1、导数的概念及运算导数的概念及运算 一、单选题 1（2021 山西高三三模（理）已知aR，设函数( )ln1f xaxx的图象在点(1,(1)f处的切线为l，则 l 过定点（ ） A(0,2) B(1,0) C(1,1)a D( ,1)e 2（2021 全国高二专题练习（理）若函数 f x可导，则0(1 )(1)lim2xfxfx等于（ ） A 21f B 112f C 112f D 12f 3（2021 河南郑州市 高三三模（理）若直线12yxb是函数 f x的一条切线，则函数 f x不可能是（ ） A xf xe B 4f xx C sinf xx D 1f xx 4（2021 山西晋城市
2、高三三模 （理） ） 函数 f(x)=x3-7x2+sin(x-4)的图象在点 4,4f处的切线斜率为 （ ） A5 B6 C7 D8 5（2021 全国高三其他模拟（理）曲线12sin()2xyex在点(1, 1)处的切线方程为（ ） A0 xy B10exye C10exye D20 xy 6（2021 吉林白山市 高三三模（理）函数 3271f xxx的图象在点 4,4f处的切线的斜率为（ ） A8 B7 C6 D5 7（2021 吉林白山市 高三其他模拟（理）函数32( )71f xxx的图象在点(4,(4)f处的切线斜率为（ ） A8 B7 C6 D5 8（2021 河南洛阳市 高三
3、其他模拟（理）设曲线2xyx在点3,3处的切线与直线10axy 平行，则a等于（ ） A12 B2 C12 D2 9（2021 云南曲靖一中高三其他模拟（理）设曲线 xf xaeb和曲线 cos2xg xc在它们的公共点0,2M处有相同的切线，则bca 的值为（ ） A0 B C2 D3 10（2021 安徽省舒城中学高三三模（理）若函数( )lnf xxx与2( )1xmg xx的图象有一条公共切线，且该公共切线与直线21yx平行，则实数m（ ） A178 B176 C174 D172 11（2021 云南昆明市 昆明一中高三其他模拟（理）函数 lnf xx图象上一点P到直线2yx的最短距离
4、为（ ） A2 B22 C1 ln255 D1 ln255 12（2021 全国高三其他模拟 （理） ） 已知函数 2lnf xxmx的图象在1x 处的切线为:20l nxy，则l与坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A13 B25 C23 D45 13（2021 广西南宁市 南宁三中高三二模（理）已知直线 l 是曲线43( )2 f xxx在点(1,(1)f处的切线，点( , )P m n是直线 l 上位于第一象限的一点，则2mnm n的最小值为（ ） A4 B9 C25 D16 14（2020 全国高考真题（理）函数43( )2f xxx的图像在点(1(1)f，处的切线方程为（ ） A21y
5、x B21yx C23yx D21yx 15（2019 全国高考真题（理）已知曲线elnxyaxx在点1,ae处的切线方程为2yxb，则 A,1ae b B,1ae b C1,1aeb D1,1aeb 16（2021 全国高考真题（理）曲线212xyx在点1, 3 处的切线方程为_ 17（2019 江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy中，P 是曲线4(0)yxxx上的一个动点，则点 P到直线 x+y=0 的距离的最小值是_. 导数的概念及运算导数的概念及运算 一、单选题 1（2021 山西高三三模（理）已知aR，设函数( )ln1f xaxx的图象在点(1,(1)f处的切线为l，则 l 过定点
6、（ ） A(0,2) B(1,0) C(1,1)a D( ,1)e 【答案】A 【分析】 根据导数几何意义求出切线方程，化成斜截式，即可求解 【详解】 由 1( )ln1f xaxxfxax ， 11fa， 11fa，故过(1,(1)f处的切线方程为：11+112yaxaax，故 l 过定点(0,2) 故选：A 【点睛】 本题考查由导数的几何意义求解切线方程，直线过定点问题，属于简单题 2（2021 全国高二专题练习（理）若函数 f x可导，则0(1 )(1)lim2xfxfx等于（ ） A 21f B 112f C 112f D 12f 【答案】C 【分析】 根据导函数的定义得 011(1)
7、lim=xfxffx ，根据00(1 )(1)l2im21(1)1=limxxfxxxfxff ，即可求出结果. 【详解】 001(1)(1)(1)11l1im=lim=222xxfxffxfxxf 故选：C. 3（2021 河南郑州市 高三三模（理）若直线12yxb是函数 f x的一条切线，则函数 f x不可能是（ ） A xf xe B 4f xx C sinf xx D 1f xx 【答案】D 【分析】 由导数的几何意义知：若切点为00(,)xy则01()2fx，结合各选项的导数确定是否存在切点. 【详解】 由题设知：若切点为00(,)xy，则01()2fx， A：001()2xfxe，
8、有0ln2x ； B：3001()42fxx，有012x ； C：001()cos2fxx，有02()3xkkZ； D：02011()2fxx ，显然无解. 故选：D. 4（2021 山西晋城市 高三三模 （理） ） 函数 f(x)=x3-7x2+sin(x-4)的图象在点 4,4f处的切线斜率为 （ ） A5 B6 C7 D8 【答案】C 【分析】 根据导数的几何意义进行求解即可. 【详解】 因为 f(x)=3x2-14x+cos(x-4)，所以所求切线的斜率为 f（4）=3 16-14 4+1=7. 故选：C 5（2021 全国高三其他模拟（理）曲线12sin()2xyex在点(1, 1)
9、处的切线方程为（ ） A0 xy B10exye C10exye D20 xy 【答案】D 【分析】 根据切点和斜率求得切线方程. 【详解】 因为12sin()2xyex， 所以1cos()2xyex ， 当1x 时，1y ， 所以曲线12sin()2xyex在点(1, 1)处的切线的斜率1k ，所以所求切线方程为11yx ，即20 xy. 故选：D 6（2021 吉林白山市 高三三模（理）函数 3271f xxx的图象在点 4,4f处的切线的斜率为（ ） A8 B7 C6 D5 【答案】A 【分析】 利用导数的几何意义求解即可 【详解】 解：由 3271f xxx，得 2314fxxx，则
10、243 414 48f ， 所以函数 3271f xxx的图象在点 4,4f处的切线的斜率为8， 故选：A 7（2021 吉林白山市 高三其他模拟（理）函数32( )71f xxx的图象在点(4,(4)f处的切线斜率为（ ） A8 B7 C6 D5 【答案】A 【分析】 利用导数求得切线的斜率. 【详解】 因为 2314fxxx，所以所求切线的斜率为 43 16 14 48f . 故选：A 8（2021 河南洛阳市 高三其他模拟（理）设曲线2xyx在点3,3处的切线与直线10axy 平行，则a等于（ ） A12 B2 C12 D2 【答案】B 【分析】 利用导数求出曲线 2xyx在点3,3处的
11、切线的斜率，利用两直线平行可得出实数a的值. 【详解】 对函数2xyx求导得222222xxyxx ， 由已知条件可得32xay ，所以，2a. 故选：B. 9（2021 云南曲靖一中高三其他模拟（理）设曲线 xf xaeb和曲线 cos2xg xc在它们的公共点0,2M处有相同的切线，则bca 的值为（ ） A0 B C2 D3 【答案】D 【分析】 利用导数的几何意义可知 00fg ，可求得a；根据0,2M为两曲线公共点可构造方程求得, b c，代入可得结果. 【详解】 xfxaeQ， sin22xgx ， 0fa， 00g，0a ， 又0,2M为 f x与 g x公共点， 02fb， 0
12、12gc ，解得：1c， 2 1 03b ca . 故选：D. 10（2021 安徽省舒城中学高三三模（理）若函数( )lnf xxx与2( )1xmg xx的图象有一条公共切线，且该公共切线与直线21yx平行，则实数m（ ） A178 B176 C174 D172 【答案】A 【分析】 设函数 lnf xxx图象上切点为00(,)xy，求出函数的导函数，根据0()2fx求出切点坐标与切线方程，设函数 21xmg xx的图象上的切点为11( ,)x y1(1)x ，根据1( )2g x，得到211244mxx，再由1112211xmxx ，即可求出1x，从而得解； 【详解】 解： 设函数 ln
13、f xxx图象上切点为00(,)xy， 因为1( )1fxx， 所以001()12fxx ， 得01x ， 所以00()(1)1yf xf，所以切线方程为12(1)yx ，即21yx，设函数 21xmg xx的图象上的切点为11( ,)x y1(1)x ，因为222(1)(2)2( )(1)(1)xxmmg xxx，所以1212()2(1)mg xx，即211244mxx，又11111221()1xmyxg xx ，即211251mxx ，所以221111244251xxxx ，即2114950 xx，解得154x 或11x （舍），所以25517244448m 故选：A 11（2021 云南
14、昆明市 昆明一中高三其他模拟（理）函数 lnf xx图象上一点P到直线2yx的最短距离为（ ） A2 B22 C1 ln255 D1 ln255 【答案】C 【分析】 设与直线2yx平行且与曲线 lnf xx相切的直线的切点坐标为00,lnxx，利用导数的几何意义，求得切点坐标为1, ln22，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】 设与直线2yx平行且与曲线 lnf xx相切的直线的切点坐标为00,lnxx， 因为 1fxx，则012x，所以012x， 则切点坐标为1, ln22，最短距离为点1, ln22到直线2yx的距离， 即212ln21 ln252521 ，即点P到直线2yx的
15、最短距离为1 ln255. 故选：C. 12（2021 全国高三其他模拟 （理） ） 已知函数 2lnf xxmx的图象在1x 处的切线为:20l nxy，则l与坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A13 B25 C23 D45 【答案】B 【分析】 由函数解析式得 12fxmxx且 1fm， 1fn ，可求,m n，进而求l与坐标轴的交点坐标，即可求与坐标轴围成的三角形的面积. 【详解】 由题意， 12fxmxx且 121fmn ， 12fmn，得3m，5n， l的方程为520 xy，则l与坐标轴的交点的坐标分别是(0,2)，2,05， 故l与坐标轴围成的三角形的面积1222255S 故选：B
16、. 13（2021 广西南宁市 南宁三中高三二模（理）已知直线 l 是曲线43( )2 f xxx在点(1,(1)f处的切线，点( , )P m n是直线 l 上位于第一象限的一点，则2mnm n的最小值为（ ） A4 B9 C25 D16 【答案】B 【分析】 由导数的几何意义求出曲线在点(1,(1)f处的切线方程为21xy，进而得出21mn，由基本不等式可得结果. 【详解】 43( )2f xxx的导数为32 ( )46fxxx， 可得在点(1, (1) )f处的切线的斜率为4 62 ， 切点为(1, 1)，切线的方程为12(1)yx ， 即为21xy，则21( ,0)mnm n， 所以2
17、1222(2)552 29mnmnmnm nnmnm ， 当且仅当13mn时，取得等号 则2mnm n的最小值为 9 故选：B. 14（2020 全国高考真题（理）函数43( )2f xxx的图像在点(1(1)f，处的切线方程为（ ） A21yx B21yx C23yx D21yx 【答案】B 【分析】 求得函数 yf x的导数 fx，计算出 1f和 1f 的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】 432f xxxQ， 3246fxxx， 11f， 12f ， 因此，所求切线的方程为121yx ，即21yx . 故选：B. 【点睛】 本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算
18、能力，属于基础题 15（2019 全国高考真题（理）已知曲线elnxyaxx在点1,ae处的切线方程为2yxb，则 A,1ae b B,1ae b C1,1aeb D1,1aeb 【答案】D 【分析】 通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a，将点的坐标代入直线方程，求得b 【详解】 详解：ln1,xyaex 1|12xkyae ，1ae 将(1,1)代入2yxb得21,1bb ，故选 D 【点睛】 本题关键得到含有 a，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系 16（2021 全国高考真题（理）曲线212xyx在点1, 3 处的切线方程为_ 【答案】520 xy 【分析】 先
19、验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可 【详解】 由题，当1x时，3y ，故点在曲线上 求导得： 222221522xxyxx，所以1|5xy 故切线方程为520 xy 故答案为：520 xy 17（2019 江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy中，P 是曲线4(0)yxxx上的一个动点，则点 P到直线 x+y=0 的距离的最小值是_. 【答案】4. 【分析】 将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离 【详解】 当直线0 xy平移到与曲线4yxx相切位置时，切点 Q 即为点 P 到直线0 xy的距离最小. 由2411yx ，得2(2)x 舍，3 2y ， 即切点( 2,3 2)Q， 则切点 Q 到直线0 xy的距离为2223 2411， 故答案为4 【点睛】 本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.