1、表面积与体积表面积与体积 1（2021 北京人大附中高一期末）已知正三棱锥 S-ABC 的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为2，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ） A B3 C6 D9 2（2021 全国高三专题练习（理）某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为3的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（ ） A144 B72 C36 D24 3（2021 通辽新城第一中学高三其他模拟 （理） ） 一个几何体的三视图如图所示， 该几何体的表面积是 （ ） A3 B8 C12 D14 4（2021 福建龙岩 高三一模） 若
2、三棱锥PABC的四个面都为直角三角形， 且PA 平面ABC，1PAAB，2AC ，则其外接球的表面积为（ ） A6 B5 C4 D3 5（2021 山西阳泉 高三三模（理）在平面直角坐标系中，将不等式组10200 xyxyx 表示的平面区域绕y轴旋转一周所形成的几何体的体积是（ ） A3 B43 C73 D83 6（2021 全国高三其他模拟 （理） ） 在三棱锥PABC中， 已知PA 平面ABC，2PAABBC，2 2AC ，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A4 B10 C12 D48 7（2021 全国高三其他模拟（理）香水是香料溶于乙醇中的制品，早在公元前 15
3、00 年，埃及艳后克娄巴特拉七世就已经开始用 15 种不同气味的香水洗澡了.近年来，香水已经逐渐成为众多女士的日常用品.已知“香奈儿”的一款饱受热评的男士香水的包装瓶如图（1）所示，其三视图如图（2）所示，其中图（2）中方格小正方形的边长为 1，则该香水瓶的体积为（ ） A120 B2120 C110 D2110 8（2021 江苏）阿基米德是古希腊伟大的数学家、物理学家、天文学家，是静态力学和流体静力学的奠基人，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他在不知道球体积公式的情况下得出了圆柱容球定理，即圆柱内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积等于圆柱体积的三分之二那么，圆柱内切球的表面积与
4、该圆柱表面积的比为（ ） A12 B13 C23 D34 9（2021 安徽池州一中高三其他模拟（理）古希腊数学家欧几里德在其著作几何原本中定义了相似圆锥： 两个圆锥的高与底面的直径之比相等时， 则称这两个圆锥为相似圆锥.已知圆锥SO的底面圆O的半径为 3，其母线长为 5.若圆锥SO 与圆锥SO是相似圆锥，且其高为 8，则圆锥SO 的侧面积为（ ） A15 B60 C96 D120 10（2021 陕西高新一中高三二模（理）鼎被誉为中国历史上的传国重器，是青铜器文化的代表，是国家权力的象征，有着鼎盛千秋的寓意.1939年在河南安阳出土的后母戊鼎是一件形制巨大、工艺精巧、威武庄严的商后期青铜祭器
5、，该器重832.84kg，口长112cm，口宽79cm，连耳高133cm，厚6cm，某中学青铜文化研究小组的同学发现鼎的耳、身、足的高度之比约为3:4:4据此推算，后母戊鼎的器腹容积最贴近的是（ ） A3218000cm B3246000cm C3284000cm D3324000cm 11（2021 江苏高考真题）若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（ ） A2:1 B2:1 C1:2 D1:2 12（2021 全国高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是
6、指卫星到地球表面的距离）将地球看作是一个球心为 O，半径 r 为6400km的球，其上点 A 的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为22(1 cos )Sr（单位：2km），则 S 占地球表面积的百分比约为（ ） A26% B34% C42% D50% 13（2021 全国高考真题 （理） ） 已如 A， B， C 是半径为 1 的球 O 的球面上的三个点， 且,1ACBC ACBC，则三棱锥OABC的体积为（ ） A212 B312 C24 D34 14（2020 全国高考真题（理）已知, ,A B
7、 C为球O的球面上的三个点，1O为ABCV的外接圆，若1O的面积为4，1ABBCACOO，则球O的表面积为（ ） A64 B48 C36 D32 15（2020 全国高考真题（理）已知 ABC 是面积为9 34的等边三角形，且其顶点都在球 O 的球面上.若球 O 的表面积为 16，则 O 到平面 ABC 的距离为（ ） A3 B32 C1 D32 16（2020 江苏高考真题）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的已知螺帽的底面正六边形边长为 2 cm，高为 2 cm，内孔半径为 0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是_cm. 表面积与体积表面积与体积 1（2021 北京人大附
8、中高一期末）已知正三棱锥 S-ABC 的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为2，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ） A B3 C6 D9 【答案】C 【分析】 正三棱锥的外接球即是棱长为2的正方体的外接球，即得解. 【详解】 正三棱锥的外接球即是棱长为2的正方体的外接球， 所以外接球的直径2R 222( 2)( 2)( 2)6， 所以246R , 外接球的表面积246R， 故选：C 【点睛】 方法点睛：几何体的外接球的半径的求解，常用的方法有：（1）模型法；（2）观察法；（3）解三角形法.要根据已知条件灵活选择方法求解. 2（2021 全国高三专题练习（理）某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒现
9、有一张边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为3的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（ ） A144 B72 C36 D24 【答案】B 【分析】 利用正六边形的性质求出正六棱柱的底边周长，再根据棱柱的体积：VSh底即可求解. 【详解】 如图：由正六边形的每个内角为23， 按虚线处折成高为3的正六棱柱，即3BF ， 所以1tan60BFBE o 可得正六棱柱底边边长6 2 14AB ， 所以正六棱柱体积：1364 437222V . 故选：B 3（2021 通辽新城第一中学高三其他模拟 （理） ） 一个几何体的三视图如图所示， 该几何体的表面积是 （ ） A3
10、 B8 C12 D14 【答案】B 【分析】 由三视图得到几何体原图是一个圆柱即得解. 【详解】 由三视图可知几何体原图是一个底面半径为 1 高为 3 的圆柱， 所以几何体的表面积为212+21 3=8 . 故选：B 【点睛】 方法点睛：由三视图找几何体原图常用的方法有：（1）观察法；（2）模型法. 要根据已知条件灵活选择方法求解. 4（2021 福建龙岩 高三一模） 若三棱锥PABC的四个面都为直角三角形， 且PA 平面ABC，1PAAB，2AC ，则其外接球的表面积为（ ） A6 B5 C4 D3 【答案】B 【分析】 构造如图所示的长方体，设其外接球的半径为 R，可得 2R=PC=22P
11、AAC， 结合球的表面积计算公式即可. 【详解】 构造如图所示的长方体，设其外接球的半径为 R， 则 2R=PC=22PAAC22= 12 = 5， 所以外接球的表面积为：245R. 故选：B 5（2021 山西阳泉 高三三模（理）在平面直角坐标系中，将不等式组10200 xyxyx 表示的平面区域绕y轴旋转一周所形成的几何体的体积是（ ） A3 B43 C73 D83 【答案】B 【分析】 如图所示三角形旋转一周，体积为大圆锥减去小圆锥体积. 【详解】 作出平面区域如图阴影部分，如图易知，面积为11 212S 故旋转一周体积为：2142133V 故选：B 6（2021 全国高三其他模拟 （理
12、） ） 在三棱锥PABC中， 已知PA 平面ABC，2PAABBC，2 2AC ，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A4 B10 C12 D48 【答案】C 【分析】 把三棱锥PABC可以补成以,AB BC PA为棱的正方体，得到可得正方体的外接球和三棱锥PABC的外接球为同一个球，结合正方体的性质，求得外接球的半径，即可求解. 【详解】 在ABCV中，由2,2 2ABBCAC，所以222ACABBC，所以ABBC, 由PA 平面ABC，则三棱锥PABC可以补成以,AB BC PA为棱的正方体， 可得正方体的外接球和三棱锥PABC的外接球为同一个球，如图所示， 设该球的
13、半径为R，则22222 3RABBCPA，解得3R ， 所以该球的表面积为2244( 3)12SR. 故选：C. 7（2021 全国高三其他模拟（理）香水是香料溶于乙醇中的制品，早在公元前 1500 年，埃及艳后克娄巴特拉七世就已经开始用 15 种不同气味的香水洗澡了.近年来，香水已经逐渐成为众多女士的日常用品.已知“香奈儿”的一款饱受热评的男士香水的包装瓶如图（1）所示，其三视图如图（2）所示，其中图（2）中方格小正方形的边长为 1，则该香水瓶的体积为（ ） A120 B2120 C110 D2110 【答案】D 【分析】 根据三视图可得包装瓶由棱柱和圆柱组合而成，利用体积公式可求其体积.
14、【详解】 由三视图可得包装瓶的直观图如图所示： 故其体积为：25242121102 ， 故选：D. 8（2021 江苏）阿基米德是古希腊伟大的数学家、物理学家、天文学家，是静态力学和流体静力学的奠基人，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他在不知道球体积公式的情况下得出了圆柱容球定理，即圆柱内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积等于圆柱体积的三分之二那么，圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比为（ ） A12 B13 C23 D34 【答案】C 【分析】 设球的半径为R，可得出圆柱的底面半径与高，利用球体的表面积公式以及圆柱的表面积公式可得结果. 【详解】 设球的半径为R，则圆柱的底面半径
15、为R，高为2R， 则圆柱的表面积为222226SRRRR，球的表面积为24SR球 所以，圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比为224263RR 故选：C 9（2021 安徽池州一中高三其他模拟（理）古希腊数学家欧几里德在其著作几何原本中定义了相似圆锥： 两个圆锥的高与底面的直径之比相等时， 则称这两个圆锥为相似圆锥.已知圆锥SO的底面圆O的半径为 3，其母线长为 5.若圆锥SO 与圆锥SO是相似圆锥，且其高为 8，则圆锥SO 的侧面积为（ ） A15 B60 C96 D120 【答案】B 【分析】 根据题意，求得圆锥SO的底面直径和高，根据圆锥SO 与圆锥SO是相似圆锥，且其高为 8，可得圆锥
16、SO 的底面直径，进而可得其母线长，代入侧面积公式，即可得答案. 【详解】 由题意得：圆锥SO的底面直径为 6，高为22534， 所以高与底面直径之比为4263， 因为圆锥SO 与圆锥SO是相似圆锥，且其高为 8， 所以圆锥SO 的底面直径为81223，则底面半径为 6， 所以圆锥SO 的母线长为228610， 所以圆锥SO 的侧面积为126 10602 . 故选：B 10（2021 陕西高新一中高三二模（理）鼎被誉为中国历史上的传国重器，是青铜器文化的代表，是国家权力的象征，有着鼎盛千秋的寓意.1939年在河南安阳出土的后母戊鼎是一件形制巨大、工艺精巧、威武庄严的商后期青铜祭器，该器重832
17、.84kg，口长112cm，口宽79cm，连耳高133cm，厚6cm，某中学青铜文化研究小组的同学发现鼎的耳、身、足的高度之比约为3:4:4据此推算，后母戊鼎的器腹容积最贴近的是（ ） A3218000cm B3246000cm C3284000cm D3324000cm 【答案】C 【分析】 根据题中信息求出鼎的器腹容积，即可得出合适的选项. 【详解】 由题意可知鼎的器腹容积约为 4 1331126 2796 26100 6742.36344 3283812 cm， 与选项 C 最贴近， 故选：C。 11（2021 江苏高考真题）若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（
18、） A2:1 B2:1 C1:2 D1:2 【答案】C 【分析】 根据题意作图，由轴截面得出母线与底面圆半径的等量关系，再套公式求解. 【详解】 根据题意作图， 设圆锥的底面圆半径为r，高为h ，母线长为l . 若圆锥的轴截面为等腰直角三角形， 则有2 cos45rl ，2lr. 该圆锥的底面积与侧面积比值为22122rrrlrr. 故选：C. 12（2021 全国高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）将地球看作是一个球心为 O，半径 r 为6400km
19、的球，其上点 A 的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为22(1 cos )Sr（单位：2km），则 S 占地球表面积的百分比约为（ ） A26% B34% C42% D50% 【答案】C 【分析】 由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果. 【详解】 由题意可得，S 占地球表面积的百分比约为： 226400164003600002(1.cos)1 cos44242%22rr. 故选：C. 13（2021 全国高考真题 （理） ） 已如 A， B， C 是半径为 1 的球 O
20、 的球面上的三个点， 且,1ACBC ACBC，则三棱锥OABC的体积为（ ） A212 B312 C24 D34 【答案】A 【分析】 由题可得ABCV为等腰直角三角形，得出ABCV外接圆的半径，则可求得O到平面ABC的距离，进而求得体积. 【详解】 ,1ACBC ACBCQ，ABC V为等腰直角三角形，2AB， 则ABCV外接圆的半径为22，又球的半径为 1， 设O到平面ABC的距离为d， 则2222122d， 所以111221 1332212O ABCABCVSd V. 故选：A. 【点睛】 关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关
21、系求解. 14（2020 全国高考真题（理）已知, ,A B C为球O的球面上的三个点，1O为ABCV的外接圆，若1O的面积为4，1ABBCACOO，则球O的表面积为（ ） A64 B48 C36 D32 【答案】A 【分析】 由已知可得等边ABCV的外接圆半径， 进而求出其边长， 得出1OO的值， 根据球的截面性质， 求出球的半径，即可得出结论. 【详解】 设圆1O半径为r，球的半径为R，依题意， 得24 ,2rr ，QABCV为等边三角形， 由正弦定理可得2 sin602 3ABr ， 12 3OOAB，根据球的截面性质1OO 平面ABC， 222211111,4OOO A ROAOOO
22、AOOr， 球O的表面积2464SR. 故选：A 【点睛】 本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 15（2020 全国高考真题（理）已知 ABC 是面积为9 34的等边三角形，且其顶点都在球 O 的球面上.若球 O 的表面积为 16，则 O 到平面 ABC 的距离为（ ） A3 B32 C1 D32 【答案】C 【分析】 根据球O的表面积和ABCV的面积可求得球O的半径R和ABCV外接圆半径r，由球的性质可知所求距离22dRr. 【详解】 设球O的半径为R，则2416R，解得：2R . 设ABCV外接圆半径为r，边长为a， ABCQV是面积为9 34
23、的等边三角形， 2139 3224a，解得：3a ，22229933434ara ， 球心O到平面ABC的距离224 31dRr. 故选：C. 【点睛】 本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面. 16（2020 江苏高考真题）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的已知螺帽的底面正六边形边长为 2 cm，高为 2 cm，内孔半径为 0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是_cm. 【答案】12 32 【分析】 先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果. 【详解】 正六棱柱体积为23622=12 34 圆柱体积为21( )222 所求几何体体积为12 32 故答案为： 12 32 【点睛】 本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题.