1、第 1 页，共 22 页 2020-2021 学年湖北省随州市曾都区九年级学年湖北省随州市曾都区九年级上期末数学试卷上期末数学试卷 1. 若方程( 3)+ 2 3 = 0是关于 x 的一元二次方程，则() A. = 3， 2 B. = 3， = 2 C. 3， = 2 D. 3， 2 2. 点(2,3)关于原点的对称点的坐标是() A. (2,3) B. (2,3) C. (2,3) D. (3,2) 3. 在 中， = 90 ，cos =12，那么sin的值是() A. 22 B. 32 C. 33 D. 12 4. 如图，将 绕点 C 顺时针旋转90 得到 .若点 A，D，E 在同一条直线
2、上， = 20 ，则的度数是() A. 55 B. 60 C. 65 D. 70 5. 下列说法错误的是() A. 概率很小的事件不可能发生 B. 通过大量重复试验，可以用频率估计概率 C. 必然事件发生的概率是 1 D. 投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求 6. 如图， 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足是 E， = 22.5 ， = 2，CD的长为() A. 22 B. 2 C. 42 D. 4 7. 下列关于投影与视图的说法正确的是() A. 平行投影中的光线是聚成一点的 B. 线段的正投影还是线段 C. 三视图都是大小相同的圆的几何体是球 D. 正三棱柱的俯视图是正三角形 8
3、. 飞机着陆后滑行的距离(单位：)与滑行的时间(单位：)的函数解析式是 = 60 1.52，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来() A. 10s B. 20s C. 30s D. 40s 9. 九章算术是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十第 2 页，共 22 页 二步，问勾中容方几何”其大意是：如图， 的两条直角边的长分别为 5和 12，则它的内接正方形 CDEF 的边长为() A. 2517 B. 6017 C. 10017 D. 14417 10. 如图， 抛物线
4、 = 2+ + 与x轴交于A， B两点， 与y轴交于点(0,1)， 点A在(4,0)与(3,0)之间(不包含这两点)， 抛物线的顶点为 D， 对称轴是直线 = 2.有下列结论： 2； 13；若 = 1，则 是等边三角形其中正确的个数是() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 抛物线 = 4( 3)2+ 7的顶点坐标是_. 12. 设1，2是一元二次方程2 7 5 = 0的两个实数根，则实数11+12的值为_. 13. 如图，在 与 中， = = 90 ，点 E 在 AB 上，若只添加一个条件便能判定 ，则添加的条件是_. 14. 如图，从一块直径为 2m的圆形铁皮上画出一个圆心角为
5、90 的扇形，若随机在圆及其内部投针，则针孔扎在扇形(阴影部分)的概率为_. 第 3 页，共 22 页 15. 如图，矩形 OABC 的顶点 A，C分别在 x 轴、y轴上，顶点 B 在第二象限， = 3，将线段 OA绕点 O按顺时针方向旋转60 得到线段 OD，连接 AD，反比例函数 =( 0)的图象经过 D，B 两点，则 k的值为_. 16. 如图，在 中， = = 10，点 D是边 BC 上一动点(不与 B，C重合)， = = ，DE交 AC于点 E，且cos =45.下列结论正确的是_.(填所有正确结论的序号) ； 的面积为 48； 当 = 2时， ；当 为直角三角形时，BD的长为 8
6、或72. 17. 已知关于 x 的一元二次方程2 2 + = 2有两个不相等的实数根 (1)求 m 的取值范围； (2)当 = 1时，求方程2 2 + = 2的解 18. 电视台为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招募青少年歌手甲、乙、丙、丁报名参加了应聘活动，其中甲、乙为男歌手，丙、丁为女歌手现对这四名歌手采取随机抽取的方式进行线上面试 (1)若随机抽取一名歌手，求恰好抽到丁的概率； (2)若随机抽取两名歌手， 请用列表或画树状图表示所有可能的结果， 并求出恰好抽到一男一女的概率 第 4 页，共 22 页 19. 如图，反比例函数 =( 0)的图象与正比例函数 = 2的图象相交
7、于(1,)，B两点 (1)求反比例函数的解析式； (2)求不等式 2的解集 20. 桃园大桥是随州城区第二座景观桥，远远望去，桥身的红色立柱像四根大火炬如图，小刚利用学到的数学知识测量大桥立柱在水面以上的高度.在桥面观测点 A处测得某根立柱顶端 M的仰角为30 ，测得这根立柱与水面交汇点 N 的俯角为15 ，向立柱方向走 40米到达观测点 B处，测得同一根立柱顶端 M的仰角为60 .已知点 A，B，C，M，N 在同一平面内，桥面与水面平行，且 MN垂直于桥面 (1)求大桥立柱在桥面以上的高度(结果保留根号)； (2)求大桥立柱在水面以上的高度(结果精确到 1米). (参考数据：sin15 0.
8、26，cos15 0.96，tan15 0.27，3 1.73) 第 5 页，共 22 页 21. 如图，已知 的直径 = 6，A，B为圆周上两点，且四边形 OABC是平行四边形过 A点作直线/，分别交 CD，CB的延长线于点E，F，AO 与 BD交于 G点， (1)求证：EF 是 的切线； (2)求 EF的长 22. 某商家采取线上和线下两种方式销售某款商品，规定无论是线上还是线下每件售价不低于进价，且线上售价始终比线下每件便宜 2元已知该款商品进价为 10元/件，线上的月销售量固定为 400 件，线下的月销售量(件)与线下售价(元/件)满足关系式 = 100 + 2400.设该商品线上和线
9、下月销售利润总和为(元). (1)求 W与 x之间的函数关系式(不要求写出自变量 x的取值范围)； (2)若该商家每月想从这种商品销售中获得 4800 元的利润， 又想尽量给客户实惠， 该如何给这种商品进行线下定价？ 第 6 页，共 22 页 (3)物价部门规定，该商品的每件利润不得高于进价的60%，如果商家每月要想从这种商品销售中获得最大利润，他应该把这种商品的线下售价定为多少？月最大销售利润是多少？ 23. 定义：在一个三角形中，如果一个内角是另一内角的 2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”，把这个 2倍角的平分线(线段)称为这个三角形的“伴线”在倍角 中， = 2，的平分线就是它的“
10、伴线”，用 a，b，c 分别表示，的对边，现在我们探究 a，b，c之间存在的数量关系 (1)【特例探究】(补全填空) 如图 1，若 = 2 = 90 ， = 1，易求得2 2的值为 1，bc 的值为 1； 如图 2，若 = 2 = 60 ， = 1，易求得2 2的值为_，bc 的值为_. (2)【猜想论证】 根据(1)猜想 a，b，c之间存在怎样的数量关系？请从下列思路中选择一种证明你的猜想 思路一：如图 3，延长 BA至 D，使 = ，连接. 思路二：如图 4，作的平分线交 BC于点. (3)【素养提升】 若在这个倍角 中，已知 ，且它的三边长恰好是三个连续的正整数，请根据(2)中的结论直接
11、写出这个三角形的“伴线”长 第 7 页，共 22 页 24. 如图，抛物线 = 2+ 4 + 经过(3,4)，(0,1)两点，点 P 是 y 轴左侧且位于 x 轴下方抛物线上一动点，设其横坐标为. (1)直接写出抛物线的解析式； (2)将线段 AB绕点 B顺时针旋转90 得线段(点 D 是点 A的对应点)，求点 D的坐标，并判断点 D是否在抛物线上； (3)过点 P作 轴交直线 BD于点 M，试探究是否存在点 P，使 是等腰三角形？若存在，求出点 m的值；若不存在，说明理由 答案和解析答案和解析 1.【答案】C 【解析】解：方程( 3)+ 2 3 = 0是关于 x 的一元二次方程， 3 0，
12、= 2， 解得， 3， = 2， 故选：. 根据一元二次方程未知数的最高次数是 2 和二次项的系数不等于 0 解答即可 本题考查的是一元二次方程的概念 只有一个未知数且未知数最高次数为 2的整式方程叫做一元二次方程，第 8 页，共 22 页 一般形式是2+ + = 0(且 0).特别要注意 0的条件 2.【答案】B 【解析】解：点(2,3)关于原点对称， 点(2,3)关于原点对称的点的坐标为(2,3). 故选：. 平面直角坐标系中任意一点(,)，关于原点的对称点是(,)，即：求关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆 本题考查关于原点对称的点的坐标特征， 这
13、一类题目是需要识记的基础题， 记忆时要结合平面直角坐标系 3.【答案】B 【解析】解：在 中， = 90 ， cos =12， = 60 ， sin = sin60 =32， 故选：. 根据特殊锐角三角函数值求出，再求出sin的值即可 本题考查特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角三角函数值是正确计算的前提 4.【答案】C 【解析】 【分析】 此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答 根据旋转的性质和三角形内角和解答即可 【解答】 解：将 绕点 C 顺时针旋转90 得到 . = = 20 ， = = 90 ， = ， = 90 20 = 70 ， 点 A，D，E 在同一条直线上，
14、+ = 180 ， + + = 180 ， 第 9 页，共 22 页 = + 20 ， = 90 ， = + = 90 ， = = 45 在 中， + + = 180 ， 即45 +70 + = 180 ， 解得： = 65 ， 故选：. 5.【答案】A 【解析】解：.概率很小的事件发生的可能性小，但不是不可能发生，此选项错误； B.通过大量重复试验，可以用频率估计概率，此选项正确； C.必然事件发生的概率是 1，此选项正确； D.投一枚图钉，由于不是等可能情形下的概率计算，所以“钉尖朝上”的概率不能用列举法求，此选项正确； 故选：. 根据概率的意义、利用频率估计该旅馆、必然事件的概率及等可能
15、事件概率的计算逐一判断即可 本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率 6.【答案】A 【解析】解：直径 AB 垂直于弦 CD， = =12， = 22.5 ， = 45 ， = ， 设 = = ， = 2， 2+ 2= 4， 解得： = 2， 即： = 2， = 22， 故选. 第 10 页，共 22 页 利用垂径定理得 = ， 再利用用圆周角定理 = 45 ， 易得 = ， 利用勾股定理可得 CE， 得. 本题主要考查了垂径定理和圆周角
16、定理，利用方程思想和勾股定理是解答此题的关键 7.【答案】C 【解析】解：.平行投影中的光线是平行的，因此选项 A 不符合题意； B.线段的正投影可能是线段，有可能是点，因此选项 B 不符合题意； C.球的三视图是大小相同的圆，因此选项 C 符合题意； D.如果正三棱柱是横着放置的，其俯视图是长方形的，因此选项 D不符合题意； 故选：. 根据平行投影和视图的关系进行判断即可 本题考查视图与投影的关系，掌握平行投影的性质和投影的意义是正确判断的前提 8.【答案】B 【解析】解： = 1.5 0， 函数有最大值， 当 = 2= 602(;15)= 20(秒)， 即飞机着陆后滑行 20秒能停下来，
17、故选：. 根据飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值此时 = 2，进而得出答案 此题主要考查了二次函数的应用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法得出是解题关键 9.【答案】B 【解析】解：四边形 CDEF 是正方形， = ，/， 设 = ，则 = ， = 5 ， /， = ， = ， ， =， 12=5;5， 第 11 页，共 22 页 =6017， 正方形 CDEF 的边长为6017. 故选：. 根据正方形的性质得：/，则 ，列比例式可得结论 此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，设未知数，构建方程是解题的关键 10.【答案】C 【解析】解：图象的开口向
18、下， 0， 图象与 y轴的交点为(0,1)， = 1， 抛物线的对称轴为2， 2= 2， = 4 0， 0， 符合题意， 抛物线的对称轴为 = 2， 关于对称轴的对称点为(52,1)， 当 2时，y随着 x 的增大而增大， 又 83 2， 符合题意， 由题意得： = 2+ + = 2+ 4 1 = ( + 2)2 4 1， 当 = 0时，较小的一个根为4 +1 2， 4 +1 2 3， 解得 0. 解得 0，从而可以求得 m的取值范围； (2)利用配方法求解即可 本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确题意，利用一元二次方程的知识解答 18.【答案】解：(1)随机抽取一名歌手，恰好抽到丁的概率
19、为14； (2)画树状图如图： 共有 12个等可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有 8个， 恰好抽到一男一女的概率为812=23. 第 17 页，共 22 页 【解析】(1)直接由概率公式求解即可； (2)画树状图，共有 12 个等可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有 8 个，再由概率公式求解即可 本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确解答的前提 19.【答案】解：(1) 点(1,)在直线 = 2上， = 2 1 = 2， 即点 A的坐标为(1,2)， 点(1,2)在反比例函数 =( 0)的图象上， = 1 2 = 2， 反比例函数的解析式为 =2；
20、(2) 反比例函数 =( 0)的图象与正比例函数 = 2的图象相交于(1,2)，B两点， (1,2)， 观察图象可知，不等式 2的解集为0 1或 1. 【解析】(1)根据点(1,)在 = 2上，可以求得点 A的坐标，再根据待定系数法即可求得 k的值； (2)由于正比例函数和反比例函数图象都是以原点为中心的中心对称图形，因此它们的交点 A、B 关于原点成中心对称，然后根据图象即可求得 本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 20.【答案】解：(1) = 30 ， = 60 ， = 3
21、0 ， = = 40(米)， 在 中， = sin = 203(米)， 答：大桥立柱在桥面以上的高度 MC 为203米； (2)在 中， =12 = 20米， = + = 60(米)， 在 中， = tan 60 0.27 16.2(米)， = + 203 + 16.2 51(米)， 答：大桥立柱在水面以上的高度 MN 为 51米 【解析】(1)根据正弦的定义求出 MC； (2)根据正切的定义求出 MN，结合图形计算即可 第 18 页，共 22 页 本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键 21.【答案】(1)证明： 为 的直径， =
22、 90 ， ， 四边形 OABC 是平行四边形， /， ， /， ， 是 的切线； (2)解：连接 OB， 四边形 OABC 是平行四边形， = ，而 = = ， = = ， 是等边三角形， = 60 ， = 60 ， = 2 = 6， = 9， /， ， ， 在 中， = cos = 9 32=932. 【解析】(1)利用圆周角定理得到 = 90 ，再利用平行四边形的性质得/，所以 ，加上/，所以 ，于是根据切线的判定定理可得到 EF是 的切线； (2)连接 OB，证明 是等边三角形，由等边三角形的性质得出 = 60 ，由直角三角形的性质可得出答案 第 19 页，共 22 页 本题考查了切线
23、的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；也考查了等边三角形的判定与性质，平行四边形的性质和解直角三角形 22.【答案】解：(1)根据题意得， = 400( 2 10) + (100 + 2400)( 10)， 整理得：W与 x 之间的函数关系式为： = 1002+ 3800 28800； (2)根据题意得，1002+ 3800 28800 = 4800， 解得：1= 14，2= 24， 想尽量给客户实惠， = 14， 答：这种商品线下定价为 14 元； (3)根据题意得， 2
24、10 10 10 60%， 12 16， 由(1)知， = 1002+ 3800 28800 = 100( 19)2+ 7300， 100 ，a，b，c 是三个连续的正整数， 设 = + 1， = 1， 2 2= ， ( + 1)2 ( 1)2= ( 1)， = 5或 = 0(不合题意舍去)， = 6， = 4， 由(2)可知=， =456=103， =103. (1)可求 = 90 ，由直角三角形的性质可求 a，c 的值，即可求解； (2)思路一：通过证明 ，可得=，即可求解； 第 21 页，共 22 页 思路二：通过证明 ，可得=，即可求解； (3)利用方程组求出 a，b，c的值，利用(2
25、)的结论可求 BD 的长，即可求解 本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，理解“倍角三角形”的定义是本题的关键 24.【答案】解：(1)把点(3,4)，(0,1)代入解析式 = 2+ 4 + ， 得4 = 9 12 + 1 = ， 解得 = 1 = 1， = 2+ 4 1； (2)如图，作 轴于点 C，作 轴于点 H， + = 90 ， + = 90 ， = ， 在 和 中， = = = ， ()， = = 3， = = 3， = 2， (3,2)， 把(3,2)代入 = 2+ 4 1中， 得(3)2+ 4 (3) 1 = 4 2， 点 D
26、 不在抛物线上； (3)存在点 P， (3,2)，(0,1)， 直线 BD 的解析式为 = 1， 设(,2+ 4 1)，则(, 1)， 第 22 页，共 22 页 由(2)知： = 45 ， 当 是等腰三角形，且45 为底角时， 有 = 90 或 = 90 ， 若 = 90 ，则 P 与 A重合，即 = 3， 若 = 90 ，则/轴，即 P的纵坐标为1， 2+ 4 1 = 1， 解得 = 0(舍)或 = 4， = 4， 若45 为顶角， 即 = ， = 1 2 4 + 1 = 2 5， = 2+ 2= 2， 2 5 = 2， 解得 = 0(舍)或 = 5 + 2， 的值为3，4，5 + 2. 【解析】(1)根据待定系数法即可求出抛物线的解析式； (2)作辅助线构造一线三垂直模型，在证明三角形全等即可求出点 D 的坐标，把点 D 的坐标代入解析式即可判断点 D 是否在抛物线上； (3)先写出点 P，M，B 的坐标，由(2)得出 = 45 ，分是顶角和底角两种情况讨论即可 本题主要考查二次函数的综合应用，关键是能根据待定系数法求出二次函数的解析式，和作辅助线构造一线三垂直模型，一般出现等腰三角形时，可从角和边两个角度去考虑