincos,sincos ,sin cos三个值中，大于12的个数的最大值是（ ） A0 B1 C2 D3 【答案】C 【分析】 利用基本不等式或排序不等式得3sincossincossincos2，
16、从而可判断三个代数式不可能均大于12，再结合特例可得三式中大于12的个数的最大值. 【详解】 法 1：由基本不等式有22sincossincos2， 同理22sincossincos2，22sincossincos2， 故3sincossincossincos2， 故sincos,sincos ,sin cos不可能均大于12. 取6，3，4， 则116161sincos,sincos,sincos424242， 故三式中大于12的个数的最大值为 2， 故选：C. 法 2：不妨设，则coscoscos ,sinsinsin， 由排列不等式可得： sincossincossincossincos
17、sincossincos， 而13sincossincossincossinsin222， 故sincos,sincos ,sin cos不可能均大于12. 取6，3，4， 则116161sincos,sincos,sincos424242， 故三式中大于12的个数的最大值为 2， 故选：C. 【点睛】 思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向. 15（2020 天津高考真题）已知0,0ab，且1ab，则11822abab的最小值为_ 【答案】4 【分析】 根据已知条件，将所求的式子化为82abab，利用基本不等
18、式即可求解. 【详解】 0,0,0abab Q，1ab,11882222abababababab 882422abababab，当且仅当ab=4 时取等号， 结合1ab,解得23,23ab，或23,23ab时，等号成立. 故答案为：4 【点睛】 本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题. 16 （2020 全国高考真题 （理） ） 若 x， y 满足约束条件220,10,10,xyxyy 则 z=x+7y 的最大值为_. 【答案】1 【分析】 首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值. 【详解】 绘制不等式组表示的平面区域如图所示， 目标函数7z
19、xy即：1177yxz ， 其中 z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在 y 轴上的截距最大， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最大值， 联立直线方程：22010 xyxy ，可得点 A 的坐标为：()1,0A， 据此可知目标函数的最大值为：max1 7 01z . 故答案为：1 【点睛】 求线性目标函数 zaxby(ab0)的最值，当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最小，在 y 轴上截距最小时，z 值最大. 17（2020 江苏高考真题）已知2245
20、1( ,)x yyx yR，则22xy的最小值是_ 【答案】45 【分析】 根据题设条件可得42215yxy，可得4222222114+555yyxyyyy，利用基本不等式即可求解. 【详解】 22451x yy 0y 且42215yxy 422222222114144+2555555yyyxyyyyy，当且仅当221455yy，即2231,102xy时取等号. 22xy的最小值为45. 故答案为：45. 【点睛】 本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.