1、高三数学试题. 第 1 页 （共 4 页） 高三数学试题. 第 2 页 （共 4 页） 20222022 届高三联合质量测评届高三联合质量测评 数学试卷数学试卷 注意事项：注意事项： 1 1、答题前，先将自己的姓名、考号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡、答题前，先将自己的姓名、考号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。上的指定位置。 2 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用、回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时， 用签字笔写在答题卡上对应的答
2、题区域。 写在草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。非选择题时， 用签字笔写在答题卡上对应的答题区域。 写在草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3 3、考试结束后，请将答题卡按顺序上交。、考试结束后，请将答题卡按顺序上交。 第卷（第卷（ 60 60 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 个小题，每题个小题，每题 5 5 分，共计分，共计 4040 分分. . 在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的项是符合要求的. .把正确的答案涂在答题卡上把正确的答案涂在答题卡上. . 1. 若集合240Ax xx=，31xBx=，则AB =（ ）
3、 A0,4 B(0,4 C(1,4 D1,4 2. 已知复数z满足11 izz= ，则z =（ ） A21i55+ B21i55 C21i55+ D21i55 3. 若tan3=，则sin (1sin2 )sincos=（ ） A65 B65 C25 D25 4.已知经过圆锥的顶点与底面圆心的截面是边长为6的正三角形，一个圆柱的下底面在该圆锥的底面上，上底面圆周在该圆锥的侧面上，则该圆柱的体积的最大值为（ ） A8 3 B6 3 C3 3 D4 3 5 已知双曲线C：22221(0,0)xyabab=的左右焦点分别为1F，2F，曲线C上一点P到x轴的距离为3c，且21120PF F=，则双曲线
4、C的离心率为（ ） A3+1 B3+12 C51+ D512+ 6已知奇函数( )fx是定义在R上的单调函数，若正实数a，b满足()()240faf b+=则121ab+的最小值是（ ） A23 B43 C2 D4 7. 若过点()1,Pm可以作三条直线与曲线:xC yxe=相切，则 m 的取值范围是（ ） A25,0e B25,ee C()0,+ D231,ee 8 现安排甲、 乙、 丙、 丁、 戊 5 名同学参加 2022 年杭州亚运会志愿者服务活动， 有翻译、 导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ） A每人都安排一项工作的不同方法数为 54 B每人都安排一项工作，每项工
5、作至少有一人参加，则不同的方法数为4154A C C如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这 5 名同学全部被安排的不同方法数为()3122352533C CC CA+ D每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C AC A+ 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 4 个小题，每题个小题，每题 5 5 分，共计分，共计 2020 分分. .在每题给出的选项中，有多项符在每题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对得合要求，全部选对得 5 5 分，选对但选不全
6、得分，选对但选不全得 2 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分. .并把正确的答案涂在答题卡上并把正确的答案涂在答题卡上. . 9 已知向量()1,2a =，()(),10bmm=，且向量b满足()3bab+=，则（ ） A2b = B()()2/ /2abab+ C向量2ab与2ab的夹角为4 D向量a在b方向上的投影的数量为22 10.声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数sinyAt=，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数( ) |sin |3|cos |f xxx=+，则下列结论不正确的是（ ） A( )f x是偶函数 B( )f
7、 x的最小正周期为2 高三数学试题. 第 3 页 （共 4 页） 高三数学试题. 第 4 页 （共 4 页） C( )f x在区间0,2上单调递增 D( )f x的最小值为 1 11古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点A、B的距离之比为定值(01) 且的点所形成的图形是圆后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆已知在平面直角坐标系xOy中，()2,0A ，()4,0B点P满足|1|2PAPB=，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（ ） AC的方程为()22416xy+= B在C上存在点D，使得D到点()1,1的距离为 5 C在
8、C上存在点M，使得2MOMA= DC上的点到直线34130 xy=的最大距离为 9 12在棱长为1的正方体1111ABCDABC D中，已知E为线段1BC的中点，点F和点P分别满足111DFDC=，11DPDB=，其中,0,1 ，则下列说法正确的是（ ） A当12=时，三棱锥PEFD的体积为定值 B当12=时，四棱锥PABCD的外接球的表面积是94 CPEPF+的最小值为5 36 D存在唯一的实数对(), ，使得EP 平面PDF 第第 IIII 卷（卷（ 9090 分分 ） 三、填空题三、填空题: :本大题共本大题共 4 4 个小题，每题个小题，每题 5 5 分，共计分，共计 2020 分分.
9、 .把答案填在答题卡的相应位置把答案填在答题卡的相应位置. . 13已知函数( )fx是定义在R上的偶函数，且在)0,+上单调递减若()0.2log0.3af=，()3log 0.1bf=，()0.72cf=，则a，b，c的大小关系为_ （用符号“”连接） 14函数( )3|ln| 3f xxx= +的最大值为_. 15设抛物线22xpy=(0p )的焦点为 F，准线为 l，过抛物线上一点 A 作 l 的垂线，垂足为 B，设90,2Cp，若AF与BC相交于点 E，| 2|CFAF=，ACE的面积为3，则抛物线的方程为_. 16如图，一个粒子从原点出发，在第一象限和两坐标轴正半轴上运动，在第一秒
10、时它从原点运动到点()0,1，接着它按图所示在x轴、y轴的垂直方向上来回运动，且每秒移动一个单位长度，那么，在 2022 秒时，这个粒子所处的位置在点_. 四、解答题四、解答题: :本大题共本大题共 6 6 个小题，共计个小题，共计 7070 分分. .解答题应写出文字说明、证明过解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤程或演算步骤. . 17在412nxx+的展开式中，前 3 项的系数成等差数列 （1）求展开式中含有x项的系数； （2）求展开式中的有理项 18记ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 c2ab，点 D 是边 AB 的中点， CDsinACBasinB （1）
11、证明：CDc； （2）求 cosACB 19已知数列2na是公比为4的等比数列，且满足2a，4a，7a成等比数列，nS为数列 nb的前n项和，且nb是1和nS的等差中项，若,?,?nnna ncb n=为奇数为偶数，求数列 nc的前21n项和. 20如图所示，在三棱锥 PABC 中，PAPBPCAC4， O 为 AC 的中点 （1）证明：PO平面 ABC； （2）若点 M 在棱 BC 上，且二面角 MPAC 为 30，求三棱锥 APMB 的体积 21椭圆22221(0)xyabab+=的右顶点为 A，上顶点为 B，O 为坐标原点， 直线AB的斜率为12，OAB的面积为 1 （1）求椭圆的标准方
12、程； （2）椭圆上有两点 M，N（异于椭圆顶点，且 MN 与 x 轴不垂直） ，证明：当OMN的面积最大时，直线OM与ON的斜率之积为定值 22已知函数22e( )lnf xa xaxx=+ （1）讨论函数( )fx的单调性； （2）若0a =且()0,1x，求证：21( )1exf xxx+ 高三数学试题. 第 1 页 （共 18 页） 高三数学试题. 第 2 页 （共 18 页） 20222022 届高三联合质量测评届高三联合质量测评 数学试卷数学试卷答案答案 第卷（第卷（6060 分分) ) 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 个小题，每题个小题，每题 5 5 分，共计分，
13、共计 4040 分分. . 在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的是符合要求的. .把正确的答案涂在答题卡上把正确的答案涂在答题卡上. . 1.【答案】B 【分析】先求出集合 A，B，在根据交集定义即可求出. 【详解】24004Ax xxxx=，310 xBxx x=， (040,4ABxx=.故选：B. 2.【答案】B 【分析】由已知条件求出复数z，利用共轭复数的定义可得出结果. 【详解】因为11 izz= ，所以，()()12i21i2i2i2i55z+=+，因此，21i55z =. 故选：B. 3. 【答案】A 【分析】利用万能公式可得4sin2
14、5= ，再由同角三角函数的商数关系将弦化切，即可求值. 【详解】由题设，22tan3sin21tan5= +， sin (1sin2 )8sin8tan6sincos5(sincos )5(tan1)5=.故选：A 4.【答案】D 【分析】设圆柱的底面半径为r，高为h，利用相似比得出()3 3hr=，再由圆柱的体积公式即可求解. 【详解】由题意设圆柱的底面半径为r（0r ） ，高为h， 所以3623hrhr =，解得()3 3hr=， 所以圆柱的体积()()22233 333Vrhrrrr=， ()2363Vrr=，令0V=，解得2r， 0V，解得02r ，0V，解得2r ， 所以函数在()0
15、,2上单调递增；在()2,+上单调递减； 所以max4 3V=. 故选：D 5 【答案】B 【分析】根据给定条件结合双曲线定义求出21|,|PFPF，再借助余弦定理即可计算作答. 【详解】作PMx轴于 M，如图，依题意|3PMc=，21120PF F=，令2( ,0)F c， 则2| 2PFc=，由双曲线定义知1| 22PFac=+，而12| 2FFc=， 在12PFF中，222 3acc+=，即( 31)ac=， 又离心率cea=，于是有 e=312+. 所以双曲线C的离心率为312+. 故选：B 6 【答案】B 【分析】由奇函数( )fx是定义在R上的单调函数，()()240faf b+=
16、，可得24a b+ =，即2(1)6ab+=，所以121122(1)161ababab+=+，化简后利用基本不等式可求得结果 【详解】解：因为()()240faf b+=，所以(2 )(4)faf b= ， 因为奇函数( )fx是定义在R上的单调函数， 所以(2 )(4)(4)faf bfb= =，所以24ab= ，即24a b+ =， 所以226ab+ + =，即2(1)6ab+=， 所以121122(1)161ababab+=+14(1)2261baab+=+ 高三数学试题. 第 3 页 （共 18 页） 高三数学试题. 第 4 页 （共 18 页） 14(1)461baab+=+14(1
17、)1424(44)6163baab+=+=+， 当且仅当4(1)1baab+=+，即1,32ab=时取等号， 所以121ab+的最小值是43. 故选：B 7. 【答案】A 【分析】设切点坐标，写出切线方程，过点()1,Pm，代入化简得()02001 exmxx= +，将问题转化为该方程有三个不等实根，结合导函数讨论单调性数形结合求解. 【详解】设切点为()00,M xy，exyx=，()1 exyx =+， M 处的切线斜率()001 exkx=+，则过点 P 的切线方程为()()000001 eexxyxxxx=+， 代入点 P 的坐标，化简得()02001 exmxx= +， 过点()1,
18、Pm可以作三条直线与曲线:exC yx=相切， 方程()02001 exmxx= +有三个不等实根. 令( )()21 exf xxx= +，求导得到( )()22 exfxxx= +， 可知( )fx在(), 2 上单调递减，在()2,1上单调递增，在1,上单调递减， 如图所示，故()20fm，即250em. 故选：A. 【点睛】 此题考查导数的几何意义，求切线方程，将问题转化为方程的根的问题，根据方程的根的个数，求解参数的取值范围，考查导函数的综合应用，涉及等价转化，数形结合思想. 8 【答案】D 【分析】对于选项A ，每人有 4 种安排法，故有54种；对于选项B ，5 名同学中有两人工作
19、相同，先选人再安排；对于选项C，先分组再安排；对于选项D ，以司机人数作为分类标准进行讨论即可. 【详解】解：每人都安排一项工作的不同方法数为54，即选项A错误， 每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为2454C A，即选项 B 错误， 如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这 5 名同学全部被安排的不同方法数为：（312252532222C CC CAA+）33A，即选项 C 错误， 分两种情况：第一种，安排一人当司机，从丙、丁、戊选一人当司机有13C ,从余下四人中安排三个岗位，故有123343C C A；第二种情况，安排两人当司机，从丙、丁、戊选两人当司机有23C , 从余下
20、三人中安排三个岗位33A，故有2333C A；所以每项工作至少有一人参加， 甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C AC A+， 即选项 D 正确，故选：D 【点睛】本题考查了排列知识的应用. 求解排列问题的六种主要方法: 1.直接法:把符合条件的排列数直接列式计算; 2.优先法:优先安排特殊元素或特殊位置; 3.捆绑法:把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列; 4.插空法:对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中; 5.定序问题除法处理:对于定序问
21、题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列; 6.间接法:正难则反、等价转化的方法. 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 4 个小题，每题个小题，每题 5 5 分，共计分，共计 2020 分分. .在每题给出的选项中，有多项符合要在每题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对得求，全部选对得 5 5 分，选对但选不全得分，选对但选不全得 2 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分. .并把正确的答案涂在答题卡上并把正确的答案涂在答题卡上. . 9 【答案】ACD 【分析】由()3bab+=得1m = ，()1,1b = ，进而依次讨论各选项即可得答案. 【详
22、解】由题知()1,3abm+=+, 因为()3bab+=,所以()133m m+=,解得1m = 或0m=, 又因为0m,所以1m = ，所以()1,1b = ， 对于 A 选项，()22112b =+=，故 A 选项正确； 高三数学试题. 第 5 页 （共 18 页） 高三数学试题. 第 6 页 （共 18 页） 对于 B 选项，()()21,5 ,21,4abab+=+= ，由于1 41 5 ，所以2ab+与2ab+不平行，故 B 选项错误； 对于 C 选项，()23,3ab=，()23,0ab=，所以92cos23 23,22aabb=，又()2,0,2abba，所以2,42aabb=，
23、故 C 选项正确； 对于 D 选项，向量a在b方向上的投影的数量为1222a bb=，故 D 选项正确. 故选：ACD 【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，模的坐标表示，夹角，投影等概念，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于结合数量积的坐标运算得1m = ，进而利用向量夹角、模、投影等概念讨论求解即可. 10 【答案】BC 【分析】由奇函数的定义即可判断 A； 容易验证 是函数的周期，进而判断 B； 当0,2x时，用辅助角公式将函数( )fx化简，即可判断 C； 先考虑0,x时，再分0,2x和,2x两种情况，求出函数的最小值，再根据函数的周期，即可求出函数在 R 上的最小值. 【详
24、解】因为Rx,()( )fxf x=，所以( )f x是偶函数，A 正确； ( )f x显然是周期函数， 因为() |sin()|3 |cos()| |sin|3 |cos|( )f xxxxxf x+=+=+=，所以 B 错误； 因为当0,2x时， ( ) |sin|3 |cos| sin3cos2sin3f xxxxxx=+=+=+， 所以( )f x在区间0,6上单调递增，在26, 上单调递减，C 错误； 因为2sin,0,2( )2s33in,2xxf xxx+= 当0,2x时，设3tx=+，则365,t，1sin,12t，min( )1f x=， 同理：当,2x时，( )1 2f x
25、 ， 由 B 中解答知，是( )f x的周期，所以( )f x的最小值为 1，D 正确. 故选：BC. 11 【答案】ABD 【分析】对于 A，设点(),P x y，由|1|2PAPB=结合两点间的距离公式化简即可判断，对于 B，由 A 可知曲线 C 的方程表示圆心为()4,0，半径为4的圆，从而可求出圆上的点到点()1,1的距离的范围，进而进行判断，对于 C，设()00,M x y，由2MOMA=，由距离公式可得方程，再结点()00,M x y在曲线 C 上，得到一个方程，两方程联立求解判断，对于 D，由于曲线 C 的方程表示圆心为()4,0，半径为4的圆，所以只要求出圆心到直线的距离减去圆
26、的半径可得答案 【详解】由题意可设点(),P x y，由()2,0A ，()4,0B，|1|2PAPB=，得2222(2)12(4)xyxy+=+，化简得2280 xyx+=，即22(4)16xy+=，所以选项 A 正确； 对于选项 B，曲线 C 的方程表示圆心为()4,0，半径为4的圆，点()1,1与圆心的距离为2( 4 1)126 + =，与圆上的点的距离的最小值为264，最大值为264+，而5 264,264+，所以选项 B 正确； 对于选项 C，设()00,M x y，由2MOMA=，得()2222000022xyxy+=+，又()2200416xy+=，联立方程消去0y得02x =，
27、解得0y无解，所以选项 C 错误； 高三数学试题. 第 7 页 （共 18 页） 高三数学试题. 第 8 页 （共 18 页） 对于选项 D，C的圆心()4,0到直线34130 xy=的距离为|3 ( 4) 13|55d =， 且曲线C的半径为4，则C上的点到直线34130 xy=的最大距离+5+49d r =故选项 D 正确； 故选：ABD 12 【答案】ABD 【分析】由线面平行的判定可知1/BD平面EFD，知三棱锥PEFD底面积和高均为定值，A 正确； 根据正棱锥外接球的球法，可构造关于外接球半径R的方程，求得R后知 B 正确； 将 C 中问题转化为在平面11ABC D内求解PEPF+的
28、最小值，作E关于线段1BD的对称点1E，将问题转化为1E H长度的求解，根据角度和长度关系可确定 C 正确； 以D为坐标原点建立空间直角坐标系，假设线面垂直可构造方程组求得, ，可知 D 正确. 【详解】 对于 A，当12=时，F为11C D中点，又E为1BC中点，1/EF BD， EF 平面EFD，1BD 平面EFD，1/BD平面EFD， 则当P在线段1BD上移动时，其到平面EFD的距离不变， 三棱锥PEFD的体积为定值，A 正确； 对于 B，当12=时，取,AC BD交点O，连接PO，则四棱锥PABCD为正四棱锥， PO平面ABCD， 设四棱锥PABCD的外接球的球心为O，半径为R，则O在
29、直线PO上， 22OC =，12OOR =，222OCOOO C+=，即221122RR+=， 解得：34R =，四棱锥PABCD的外接球的表面积2944SR=，B 正确； 对于 C，将问题转化为在平面11ABC D内求解PEPF+的最小值， 作E关于线段1BD的对称点1E，过1E作1/HG AD，交11,C D AB于,H G，如下图所示， 1PEPE=，11PEPFPEPFE H+=+（当且仅当F与H重合时取等号） ， 111111E BAABDD BEABDD BC= = ， ()221111211sinsin333E BAABDD BC=， 11112sinsin6E GB EE BA
30、BEE BA=，125 2266E H=， 即PEPF+的最小值为5 26，C 错误； 对于 D，以D为坐标原点，1,DA DC DD为, ,x y z轴建立如图所示空间直角坐标系， 则()0,0,0D，11,1,22E，()0, ,1F，(), ,1P ， 11,1,22EP=，(), ,1DP =，()0, ,1DF=， 若EP 平面PDF，则EPDPEPDF， ()()()11110221102EP DPEP DF =+=+=， 解得：336132+=+= （舍）或336312=， 存在唯一的实数对()31 33,26 =，使得EP 平面PDF，D 正确. 故选：ABD. 第第 IIII
31、 卷（卷（9090 分）分） 三、填空题：三、填空题：本大题共本大题共 4 4 个小题，每题个小题，每题 5 5 分，共计分，共计 2020 分分. .把答案填在答题卡的相应位置把答案填在答题卡的相应位置. . 13 【答案】bca 【分析】利用偶函数将所有自变量变换到大于 0 进行比较，再利用函数单调性得到答案. 【详解】因为函数( )f x是定义在 R 上的偶函数， 高三数学试题. 第 9 页 （共 18 页） 高三数学试题. 第 10 页 （共 18 页） 所以()0.2510log0.3 =log3aff=，()333log 0.1( log 0.1)(log 10)bfff=，()0
32、.72cf= 0.753log 1022110log3 由( )f x在(0,+ )上单调递减知， bca 故答案为：bca 【点睛】关键点点睛：根据偶函数的性质( )(|)f xfx=，转化为)0,+上进行自变量的大小比较是解题的关键，属于中档题. 14 【答案】2-ln3 【分析】由题去绝对值分情况讨论，分别求导求最值，即可求得最大值. 【详解】由题知当1x时，( )3ln3f xxx= +， 1( )30fxx= ( )f x在1,)+为减函数， max( )(1)0f xf=； 当01x时，( )3ln3f xxx= +，131( )3=xfxxx+= +， 当1(0, )3x时，(
33、)0fx，当1( ,1)3x时，( )0fx， max1( )( )2ln33f xf=， 综上可知，max( )2-ln3f x=. 故答案为：2-ln3 15 【答案】26xy= 【分析】由题意得出2AFp=，利用抛物线的定义求出点A的横坐标，根据相似得出9 3ACFS=，由三角形的面积公式可得结果. 【详解】 设(),AAA xy，(,0)2pF，9422pCFpp=， 又2CFAF=，则2AFp=， 由抛物线的定义得2ABp=，所以32Ayp=，则3Axp=， 由/CFAB得EFCFEAAB=，即2EFCFEAAF=， 所以22 3CEFCEASS=，3 3ACFAECCFESSS=+
34、=， 所以323143pp=，解得62p = 故答案为：26xy= 【点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点的距离时，一般运用定义转化为到准线的距离进行处理 2.若()00,P x y为抛物线()220 xpy p=上一点， 由定义易得02pPFy=+； 若过焦点的弦 AB 的端点坐标为()11,A x y，()22,B xy，则弦长12AByyp=+，12yy+可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到. 16 【答案】()2,44 【分析】分析粒子在第一象限的运动规律得到数列an通项的递推关系式 an-an-1=2n，利用累加法求出 an
35、=n(n+1)，由 4445=1980 知，运动了 1980 秒时粒子到点 A44(44，44)，对运动规律的探索知：A1，A2，An中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动，由此可求得结果. 【详解】如图，设粒子运动到 A1，A2，An时所用的间分别为 a1，a2，an， 则 a1=2，a2=6，a3=12，a4=20，an-an-1=2n， 将 a2-a1=22，a3-a2=23，a4-a3=24，an-an-1=2n 相加得：an-a1=2(2+3+4+n)=n2+n-2，则 an=n(n+1)，由 4445=1980，故运动了 1980 秒时它到点 A44(44，44)， 又由运动规律知
36、：A1，A2，An中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动， 故粒子到达 A44(44，44)时向左运动 42 秒即运动了 2022 秒到达点(2，44)， 则所求点应为(2，44). 故答案为()2,44. 【点睛】本题考查数列的应用，解题时要认真审题，仔细观察，细心总结规律，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动是解题的关键，属难题. 四、解答题四、解答题. .本大题共本大题共 6 6 个小题，共计个小题，共计 7070 分分. .解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 17 【答案】 （1）358； （2）有理项为41Tx=，5358Tx=，92
37、1256Tx= 高三数学试题. 第 11 页 （共 18 页） 高三数学试题. 第 12 页 （共 18 页） 【分析】 （1）根据展开式通项公式，写出前三项的系数，再由三者成等差数列可求出 n; 然后写出展开式通项，令x的指数为1，求出参数的值，代入通项即可得解； （2）设展开式中，第1r +项为有理项，可知344rZ，求出r的可能取值，代入通项即可得解. 【详解】 （1）412nxx+展开式的通项为()234141122rrnrn rrrrnnTCxC xx+=1 分 因为前 3 项的系数成等差数列，且前三项系数为0121124nnnCCC， 所以10214nnnCCC=+，即2980nn
38、+=，所以1n=（舍去）或8n =.2 分 则二项式8412xx+展开式的通项为81342441881122rrrrrrrrTCxxCx+= 令3414r=，得4r =，4 分 所以含有x项的系数为48413528C=；5 分 （2）设展开式中，第1r +项为有理项，则344rZ，6 分 则当0r =、4、8时对应的项为有理项，8 分 有理项分别为41Tx=，5358Tx=，921256Tx=10 分 18 【分析】 （1）直接利用三角函数的关系式的变换和正弦定理的应用求出结果； （2）利用余弦定理和三角函数的关系式的变换求出结果 【解答】证明： （1）由题意得：sinsinaBCDACB=
39、由正弦定理得：sinsinbcBACB=，即sinsinBbACBc=，2 分 所以 CDabc， 由于 c2ab，所以：CDc4 分 解： （2）由题意知：CDc，AD2c，DB2c， 所以222222544cos22ccbcbADCccc+= ，5 分 同理222222544cos=22ccacaBDCccc+= ，6 分 由于ADC=CDB，8 分 所以22222255440cbcacc+=整理得22252abc+=，10 分 由余弦定理：2223cos=24abcACBab+=12 分 【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦定理余弦定理，主要考查学生的运算能力和数学思
40、维能力，属于基础题 19 【答案】()21224413nnn+. 【分析】根据条件可得数列 na是公差为 2 的等差数列，数列 nb是首项为 1，公比为 2 的等比数列，然后利用分组求和法求出答案即可. 【详解】因为数列2na是公比为4的等比数列，所以1242nnaa+=，所以12nnaa+=， 所以数列 na是公差为 2 的等差数列，2 分 因为2a，4a，7a成等比数列，所以2427aa a=，所以()()()21116212aaa+=+ 解得16a =，4 分 所以()62124nann=+=+5 分 因为nS为数列 nb的前n项和，且nb是1和nS的等差中项， 所以12nnSb+ =，
41、6 分 当2n时，有1112nnSb+ =，所以122nnnbbb=，即12nnbb=8 分 高三数学试题. 第 13 页 （共 18 页） 高三数学试题. 第 14 页 （共 18 页） 当1n=时，有111112Sbb+ =+ =，所以11b =9 分 所以数列 nb是首项为 1，公比为 2 的等比数列，所以12nnb=10 分 因为,?,?nnna ncb n=为奇数为偶数 所以数列 nc的前21n项和为() ()12342113212422nnnababaaaabbb+=+ ()()()1212 14126424412143nnn nnnn=+ +=+12 分 20 【分析】 （1）由
42、已知可得 POAC，求解三角形可得 POBO，再由直线与平面垂直的判定可得PO平面 ABC； （2） 以 O 为坐标原点， 分别以 OB， OC， OP 所在直线为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz，设 M（a，2a，0） （0a2） ，由二面角 MPAC 为 30列式求解 a，再由等体积法求三棱锥 APMB 的体积 【解答】证明： （1）在三棱锥 PABC 中，PAPCAC4，O 为 AC 的中点 POAC，1 分 且 PO，连接 OB， ，AC4，AC2AB2+BC2，得 ABBC， 则 OBAC2，又 PB4，BO2+PO2PB2，得 POBO，3 分 ACBOO，PO平面
43、 ABC；4 分 解： （2）如图，以 O 为坐标原点，分别以 OB，OC，OP 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz5 分 由已知得 O（0，0，0） ，B（2，0，0） ，A（0，2，0） ，C（0，2，0） ，P（0，0，2） ， （0，2，2） ，取平面 PAC 的一个法向量（2，0，0） 6 分 设 M（a，2a，0） （0a2） ，则（a，4a，0） 设平面 PAM 的法向量为 （x，y，z） ， 由， 取 za，得 （a4） ，a，a） ，8 分 二面角 MPAC 为 30， cos， cos30， 解得 a4（舍）或 a10 分 112 223323A PMB
44、P AMB8V=22=39V12 分 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，考查利用等体积法求多面体的体积，是中档题 21 【答案】 （1）2214xy+=； （2）证明见解析. 【分析】 （1）由题知( ,0)A a，(0, )Bb，利用直线AB的斜率结合三角形OAB的面积，求出, a b，即可得到椭圆方程. （2）设直线MN方程为ykxt=+，设11( ,)M x y，22(,)N xy，与椭圆方程联立整理得()222418440kxktxt+=，结合韦达定理，利用弦长公式及点到直线的距离公式表示出OMNS，并且利用基本不等式求得其
45、最大值得到22241tk=+， 再利用两点连线的斜率公式求得OMONkk化简可得其为定值. 【详解】 （1）椭圆22221(0)xyabab+=的右顶点( ,0)A a，上顶点(0, )Bb， 由题知012021112ABOABbabkaabS= =，解得21ab=3 分 所以椭圆的标准方程为2214xy+=4 分 （2）由已知 MN 与 x 轴不垂直，可知直线MN的斜率存在， 设直线MN方程为ykxt=+，设11( ,)M x y，22(,)N xy， 高三数学试题. 第 15 页 （共 18 页） 高三数学试题. 第 16 页 （共 18 页） 联立2214ykxtxy=+=，整理得：()
46、222418440,kxktxt+= 其中()()()2222284 44416(4)011ktktkt =+=+，即2241kt+ 且122841ktxxk+= +，21224441tx xk=+6 分 ()2222212122114 14144kktMNkxxx xk+=+=+7 分 又原点 O 到直线MN的距离21tdk=+8 分 所以()222222222112411 4 141122441OMNtkttkktSMN dkkk+=+=+ ()222214141tktk+=，当且仅当22214tkt=+，即22241tk=+时，等号成立，10 分 所以()()()222211111222
47、1122OMONkxtkxtk x xkt xxty ykkx xx xx x+=+ ()22 222222222222111884444444444ktkttk ttkktkkktttk+=+=+=+ 又22241tk=+，可得14OMONkk= 12 分 所以当OMN的面积最大时，直线OM与ON的斜率之积为定值 【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； （2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题 22 【答案】 （1）答案见解析； （2）证明
48、见解析. 【分析】 （1）求函数( )fx的定义域，并求( )fx，对a分类讨论，并判断( )fx的符号，即可判断函数( )fx的单调性； （2）若0a =且()0,1x，利用分析法与构造函数法，借用导数的工具性，即可证明21( )1exf xxx+ 【详解】 （1）函数( )fx的定义域为()0,+， 222121(21)(1)( )2a xaxaxaxfxa xaxxx+= +=1 分 若0a =，则( )0fx，( )fx在()0,+上单调递减2 分 若0a ，当1xa=时，( )0fx=； 当1xa时，( )0fx；当1xa时，( )0fx， 故在10,a上，( )fx单调递减；在1,
49、a+上，( )fx单调递增3 分 若0a ，当12xa= 时，( )0fx=； 当12xa 时，( )0fx；当12xa 时，( )0fx， 故在10,2a上，( )fx单调递减；在1,2a+上，( )fx单调递增4 分 综上0a =，( )fx在()0,+上单调递减 0a ，在10,a上，( )fx单调递减；在1,a+上，( )fx单调递增 0a ，在10,2a上，( )fx单调递减；在1,2a+上，( )fx单调递增5 分 （2）若0a =且()0,1x，则e( )ln1 lnf xxx= 欲证21( )1exf xxx+，只需证()3(1 ln )1exxxxx+6 分 设函数( )(1
50、ln )g xxx=，则( )lng xx= 当()0,1x时，( )0gx，函数( )g x在()0,1上单调递增，所以( )( )11g xg=7 分 设函数()3( )1exh xxx=+，则()23( )23exh xxxx=+ 设函数23( )23p xxxx=+，则2( )1 63p xxx= 当()0,1x时，(0)(1)80pp= ， 故存在()00,1x ，使得()00p x=，9 分 高三数学试题. 第 17 页 （共 18 页） 高三数学试题. 第 18 页 （共 18 页） 从而函数( )p x在()00,x上单调递增；在()0,1x上单调递减， 所以()( )002p