1、广东省六校2021-2022学年高三上学期第三次联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则 ( )A. B. C. D.2设命题，命题对任何，都有若命题是真命题，命题是假命题，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.已知为虚数单位，若复数，是的共轭复数，则( )A. B. C. D. 4.定义在上的奇函数满足.若，则=( )A. B. C. D. 5.已知公差不为的等差数列中，且，成等比数列，则其前项和取得最大值时，的值为( )A. B. C. 或 D. 或 6.设函数，若互不相等的实数满足，则
2、的取值范围是( )A B C D图17.已知函数的部分图象如图1所示.若，则的值为( )A. B. C. D. 8.设实数满足 ，则的取值范围是( ) A B C D二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知直线过点且与圆相切，直线与轴交于点，点是圆上的动点，则下列结论中正确的有( ) A. 点的坐标为 B. 面积的最大值为 C. 当直线与直线垂直时，D. 的最大值为 10.中，为上一点且满足，若为线段上一点，且满足（为正实数），则下列结论正确的是( )A BC的最大值为D的最小值为
3、11.已知函数在上是单调函数，则下列结论中正确的有( )A. 当时，的取值范围是B. 当时，的取值范围是C. 当时，的取值范围是D. 当时，的取值范围是图212. 如图2，在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点在正方体表面上运动.以下命题正确的有（ ）A. 侧面上不存在点，使得B. 点到面的距离与点到面的距离之比为C. 若点满足平面，则动点的轨迹长度为D.若点到点的距离为，则动点的轨迹长度为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知椭圆的离心率为，则实数的值为 . 14.已知等差数列的前项和为，且，成公比为的等比数列，则 . 15.已知正四面体的棱长为4，点为该四面体表面上的动
4、点，若是该四面体的内切球的一条动直径，则的取值范围是 . 16.若对任意的，且当时，都有，则的最小值是 .四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知中内角的对边分别是，且.（1）求角；（2）若，求的面积.18.（12分）某科技企业生产一种电子设备的年固定成本为万元，除此之外每台机器的额外生产成本与产量满足一定的关系式.设年产量为台，若年产量不足台，则每台设备的额外成本为万元；若年产量大于等于台小于等于台，则每台设备的额外成本为.每台设备售价为万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.（1）写出年利润（万元）关于年产量（台）的关系式
5、；（2）当年产量为多少台时，年利润最大，最大值为多少？19.（12分）已知数列满足，.（1）若等差数列恰使数列是以为首项，为公比的等比数列，求使不等式恒成立的实数的最小值；（2）设数列的前项和为，求，.20.（12分）如图3，已知四边形为正方形，平面， ，,为线段上的动点，为的中点.图3（1）求证：；（2）求与平面所成角的正弦值的取值范围.21.（12分）在平面直角坐标系中，已知圆，动圆经过点且与圆相外切，记动圆的圆心的轨迹为.（1）求的方程；（2）试问，在轴上是否存在点，使得过点的动直线交于两点时，恒有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.22.（12分）已知函数.（1）求函数的单调
6、区间；（2）当时，若满足，求证：.参考答案及评分标准一、选择题：每小题5分，共40分.12345678DBDACAC B二、多选题：每小题5分，共20分.9101112ABDADADBD三、填空题：每小题5分，共20分.(13) 或； （14）； （15）； （16）.四、解答题17.（10分）已知中内角的对边分别是，且.（1）求角；（2）若，求的面积.解：（1）， 1分，即， 3分解得或.， 4分或. 5分（2）当时，由余弦定理得：，化简得：， 7分. 8分当时，由余弦定理得：，化简得：，不符合题意，舍去.综上，的面积为. 10分18.（12分）某科技企业生产一种电子设备的年固定成本为万元，
7、除此之外每台机器的额外生产成本与产量满足一定的关系式.设年产量为台，若年产量不足台，则每台设备的额外成本为万元；若年产量大于等于台小于等于台，则每台设备的额外成本为.每台设备售价为万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.（1）写出年利润（万元）关于年产量（台）的关系式；（2）当年产量为多少台时，年利润最大，最大值为多少？解：（1）当且时，；当且时，. 5分（2）解：当且时，当时，取得最大值，最大值为万元. 8分当且时，当且仅当，即时，取得最大值，最大值为万元. 11分,当年产量为台时，年利润最大，最大值为万元. 12分19.（12分）已知数列满足，.（1）若等差数列恰使数列是以为首
8、项，为公比的等比数列，求使不等式恒成立的实数的最小值；（2）设数列的前项和为，求，. 解：（1）（法一）由，令，得， 1分， 又为等差数列，. 3分 . 因此，实数的最小值为.5分（法二）， ，2分则数列是公比为的等比数列，依题意. 3分后面同法一（略）.（2）由（1）有数列是以为首项，为公比的等比数列，则. 7分 ，设， 则，由-，得，. 10分又，. 12分20.（12分）如图3，已知四边形为正方形，平面， ，,为线段上的动点，为的中点.图3（1）求证：；（2）求与平面所成角的正弦值的取值范围.解：（1）因为，所以，则共面.因为平面，且平面，所以.又，则.由，且为的中点，得，又，所以平面.
9、因为平面，所以. 5分（2）（法一）连，平面即为平面， 在中，则，7分，8分因为，平面，所以平面，又因为平面，所以点到平面的距离等于的长度，设点到平面的距离为，根据，得.10分因为点为线段上的动点，所以的最小值为的边上的高，的最大值为边长与边长中的最大者.在中，,边上的高为，则.设与平面所成角为，则.因此，与平面所成角的正弦值的取值范围为. 12分（法二）如图，以为坐标原点，以、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，.,，设平面的法向量为，则 即 令，得，所以. 8分因为为线段上的动点，所以可设，设与平面所成角为，则，10分，则.因此，与平面所成角的正弦值的取值范围为.12分21.（
10、12分）在平面直角坐标系中，已知圆，动圆经过点且与圆相外切，记动圆的圆心的轨迹为.（1）求的方程；（2）试问，在轴上是否存在点，使得过点的动直线交于两点时，恒有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）设动圆的半径长为，则，. 2分因此，圆心的轨迹为以、为焦点，实轴长为的双曲线的右支，设的方程为，则根据双曲线定义， 4分因此，的方程为. 5分（说明：没写的范围扣1分）（2）不存在满足条件的点，理由如下： 假设存在满足条件的点，设点的坐标为，直线的斜率为，则直线的方程为，由 消去并整理，得， 设、，则，（*）6分由，得，即， 将，代入上式并化简，得. 8分将（*）式代入上式，有，解
11、得.10分而当直线交于两点时，必须有且.当时，由 无解，则当时，不符合条件.因此，不存在满足条件的点. 12分22.（12分）已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，若满足，求证：.解：（1）. 当时， ，由，得；由，得;当时，由，得或；由，得;当时，;当时，由，得或，由，得.综上：当时，的单调减区间为，单调增区间为；当时，的单调减区间为，单调增区间为；当时，的单调减区间为，无单调增区间；当时，的单调减区间为，单调增区间为.5分（2）不妨设，由(1)知，当且当时，有.（法一）：要证，即证,，且在单调递减，即证,由，转证：. ,，转证：, 6分令,则，在上单调递减，从而不等式成立. 8分同理，要证，即证.，且在单调递减，即证，由于，则即证.,，转证：. 9分令,则，在上单调递增，则. 10分,令，则,在上是单调递减函数，则,即. 11分由在上单调递增，则，从而不等式成立.综合可得成立. 12分法二：先证明对数平均不等式：.即证：，即证.令，即证，（*） 7分令，则，不等式成立，从而对数平均不等式成立. 9分由，有 ，解得，10分由对数平均不等式，有，两边平方，得，令，则，即，解得.因此，不等式成立. 12分