1、第 1 页，共 24 页 2020-2021 学年湖北省随州市随县九年级学年湖北省随州市随县九年级上期末数学试卷上期末数学试卷 1. 下列方程中，关于 x 的一元二次方程是() A. ( 1)( 2) = 2 B. 12+1= 2 C. 2+ + = 0 D. 32 2 = 0 2. 下列四个图案中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是() A. B. C. D. 3. 根据下列表格的对应值：判断方程2+ + = 0( 0,为常数)的一个解 x 的范围是() x 6.17 6.18 6.19 6.20 2+ + 0.03 0.01 0.02 0.04 A. 6 6.17 B. 6.17 6.1
2、8 C. 6.18 6.19 D. 6.19 0)的图象可能是() A. B. C. D. 8. 如图， D、 E 分别是 的边 AB、 BC 上的点， 且/， AE、 CD相交于点 O， 若： = 1： 9， 则与的比是() A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 2：5 9. 如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，菱形 ABCD的顶点 B在 x轴的正半轴上，点 A 的坐标为(4,0)，点 D 的坐标为(1,4)，反比例函数 =的图象恰好经过点 C，则 k的值为() 第 3 页，共 24 页 A. 12 B. 15 C. 16 D. 20 10. 如图所示，抛物线 = 2+
3、+ ( 0)的对称轴为直线 = 1，与 y 轴的一个交点坐标为(0,3)，其部分图象如图所示， 下列结论： 0； 方程2+ + = 0有一个实根大于 2；当 0) (1)求证：这个方程有两个不相等的实数根； (2)如果这个方程的两个实数根分别为1，2，且(1 3)(2 3) = 5，求 m 的值 19. 在疫情期间，为落实停课不停学，某校对本校学生某一学科在家学习的情况进行抽样调查，了解到学生的学习方式有：电视直播、任课老师在线辅导、远程教学、自主学习，参与调查的学生只能选择一种学习方式，将调查结果绘制成不完整的扇形统计图和条形统计图，解答下列问题. (1)本次受调查的学生有_ 人，补全条形统
4、计图. (2)根据调查结果，若本校有 1800名学生，估计有多少名学生参与任课教师在线辅导？ 第 5 页，共 24 页 (3)在“任课教师在线辅导”学生中选了四人，其中有1，2两名男生，1，2两名女生，若从这四人中随机抽取两人向全校作学习交流，请利用树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率. 20. 如图，D为 上一点，点 C在直径 BA的延长线上， = . (1)求证：CD是 的切线； (2)过点 B作 的切线交 CD的延长线于点 E，若 = 9，tan =23，求 BE 的长 21. 如图 1 是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景， 图 2 是小明锻炼时上半身由 ON位置运动到底
5、面 CD垂直的 OM位置时的示意图， 已知 = 0.66米， = 0.26米， = 30 .(参考数据： 3 = 1.732，2 = 1.414) (1)求 AB的长； (2)若 = 0.6米，求 M，N 两点的距离(精确到0.01). 第 6 页，共 24 页 22. 广州某药店经销甲、乙两种口罩，若甲种口罩每包利润 10元，乙种口罩每包利润 20元，则每周能卖出甲种口罩 40包，乙种口罩 20 包突如其来的新冠病毒严重影响人们生活，为了解决人们所需，药店决定把甲、乙两种口罩的零售单价都降价 x 元经调查，甲、乙两种口罩零售单价分别每降 1 元，这两种口罩每周可各多销售 10 包 (1)直接
6、写出甲、乙两种口罩每周的销售量，包)与降价(元)之间的函数关系式； (2)药店每周销售甲、乙两种口罩获得的总利润为(元)； 如果每周甲种口罩的销售量不低于乙种口罩的销售量的43，求 W的最大值； 若每周总利润(元)不低于 1340元，求 x 的范围 23. 如图 1，在 中， 于， = ，D是 AE上的一点，且 = ，连接 BD、. (1)试判断 BD与 AC 的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图 2，若将 绕点 E 旋转一定的角度后，仍然有 ， = ，试判断 BD 与 AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由； (3)如图 3，若将(2)中的等腰直角三角形都换成等边三角形，
7、其他条件不变， 试猜想 BD 与 AC的数量关系，并说明理由； 你能求出 BD与 AC 所成的角的度数吗？如果能，请直接写出该角的度数；如果不能，请说明理由 第 7 页，共 24 页 24. 如图 1，已知抛物线 = 2+ + 3( 0)与 x 轴交于点(1,0)和点(3,0)，与 y轴交于点 C (1)求抛物线的解析式； (2)在(1)中抛物线的对称轴是否存在点 Q，使得 的周长最小？若存在，求出 Q 点的坐标，若不存在，请说明理由 (3)如图 2，若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE，CE，求四边形 BOCE 面积的最大值，并求此时 E点的坐标 答案和解析答案和解析 1.【答案】
8、A 【解析】解：A、由原方程知：2 3 + 1 = 0，符合一元二次方程的定义，故本选项正确； B、该方程是分式方程，故本选项错误； C、当 = 0时，该方程不是一元二次方程，故本选项错误； D、该方程中含有两个未知数，是二元二次方程，故本选项错误； 故选：. 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是 2；二次项系数不为 0；是整式方程；含有一个未知数，可得答案 本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2. 2.【答案】A 第 8 页，共 24 页 【解析】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称
9、图形故本选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形故本选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形故本选项不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形故本选项不合题意 故选：. 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合 3.【答案】C 【解析】解：由 = 2+ + ，得 6.17时 y随 x的增大而增大，得 = 6.18时， = 0.01， = 6.19时， = 0.02， 2+ + = 0的近似根是6.18 0时，反
10、比例函数图象在第一、三象限都是 y随 x的增大而增大， 且一次函数图象必过第一、三象限，故 A，C选项错误； 一次函数 = 1与 y轴交于负半轴， 选项错误，B选项正确， 故选：. 8.【答案】A 【解析】解： /， = ， = ， ， =， ：= 1：9， =13， =13， =12， 与的比是 1：2， 故选：. 根据相似三角形的判断可得 ， 再根据相似三角形的性质可得=13， 从而可得 BE： = 1：2，即可得到与的比 本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质是解决问题的关键 9.【答案】C 【解析】解：如图，过点 D作 于点 E， 四边形 ABCD是菱形， = ，/
11、， 又 (1,4)，(4,0)， 点 C 的纵坐标等于点 D的纵坐标，等于 4， = 4， = 1， = 4， = = 4 1 = 3， 第 11 页，共 24 页 在直角 中，2+ 2= 2， = 2+ 2= 32+ 42= 5， = = 5， 点 C 的横坐标为 4， (4,4)， = 4 4 = 16， 故选：. 要求 k 的值，只需求出 C点坐标即可，根据菱形的性质可得/，所以点 C的纵坐标等于点 D 的纵坐标，等于 4，过点 D作 于点 E，根据勾股定理求出 = 5，所以 = 5，从而得到点 C 的横坐标，进而根据点 C 的坐标求出 k 的值 本题考查了反比例函数的图象上的点的坐标特
12、征，菱形的性质，求得点 C 的坐标，进而根据点 C的坐标求出 k的值是解题的关键 10.【答案】B 【解析】解：抛物线开口向下、顶点在 y 轴右侧、抛物线与 y 轴交于正半轴， 0， 0， 0，故正确； 抛物线 = 2+ + 的对称轴为直线 = 1， 2= 1， = 2， 当 = 1时， 0， + 0， (2) + 0，即3 + 0， 0， 4 + 0，故，错误； 抛物线与 x 轴的一个交点在1和 0 之间，对称轴为直线 = 1， 抛物线与 x 轴的另一个交点在 2 和 3之间，故结论正确； 抛物线开口向下，对称轴为直线 = 1， 当 2 3 【解析】解：抛物线 = 2 2 + 2 = ( +
13、 1)2+ 3，开口向下，对称轴为直线 = 1， 而(2,3)离直线 = 1的距离最远，(2,1)点离直线 = 1最近， 1 2 3. 第 13 页，共 24 页 故答案为1 2 3. 根据二次函数的性质得到抛物线 = 2 2 + 2 = ( + 1)2+ 3，开口向下，对称轴为直线 = 1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式也考查了二次函数的性质 14.【答案】(3 2) 【解析】解：如图 1 所示： 过点 A作 于点 D， 由题意可得： = = 60 ， 则 是等边三角形， 故 = = = 2， 则 = 2
14、sin60 = 3， 如图 2 所示： 过点 A作 于点 E， 由题意可得： = = 60 ， 则 是等腰直角三角形， = = 2， 则 = 2sin45= 2， 故梯子顶端离地面的高度 AD 下降了(3 2). 故答案为：(3 2). 根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数关系得出答案 此题主要考查了解直角三角形的应用，正确画出图形利用锐角三角三角函数关系分析是解题关键 15.【答案】32 【解析】解：连接 OC并延长，交 上一点 P，以 O为圆心，以 OP 为半径作 ，交 x轴于 A、B，此时AB 的长度最大， (6,8)， = 62+ 82= 10， 以点 C为圆心的圆与 y 轴相切 的
15、半径为 6， = = = 16， 是直径， 第 14 页，共 24 页 = 90 ， 长度的最大值为 32， 故答案为32. 连接 OC 并延长，交 上一点 P，以 O为圆心，以 OP 为半径作 ，交 x 轴于 A、B，此时 AB 的长度最大，根据勾股定理和题意求得 = 16，则 AB 的最大长度为32. 本题考查了切线的性质，坐标和图形的性质，圆周角定理，找到 OP 的最大值是解题的关键 16.【答案】 【解析】解：根据折叠可知： = = 90 ， + = 90 ， + = 90 = 90 ， + = 90 ， = ， + = 90 ，故正确； 根据折叠可知： = ， 平分， 3 = 90
16、， = 30 ， = 60 ， tan = 3，故错误； 根据题意可知：直线 FG经过点 D， = = 3， = 5， = 4， = 1， = = = 90 ， ， =， 4=13， =43， = =43， = 3 43=53， =45，故正确； 当 为等腰三角形时，可得 ， 均为等腰直角三角形，如图， 第 15 页，共 24 页 = = 3， = 3， = 32， = = 5 32， = 2(5 32) = 52 6， 五边形 ABCMN的周长为： + + + + = 5 + 3 + 32 + 52 6 + 32 2 = 112.故正确 故答案为： 根据折叠可得 = = 90 ， = 90
17、，再利用直角三角形两个锐角互余即可判断正确； 根据折叠可得 = ，再根据 CD 平分，可得 = 60 ，进而即可判断错误； 根据题意可知： 直线FG经过点D， 证明 ， 对应边成比例可得 = =43， = 3 43=53，进而即可判断正确； 当 为等腰三角形时，可得 ， 均为等腰直角三角形，如图，根据等腰直角三角形的性质即可判断正确 本题考查了折叠问题，同时与相似三角形、特殊角三角函数值、等腰三角形、矩形等知识相结合，转化相关线段和角度之间的关系是解题关键 17.【答案】解：(1)原式= 3 + 32 + 2 4 22 = 3 + 32 + 2 22 = 5 + 2； (2)原式= 1 3 3
18、3 1 2 = 1 3 1 2 第 16 页，共 24 页 = 3 2. 【解析】(1)直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案； (2)直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案 此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 18.【答案】解：(1)判别式 = (2 1)2 4( 2) = 42 4 + 1 42+ 8 = 4 + 1 0 4 + 1 0 所以方程有两个不相等的实数根 (2)由韦达定理得 1+ 2=2 1 12= 2 所以(1 3)(2 3) = 5 12 3(1+ 2) + 9 = 5 2 3 2
19、 1+ 9 = 5 两边同时乘以 m并化简 2 6 + 3 + 9 = 52 52 4 1 = 0 (5 + 1)( 1) = 0 解得 = 1或 = 15(舍去) 经检验 = 1是方程的根 所以 m的值是1. 【解析】(1)只需证明根的判别式恒大于 0即可 (2)把等号左边整理(1 3)(2 3) = 12 3(1+ 2) + 9，再把一元二次方程根与系数的关系代入列出方程解则可 本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法 第 17 页，共 24 页 19.【答案】60 【解析】解：(1)本次接受调查的学生有：9 15%
20、= 60(人)， 选择 C学习方式的人数有：60 9 30 6 = 15(人)， 故答案为：60； (2)根据题意得： 1800 3060= 900(名)， 答：估计有 900 名学生参与任课教师在线辅导 (3)画树状图如下： 共有 12种可能的结果，其中抽取两人为一男一女有 8 种结果 则抽到一男一女的概率为812=23. (1)根据 A的人数和所占的百分比求出抽取的总人数，再用总人数减去其他学习方式的人数，求出 C 学习方式的人数，从而补全统计图； (2)用本校的总人数乘以参与任课教师在线辅导的人数所占的百分比即可 (3)先画树状图展示所有 12 个等可能的结果数， 再找出恰好抽到一男一女
21、的结果数， 然后根据概率公式求解 此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 第 18 页，共 24 页 20.【答案】(1)证明：连 OD，OE，如图， 为直径， = 90 ，即 + 1 = 90 ， 又 = ， 而 = 1， 1 = ， + = 90 ，即 = 90 ， 是 的切线； (2)解： 为 的切线，ED 是切线， = ， = ， ， + = 90 ， + = 90 ， = ， = . 而tan =23， tan =23， ， =23， =2
22、3 9 = 6， 在 中，设 = ， ( + 6)2= 2+ 92， 解得 =154. 即 BE的长为154. 【解析】(1)连 OD，OE，根据圆周角定理得到 + 1 = 90 ，而 = ， = 1，于是 + = 90 ； (2)根据切线的性质得到 = ， ，则 = ，得到tan = tan =23，易证 ，得到=23，求得 CD，然后在 中，运用勾股定理可计算出 BE的长 本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推第 19 页，共 24 页 论以及三角形相似的判定与性质，熟练应用切线判定是解题的关键 21.【答案】解：(1)如图，过 B 作
23、 于 E， 则四边形 CDBE为矩形， = = 0.26米， = 0.66米， = = 0.66 0.26 = 0.40(米) 在 中， = 30 = 2 = 2 0.40 = 0.80(米)； (2)如图，过 N作 交射线 MO于 F 点，则/， = = 30 ， = 0.6， =12 = 0.3， = = 0.6， = 0.9， = 90 30 = 60 ， = =12 = 30 ， 在 中， =cos30=0.932= 1.039 1.04(米)， ，N 两点的距离约为1.04米 【解析】(1)过 B 作 于 E，可得四边形 CDBE为矩形，利用锐角三角函数即可求出 AB的长； (2)过
24、 N 作 交射线 MO 于 F 点， 则/， 利用 30度角的直角三角形即可求出 M， N 两点的距离 本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握锐角三角函数 22.【答案】解：(1) 甲、乙两种口罩零售单价分别每降 1 元，这两种口罩每周可各多销售 10包， ，； (2)由题意可知，甲的利润为：(40 + 10)(10 )，乙的利润为：(20 + 10)(20 )， = (40 + 10)(10 ) + (20 + 10)(20 ) 第 20 页，共 24 页 = 202+ 240 + 800 = 20( 6)2+ 1520， 每周甲种口罩的销售量不低于乙种口罩的销售量的43， 40
25、 + 10 43(20 + 10)， 0 4. 当0 4时， = 20( 6)2+ 1520随 x 的增大二人增大， 当 = 4时，W的值最大，最大值为20 (4 6)2+ 1520 = 1440， 的最大值是 1440元； 当 = 1340时， 202+ 240 + 800 = 1340， 整理得：2 12 + 27 = 0， 解得：1= 3，2= 9， 1340， = 202+ 240 + 800的对称轴为直线 = 6， 3 9. 【解析】(1)由甲、乙两种口罩零售单价分别每降 1元，这两种口罩每周可各多销售 10包，可列出函数关系式； (2)根据总利润=销售量单包利润，分别求出甲乙的总利
26、润，求和即可得 W关于 x 的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案；先令 = 1340，得到关于 x 的一元二次方程，解得 x 的值，再根据二次函数的性质可得答案 本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键 23.【答案】 解：(1) = ， ， 理由是：延长 BD 交 AC于 F， ， = = 90 ， 在 和 中 = = = ， 第 21 页，共 24 页 = ， = ， = 90 ， + = 90 ， = ， + = 90 ， = 180 90 = 90 ， ； (2) 不发生变化， 理由是： = = 90 ， + = +
27、 ， = ， 在 和 中 = = = ， = ， = ， = 90 ， + = 90 ， = ， + = 90 ， = 180 90 = 90 ， ； 第 22 页，共 24 页 (3) 能， 理由是： 和 是等边三角形， = ， = ， = = 60 ， = = 60 ， + = + ， = ， 在 和 中 = = = ， = ， = 180 ( + + ) = 180 ( + + ) = 180 (60 +60 ) = 60 . 【解析】(1)延长 BD 交 AC于 F，求出 = = 90 ，证出 ，推出 = ， = ，根据 + = 90 推出 + = 90 ，求出 = 90 即可； (2
28、)求出 = ， 证出 ， 推出 = ， = ， 根据 + = 90 求出 + = 90 ，求出 = 90 即可； (3)求出 = ， 证出 ， 推出 = ， 根据三角形内角和定理求出即可 本题考查了等边三角形性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查了学生的推理能力 24.【答案】解：(1) 抛物线 = 2+ + 3( 0)与 x 轴交于点(1,0)和点(3,0)， + + 3 = 09 3 + 3 = 0， 解得： = 1 = 2， 所求抛物线解析式为： = 2 2 + 3； (2)存在(1,2)，理由如下： 第 23 页，共 24 页 连接 BC 交对称轴于 Q，如
29、图： 在 = 2 2 + 3中，令 = 0得 = 3，对称轴为直线 = 22(1)= 1， (0,3)， 而(1,0)， = 10， 要使得 的周长最小，只需 + 最小，又 A、B关于对称轴对称，有 = ， 只需 + 最小即可， 、B、C 共线时， 的周长最小， 设直线 BC解析式为 = + ，则3 = 0 = 3 + ， 解得 = 1 = 3， 直线 BC 解析式为 = + 3， 令 = 1得 = 2， (1,2)； (3)过点 E作 轴于点 F，如图： 设(,2 2 + 3)(3 0)，则(,0)， = 2 2 + 3， = (3) = + 3， = 0 = ， =12 =12( + 3)
30、(2 2 + 3)，第 24 页，共 24 页 ， 当 = 32时，最大，且最大值为638， 此时2 2 + 3 =154， 点 E 坐标为(32,154). 【解析】(1)用待定系数法即可求得抛物线的解析式； (2)连接 BC交对称轴于 Q， 在 = 2 2 + 3中， 得对称轴为直线 = 1， (0,3)， = 10， 要使得 的周长最小，只需 Q、B、C共线，设直线 BC 解析式为 = + ，可得直线 BC 解析式为 = + 3，即可得(1,2)； (3)过点 E作 轴于点 F，设(,2 2 + 3)(3 0)，则(,0)，可得 = 2 2 + 3， = + 3， = ，即可求出，故当 = 32时，最大，且最大值为638，点 E 坐标为(32,154). 本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、四边形面积、“将军饮马”模型等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度