1、扬州市江都区扬州市江都区 20212021- -20222022 学年九年级上学年九年级上 1212 月月考数学试题月月考数学试题 一、选择题（本大题共有一、选择题（本大题共有 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. 2yx B. 22yx C. 22yx D. 22yx 2. 已知一组数据 5，5，6，3，7，则这组数据的中位数是（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 3. 从一副完整的扑克牌中任意抽取 1 张，下列事件与抽到“A”的概率相同的是（ ） A. 抽到“大王” B. 抽到“红桃” C. 抽到“小王” D.
2、 抽到“K” 4. 已知圆锥的底面圆半径为 3cm，母线长为 5cm，则这个圆锥的侧面积是（ ） A. 15 cm2 B. 15 cm2 C. 30 cm2 D. 30 cm2 5. 如图，线段 AB是O的直径，弦 CD丄 AB，CAB20 ，则BOD等于（ ） A. 20 B. 40 C. 80 D. 70 6. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为(1,4)，(5,4)，(1,0)，则以A、B、C为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是（ ） A. (3,2) B. (2,3) C. (1,3) D. (3,1) 7. 关于x的一元二次方程2(1)210kxx 有两个实数根，则k的取
3、值范围是（ ） A. 0k B. 0k C. 0k 且1k D. 0k 且1k 8. 已知二次函数 yax2+bx+c（a0）图象如图所示，有下列结论：a、b 同号；当 x-2 和 x6 时，函数值相等；4a+b0；当1x5 时，y0其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共有二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分 ）分 ） 9. 一组数据 7，2，1，3的极差为_ 10. 从甲、乙两种玉米种子中选择一种合适的推荐给某地考虑到庄稼人对玉米的产量和产量的稳定性十分的关心，选择之前，为了解甲、乙两种玉米种子的
4、情况，某单位各用了 10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷产量（单位：t）的数据，这两组数据的平均数分别是x甲7.5，x乙7.5，方差分别是S2甲0.010,S2 乙0.002，你认为应该选择的玉米种子是_ 11. 若方程2240 xx的两根为1x、2x，则1212xxxx的值为_ 12. 关于 x 的方程 ax2+bx+20的两根为 x1-2，x23则方程 a（x2）2+b（x2）+20 的两根分别为_ 13. ABC 中，ABAC5，BC6，则ABC的内切圆的半径长为_ 14. 如图，Oe是ABCV的外接圆， 连接AO并延长交Oe于点D， 若50C， 则BAD的度数为_ 1
5、5. 如图，四边形 ABCD的各边都与圆相切，它的周长为 20，若 AD=4，则 BC 的长为_ 16. 如图，将ABC绕点 C顺时针旋转 120 得到ABC，已知 AC3，BC2，则线段 AB扫过 的图形（阴影部分）的面积为_ 17. 如图，抛物线 y（x+n）2+5交 x 轴于点 A，B，将该抛物线向右平移 4个单位后，与原抛物线交于点C，则点 C的纵坐标为 _ 18. 如图所示， 在 RtACB中，90C，30A ，12AB ， 点 O为 BC上的点，Oe的半径1OC ，点 D 是 AB 边上的动点，过点 D作Oe的一条切线 DE（点 E为切点） ，则线段 DE 的最小值为_ 三、解答题
6、（本大题共有三、解答题（本大题共有 10 小题，共小题，共 96分）分） 19. 解下列方程： （1）2236x（） （2）23230 xx（） （） 20. 为推进扬州市“青少年茁壮成长工程”，某校开展“每日健身操”活动，为了解学生对“每日健身操”活动的喜欢程度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查信息结果绘制成如下尚不完整的统计图表： 抽样调查各类喜欢程度人数分布扇形统计图 A非常喜欢 B比较喜欢 C无所谓 D不喜欢 抽样调查各类喜欢程度人数统计表 喜欢程度 人数 A非常喜欢 50 人 B比较喜欢 m人 C无所谓 n 人 D不喜欢 16 人 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查的样本
7、容量是_； （2）扇形统计图中表示 A程度的扇形圆心角为_，统计表中m_； （3）根据抽样调查的结果，请你估计该校 2000名学生中大约有多少名学生喜欢“每日健身操”活动（包含非常喜欢和比较喜欢） 21. 已知关于x的一元二次方程2(21)20 xmxm （1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根1x，2x，且121 231xxx x，求m的值 22. 周末期间，电影院正热映国产影片 A扬名立万 、B铁道英雄 ，国外影片银行家 ，甲、乙两人分别从三部电影中随机选择一部观看 （1）甲选择 B铁道英雄观看的概率为 ； （2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两
8、人都选择观看国产电影的概率 23. 已知：二次函数图象的顶点坐标是（-3，-5） ，且抛物线经过点 A（-1，-3） （1）求此抛物线的表达式； （2）如果点 A 关于该抛物线对称轴对称点是 B点，且抛物线与 y轴的交点是 C点，求 ABC的面积 24. 阅读下列材料： 已知实数 m，n满足（2m2n21） （2m2n21）80，试求 2m2n2的值 解：设 2m2n2t，则原方程变为（t1） （t1）80，整理得 t2180，t281， 所以 t9，因为 2m2n20，所以 2m2n29 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元） ，则能使复杂的问题简单
9、化 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程 （1）已知实数 x、y，满足（2x22y23） （2x22y23）27，求 x2y2的值； （2）已知 RtACB的三边为 a、b、c（c 为斜边） ，其中 a、b满足（a2b2） （a2b24）5，求 RtACB外接圆的半径 25. 如图，四边形 ABCD内接于O，BD是O的直径，过点 A 作 AECD，交 CD 的延长线于点 E，DA平分BDE （1）求证：AE是O切线； （2）已知 AE8cm，CD12cm，求O的半径 26. 第十四届全运会将于 2021年 9 月 15日至 9月 27日在陕西举行，铁一中分校学生为了迎接这一盛事，
10、亲自设计并生产一种“铁一迎全运”的纪念徽章，并将这种纪念徽章在网上进行销售平均每天可售出 30枚，每枚盈利 50元为了扩大销售，增加盈利，现采取了降价措施，在每枚盈利不少于 32 元的前提下，销售一段时间后，发现销售单价每降低 1元，平均每天可多售出 2枚，若每枚商品降价 a（a 为正数）元 （1）用含 a的代数式表示平均每天销售的数量，并写出 a 的取值范围； （2）若该网店每天销售利润为 2100 元时，求 a的值； 27. 在平面直角坐标系 xOy 中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线 yax2+bx（a0）上 （1）若 m3，n15，求该抛物线的表达式； 在的条件下，若8y ，则x的
11、取值范围是 ； （2）已知点（1，y1） ， （2，y2） ，在该抛物线上若 mn0，比较 y1，y2的大小，并说明理由 28. 在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单： 已知线段 BC4，使用作图工具作BAC30 ，尝试操作后思考： （1）这样的点 A唯一吗？ （2）点 A 的位置有什么特征？你有什么感悟？ 学习小组通过操作、观察、讨论后得到：点 A的位置不唯一，它在以 BC为弦的圆弧上（点 B、C除外）小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图 1） （1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决 该弧所在圆的半径长为 ； VABC 面积的最大值为 ； （2）经过比对发现，小明同学所画角的顶
12、点不在小华所画的圆弧上，而在如图 1所示的弓形内部，我们记为A，请你利用图 1 证明BAC30 ； （3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图 2，已知矩形 ABCD的边长为 AB23，BC4，点 P 在直线 CD的左侧，且DPC60 线段 PB长最小值为 ； 若PCDSV32PADSV，则线段 PD长为 扬州市江都区扬州市江都区 2021-2022 学年九年级上学年九年级上 12 月月考数学试题月月考数学试题 一、选择题（本大题共有一、选择题（本大题共有 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. 2yx B. 2
13、2yx C. 22yx D. 22yx 【答案】B 【解析】 【分析】若函数解析式是关于自变量的二次多项式，则称为二次函数，其一般形式为2yaxbxc，其中0a，且 a、b、c 是常数；根据二次函数的定义即可判断 【详解】根据二次函数的定义知，22yx是二次函数，2yx是反比例函数，22yx是一次函数，而22yx不是以上三种函数中的任一种 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是关键 2. 已知一组数据 5，5，6，3，7，则这组数据的中位数是（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数的定义：将数据从小到大排列后，处在中间的
14、数或者中间两数的平均数即为中位数，据此判断即可 【详解】解：将数据重新排列为 3，5，5，6，7， 则中位数为：5， 故选：B 【点睛】本题主要考查中位数的定义，解题的关键是熟知中位数定义：从小到大(或从大到小)的顺序依次排列，处在中间位置的一个数(或最中间两个数据的平均数)即为中位数 3. 从一副完整的扑克牌中任意抽取 1 张，下列事件与抽到“A”的概率相同的是（ ） A. 抽到“大王” B. 抽到“红桃” C. 抽到“小王” D. 抽到“K” 【答案】D 【解析】 【分析】抽到“A”的概率为425427，只要计算四个选项中的概率，即可得到答案 【详解】抽到“A”的概率为425427，而抽到
15、“大王”与抽到“小王”的概率均为154，抽到“红桃”的概率为1354，抽到“K”的概率为425427，即抽到“K”的概率与抽到“A”的概率相等 故选：D 【点睛】本题考查了简单事件的概率，根据概率计算公式，要知道所有可能结果数，及事件发生的结果数，即可求得事件的概率 4. 已知圆锥的底面圆半径为 3cm，母线长为 5cm，则这个圆锥的侧面积是（ ） A. 15 cm2 B. 15 cm2 C. 30 cm2 D. 30 cm2 【答案】A 【解析】 【分析】圆锥的侧面积底面半径母线长，把相应数值代入即可求解 【详解】解：圆锥的侧面积3 515 cm2， 故选：A 【点睛】 本题考查圆锥侧面积公
16、式的运用， 解题的关键是掌握公式： 圆锥的侧面积底面半径母线长 5. 如图，线段 AB是O的直径，弦 CD丄 AB，CAB20 ，则BOD等于（ ） A. 20 B. 40 C. 80 D. 70 【答案】B 【解析】 【分析】由线段 AB 是O的直径，弦 CD丄 AB，根据垂径定理的即可求得：BCBD，然后由圆周角定理，即可求得答案 【详解】解：线段 AB是O 的直径，弦 CD丄 AB， BCBD， BOD2CAB2 20 40 故选 B 【点睛】本题主要考查的是圆周角定理，解决本题的关键是要熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 6. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分
17、别为(1,4)，(5,4)，(1,0)，则以A、B、C为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是（ ） A. (3,2) B. (2,3) C. (1,3) D. (3,1) 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心 【详解】如图，作弦AB、AC的垂直平分线， 点A、B、C的坐标分别为(1,4)，(5,4)，(1,0)， 所以弦5 14AB ，弦404AC ， 弦AB的垂直平分线与x轴相交于点(3 0)，弦AC的垂直平分线与y轴相交于点(0 )2， 两条垂直平分线的交点1O即为三角形外接圆的圆心，且1O点的坐标是(3,2) 故选：A 【
18、点睛】本题考查了垂径定理，三角形的外接圆与圆心，熟知垂径定理是解题的关键 7. 关于x的一元二次方程2(1)210kxx 有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. 0k B. 0k C. 0k 且1k D. 0k 且1k 【答案】D 【解析】 【详解】分析：根据一元二次方程200 axbxca根的判别式240,bac 进行计算即可. 详解：根据一元二次方程一元二次方程21210kxx 有两个实数根，244410,back 解得：0k ， 根据二次项系数10,k 可得：1.k 故选 D. 点睛：考查一元二次方程200 axbxca根的判别式24bac ， 当240bac 时，方程有两个不相等的
19、实数根. 当240bac 时，方程有两个相等的实数根. 当240bac时，方程没有实数根. 8. 已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列结论：a、b 同号；当 x-2 和 x6 时，函数值相等；4a+b0；当1x5 时，y0其中正确的有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向及对称轴可确定 a与 b 的符号，从而可对作出判断；根据抛物线关于对称轴对称的特性，可对作出判断；由抛物线的对称轴可对作出判断；由抛物线的对称性及函数图象可对作出判断 【详解】抛物线的开口向上，则 a0，又抛物线的对称轴在 y轴
20、的右边，则02ba，从而可得 b2S乙， 乙的产量比甲的产量稳定， 故答案为：乙 【点睛】本题考查了方差和平均数，掌握方差和平均数的意义是解题关键 11. 若方程2240 xx的两根为1x、2x，则1212xxxx的值为_ 【答案】2 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可知12122,4bcxxxxaa ，然后代入求解即可 【详解】解：方程2240 xx的两根为1x、2x， 12122,4bcxxxxaa ， 1212422xxxx； 故答案为 2 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键 12. 关于 x 的方程 ax2+b
21、x+20的两根为 x1-2，x23则方程 a（x2）2+b（x2）+20 的两根分别为_ 【答案】10 x ，25x 【解析】 【分析】把后一方程中的 x2当作前一方程的 x，则:22x及23x，从而可求得方程的根 【详解】关于 x的方程 ax2+bx+20的两根为 x1-2，x23 关于 x的方程 a（x2）2+b（x2）+20 的两根为22x及23x 即10 x ，25x 故答案为：10 x ，25x 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，用到整体思想；也可用换元法解：设 X=x2，则方程 a（x2）2+b（x2）+20 变为 aX2+bX+20，由已知12X ，23X ，即22x及23x
22、13. ABC 中，ABAC5，BC6，则ABC的内切圆的半径长为_ 【答案】32 【解析】 【分析】 过点 A 作 ADBC于 D， E、 F分别为切点， 根据 O 是ABC 内切圆的圆心， ABC 是等腰三角形，AB=AC， 可知 O在 AD 上， 则132BDCDBC， OD=OE=OF， 由勾股定理求得224ADABBD，再由1111=2222ABCABOACOBCOSSSSBC ODAC OFAB OEAD BC，即可得到答案 【详解】解：如图所示，过点 A作 ADBC于 D，E、F 分别为切点， O 是ABC内切圆的圆心，ABC 是等腰三角形，AB=AC， OAD上， 132BDC
23、DBC，OD=OE=OF， 224ADABBD， 1111=2222ABCABOACOBCOSSSSBC ODAC OFAB OEAD BC， 1122ODABACBC， 32OD ， ABC的内切圆的半径长为32， 故答案为：32 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形内切圆的性质，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握三角形内切圆圆心到三角形三边的距离相等 14. 如图，Oe是ABCV的外接圆， 连接AO并延长交Oe于点D， 若50C， 则BAD的度数为_ 【答案】40 【解析】 【分析】连接 BD，则CD，再根据 AD 为直径，求得BAD的度数 【详解】如图，连接 BD
24、，则50DC Q AD 为直径 90ABD 90905040BADD 故答案为40 【点睛】此题主要考查了圆周角定理，圆周角定理是中考中考查重点，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键 15. 如图，四边形 ABCD的各边都与圆相切，它的周长为 20，若 AD=4，则 BC 的长为_ 【答案】6 【解析】 【详解】解：如图：设四边形 ABCD的各边与圆的切点分别为,E F G H, 根据切线长定理可得：,AHAE DHDG CGCF BEBF， 4ADAHDH， 4AEDG， 四边形 ABCD的周长为 20， 2012BEBFCFCGADAEDG, 11262BCBFFC， 故答案为：6. 【点睛
25、】本题考查了切线长定理，熟知定理是解本题的关键 16. 如图，将ABC绕点 C顺时针旋转 120 得到ABC，已知 AC3，BC2，则线段 AB扫过 的图形（阴影部分）的面积为_ 【答案】53#53 【解析】 【分析】根据图形旋转性质，将阴影部分转化为扇环求解即可 【详解】解：从图中可以看出，线段 AB 扫过的图形面积为一个环形，环形中的大圆半径是 AC，小圆半径是 BC，圆心角是120， 阴影面积=大扇形面积-小扇形面积=120 (94)360= 53 故答案为：53 【点睛】本题考查了旋转的性质的运用，扇形的面积公式的运用，解答时根据旋转的性质求解是关键 17. 如图，抛物线 y（x+n）
26、2+5交 x 轴于点 A，B，将该抛物线向右平移 4个单位后，与原抛物线交于点C，则点 C的纵坐标为 _ 【答案】1 【解析】 【分析】先求出平移后的函数解析式，然后联立方程组求解即可得 【详解】解：平移后的抛物线解析式为：245yxn ， 解方程组 22545yxnyxn ， 得：21xny ， C 点得纵坐标为 1， 故答案为：1 【点睛】 题目主要考查求两个二次函数的交点问题，包括通过函数图象的平移确定函数解析式，解方程组，理解题意，通过平移确定函数解析式是解题关键 18. 如图所示， 在 RtACB中，90C，30A ，12AB ， 点 O为 BC上的点，Oe的半径1OC ，点 D 是
27、 AB 边上的动点，过点 D作Oe的一条切线 DE（点 E为切点） ，则线段 DE 的最小值为_ 【答案】712#1712 【解析】 【分析】连接 DO、OE，则 OEDE，由勾股定理知，当 OD最小时 DE最小，当 ODAB时，OD最小，根据直角三角形的性质及勾股定理即可求得 OD的长，从而可求得最小值 【详解】连接 DO、OE，如图 DE是O的切线 OEDE 由勾股定理知，22DEODOE OE=1 当 OD最小时 DE 最小 而当 ODAB 时，OD 最小 90C，30A ，12AB 162BCAB，B=60 OB=BCOC=6-1=5 ODAB BOD=30 1522BDOB 由勾股定
28、理得：22255 3 2542ODOBBD 所以227571142DEODOE 即线段 DE的最小值为712 故答案为：712 【点睛】本题考查了切线的性质，30 度角的直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，关键是转化，由切线最短转化为圆心到 AB 的距离最短 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 10 小题，共小题，共 96分）分） 19. 解下列方程： （1）2236x（） （2）23230 xx（） （） 【答案】 （1）18x ，24x ； （2）13x ，21x 【解析】 【分析】 （1）用直接开平方法解即可； （2）用因式分解法解即可 【详解】 （1）26x 即26
29、x或26x 18x ，24x （2）3320 xx 即30 x 或3 20 x 13x ，21x 【点睛】本题考查了解一元二次方程，关键是根据方程的特点选取适当的方法，使解方程更简便 20. 为推进扬州市“青少年茁壮成长工程”，某校开展“每日健身操”活动，为了解学生对“每日健身操”活动的喜欢程度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查信息结果绘制成如下尚不完整的统计图表： 抽样调查各类喜欢程度人数分布扇形统计图 A非常喜欢 B比较喜欢 C无所谓 D不喜欢 抽样调查各类喜欢程度人数统计表 喜欢程度 人数 A非常喜欢 50 人 B比较喜欢 m人 C无所谓 n 人 D不喜欢 16 人 根据以上信息，回答
30、下列问题： （1）本次调查的样本容量是_； （2）扇形统计图中表示 A程度的扇形圆心角为_，统计表中m_； （3）根据抽样调查的结果，请你估计该校 2000名学生中大约有多少名学生喜欢“每日健身操”活动（包含非常喜欢和比较喜欢） 【答案】 （1）200； （2）90，94； （3）1440 名 【解析】 【分析】 （1）用 D 程度人数除以对应百分比即可； （2）用 A程度的人数与样本人数的比值乘以 360 即可得到对应圆心角，算出 B 等级对应百分比，乘以样本容量可得 m值； （3）用样本中 A、B程度的人数之和所占样本的比例，乘以全校总人数即可 【详解】解： （1）16 8%=200， 则
31、样本容量是 200； （2）50200 360 =90 ， 则表示 A 程度的扇形圆心角为 90 ； 200 （1-8%-20%-50200 100%）=94， 则 m=94； （3）50942000200=1440名， 该校 2000名学生中大约有 1440名学生喜欢“每日健身操”活动 【点睛】本题考查了扇形统计图，统计表，样本估计总体等知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小 21. 已知关于x的一元二次方程2(21)20 xmxm （1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根1x，2x
32、，且121 231xxx x，求m的值 【答案】 （1）见解析； （2）8m 【解析】 【分析】 （1）求出的值即可证明； （2） ，根据根与系数的关系得到1212(21)2xxmx xm ，代入121 231xxx x，得到关于 m的方程，然后解方程即可 【详解】 （1）证明：依题意可得2(21)4(2)mm 2490m 故无论 m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根 （2）由根与系数的关系可得： 1212(21)2xxmx xm 由121 231xxx x，得(21)3(2)1mm，解得8m 【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式证明根的情况以及一元二次方程 ax2+bx+c=0（
33、a0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的两根时，x1+x2=ba，x1x2=ca 22. 周末期间，电影院正热映国产影片 A扬名立万 、B铁道英雄 ，国外影片银行家 ，甲、乙两人分别从三部电影中随机选择一部观看 （1）甲选择 B铁道英雄观看的概率为 ； （2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两人都选择观看国产电影的概率 【答案】 （1）13； （2）甲、乙两人都选择观看国产电影的概率为49 【解析】 【分析】 （1）根据概率的公式直接求解即可； （2）将 A扬名立万 、B铁道英雄 ，国外影片银行家 ，三部电影分别用字母 A、B、C表示，列表格展示所有 9
34、 种等可能的结果，找出甲、乙两人都选择观看国产电影的结果数，然后根据概率公式求解 【详解】 （1）由题意可知共有 3 种等可能的结果，甲选择 B铁道英雄有 1 种可能，所以甲选择 B铁道英雄观看的概率为13 ； （2）列表格如下： 结果 A B C A (A，A) （B，A） (C，A) B (A，B) (B，B) (C，B) C (A，C) (B，C) (C，C) 由表可知，共有 9 种等可能的结果，其中甲、乙两人都选择观看国产电影有 4 种可能，所以甲、乙两人都选择观看国产电影的概率为49 【点睛】本题考查了概率的求法，通过列表法或树状图法展示所有可能的结果，再从中选出符合事件的结果数目，
35、然后利用概率公式求事件的概率 23. 已知：二次函数图象的顶点坐标是（-3，-5） ，且抛物线经过点 A（-1，-3） （1）求此抛物线的表达式； （2）如果点 A 关于该抛物线对称轴的对称点是 B 点，且抛物线与 y 轴的交点是 C 点，求ABC 的面积 【答案】 （1）21325yx()； （2）ABC的面积为 5 【解析】 【分析】 （1）设顶点式2(3)5ya x，然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线的解析式； （2）利用抛物线的对称性得到( 5, 3)B ，再确定出C点坐标，然后根据三角形面积公式求解 【详解】解： （1）设抛物线的解析式为2(3)5ya x， 将( 1, 3)A
36、代入上式得231 35a ，解得12a ， 抛物线的解析式为21325yx()， （2）Q抛物线对称轴为：直线3x ， ( 5, 3)B， 令0 x，211(3)522yx ，则1(0,)2C， ABC的面积11| 51| 3| 522 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解 24. 阅读下列材料： 已知实数 m，n满足（2m2n21） （2m2n21）80，试求 2m2n2的值 解：设 2m2n2t，则原方程变为（t
37、1） （t1）80，整理得 t2180，t281， 所以 t9，因为 2m2n20，所以 2m2n29 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元） ，则能使复杂的问题简单化 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程 （1）已知实数 x、y，满足（2x22y23） （2x22y23）27，求 x2y2的值； （2）已知 RtACB的三边为 a、b、c（c 为斜边） ，其中 a、b满足（a2b2） （a2b24）5，求 RtACB外接圆的半径 【答案】 （1）3； （2）52 【解析】 【分析】 （1）设 2x22y2t，则原方程变为（t3） （t3
38、）27，解出一元二次方程即可； （2）设 a2b2t，则原方程变为 t（t4）5，整理得 t24t50， ，可求 a2b25，再由直角三角形的性质可得 c5，即可求解 【详解】解： （1）设 2x22y2t，则原方程可变为（t3） （t3）27， 解得：t6， 2x22y20，2x22y26， x2y23； （2） （a2b2） （a2b24）5， 设 a2b2t，则原方程可变为 t（t4）5， 即 t24t50， 解得 t15，t21， a2b20， a2b25， c25， c5， 外接圆的半径为52 【点睛】本题考查因式分解的应用，一元二次方程的解法，直角三角形的性质；能够将换元法灵活应用
39、，结合直角三角形外接圆的特点解题是关键 25. 如图，四边形 ABCD内接于O，BD是O的直径，过点 A 作 AECD，交 CD 的延长线于点 E，DA平分BDE （1）求证：AE是O的切线； （2）已知 AE8cm，CD12cm，求O的半径 【答案】 （1）见解析； （2）10cm 【解析】 【分析】 （1）根据等边对等角得出ODAOAD，进而得出OADEDA，证得 ECOA，从而证得AEOA，即可证得 AE是O 的切线； （2）过点 O作 OFCD，垂足为点 F从而证得四边形 AOFE 是矩形，得出 OFAE8cm，根据垂径定理得出 DF12CD6cm，在 RtODF中，根据勾股定理即可求
40、得O的半径 【详解】 （1）证明：连结 OA OAOD， ODAOAD DA平分BDE， ODAEDA OADEDA， ECOA AECD， OAAE 点 A在O上， AE 是O的切线 （2）解：过点 O作 OFCD，垂足为点 F OAEAEDOFD90 ， 四边形 AOFE 是矩形 OFAE8cm 又OFCD， DF12CD6cm 在 RtODF中，OD22OFDF10cm， 即O的半径为 10cm 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，垂径定理，平行线的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键 26. 第十四届全运会将于 2021年 9 月 15日至 9月
41、27日在陕西举行，铁一中分校学生为了迎接这一盛事，亲自设计并生产一种“铁一迎全运”纪念徽章，并将这种纪念徽章在网上进行销售平均每天可售出 30枚，每枚盈利 50元为了扩大销售，增加盈利，现采取了降价措施，在每枚盈利不少于 32 元的前提下，销售一段时间后，发现销售单价每降低 1元，平均每天可多售出 2枚，若每枚商品降价 a（a 为正数）元 （1）用含 a的代数式表示平均每天销售的数量，并写出 a 的取值范围； （2）若该网店每天销售利润为 2100 元时，求 a的值； 【答案】 （1）平均每天销售数量为（302a） （件） ，0a18； （2）15 【解析】 【分析】 （1）根据销售单价每降低
42、 1 元，平均每天可多售出 2 件，可得若降价 a 元，则平均每天可多售出2a 件，即平均每天销售数量为（2a30）件，并根据每件盈利不少于 32元，求出 a 的取值范围； （2）利用商品平均每天售出的件数每件盈利每天销售这种商品利润列出方程解答即可 【详解】 （1）根据销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件， 可得若降价 a元，则平均每天可多售出 2a 件， 即平均每天销售数量为（302a） （件） ， 50a32， 解得：a18 0a18； （2）由题意得： （50a） （302a）2100， 整理得：a235a3000， （a20） （a15）0 a120，a215 0a18，
43、 a20，舍去， a15 【点睛】本题考查了一元二次方程在商品利润问题中的应用，明确商品平均每天售出的件数乘以每件盈利等于每天销售这种商品利润是解决本题的关键 27. 在平面直角坐标系 xOy 中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线 yax2+bx（a0）上 （1）若 m3，n15，求该抛物线的表达式； 在的条件下，若8y ，则x的取值范围是 ； （2）已知点（1，y1） ， （2，y2） ，在该抛物线上若 mn0，比较 y1，y2的大小，并说明理由 【答案】 （1）yx2+2x；42x ； （2）y1y2理由见解析 【解析】 【分析】 （1）把所给两点的坐标分别代入 yax2+bx 中，得到
44、关于 a、b 的二元一次方程组，解方程组即可； 求出当 y=8 时的自变量的值，确定抛物线的对称轴及最小值，分抛物线对称轴的右侧与左侧两种情况考虑 y8时的自变量的取值范围，最后综合即可； （2）由点（1，m）和点（3，n）在抛物线 yax2+bx 上，及 mn0 可得出 a+b0，然后点（1，y1） ， （2，y2）的坐标代入抛物线解析式中，计算 y1y2并判断其符号即可确定大小 【详解】 （1）m3，n15， 点（1，3） ， （3，15）在抛物线上， 将（1，3） ， （3，15）代入 yax2+bx 得： 31593abab， 解得12ab， yx2+2x； 当 yx2+2x=8时，得
45、14x ，22x ， 222(1)1yxxx， 抛物线的对称轴为直线1x，最小值为1， 当1x时，若 y8，则可得12x ； 当1x时，若 y8，则41x 综上所述，若 y8，则 x的取值范围为：42x （2）点（1，m）和点（3，n）在抛物线 yax2+bx（a0）上， a+bm，9a+3bn， mn0， （a+b） （9a+3b）0， a+b与 3a+b异号， a0， 若 a+b0，则 3a+b=2a+(a+b)0， 这与 a+b 与 3a+b异号矛盾， a+b0，3a+b0， （1，y1） ， （2，y2）在该抛物线上， y1ab，y24a+2b， y1y2（ab）（4a+2b）3（a+
46、b）0， y1y2 【点睛】本题考查了求二次函数解析式、比较函数值大小、确定自变量的取值范围，关键是掌握二次函数的图象与性质，难点是第（2）小题中确定 a+b与 3a+b 的符号；另外要比较两个数的大小常用作差比较法，根据差的符号判断两个数的大小 28. 在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单： 已知线段 BC4，使用作图工具作BAC30 ，尝试操作后思考： （1）这样的点 A唯一吗？ （2）点 A 的位置有什么特征？你有什么感悟？ 学习小组通过操作、观察、讨论后得到：点 A的位置不唯一，它在以 BC为弦的圆弧上（点 B、C除外）小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图 1） （1）小华同
47、学提出了下列问题，请你帮助解决 该弧所在圆的半径长为 ； VABC 面积的最大值为 ； （2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图 1 所示的弓形内部，我们记为A，请你利用图 1 证明BAC30 ； （3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图 2，已知矩形 ABCD的边长为 AB23，BC4，点 P 在直线 CD的左侧，且DPC60 线段 PB长的最小值为 ； 若PCDSV32PADSV，则线段 PD长为 【答案】 （1）4；84 3； （2）见解析； （3）2 32；6+ 2 【解析】 【分析】 （1）设 O为圆心，连接 BO，CO，根据圆周角定理
48、得到BOC60，证明OBC 是等边三角形，可得半径； 过点 O作 BC的垂线，垂足为 E，延长 EO，交圆于 D，以 BC为底，则当 A与 D 重合时，ABC 的面积最大，求出 OE，根据三角形面积公式计算即可； （2）延长 BA，交圆于点 D，连接 CD，利用三角形外角的性质和圆周角定理证明即可； （3）根据，连接 PD，设点 Q为 PD中点，以点 Q 为圆心，PD 为半径画圆，可得点 P 在优弧 CPD 上，连接 BQ，与圆 Q交于 P，可得 BP即为 BP的最小值，再计算出 BQ 和圆 Q 的半径，相减即可得到 BP； 根据 AD，CD和 SPCD32SPAD推出32CDAD，可得点 P
49、 在ADC平分线上，从而找到点 P 的位置，过点 C作 CFPD，垂足为 F，解直角三角形即可求出 DP 【详解】 （1）解：设 O为圆心，连接 BO，CO， BCA30， BOC60，又 OBOC， OBC是等边三角形， OBOCBC4，即半径为 4， 故答案为：4； ABC以 BC为底边，BC4， 当点 A 到 BC 的距离最大时，ABC的面积最大， 如图，过点 O 作 BC的垂线，垂足为 E，延长 EO，交圆于 D，以 BC为底，则当 A与 D 重合时，ABC的面积最大， BECE2，DOBO4， OE22BOBE23， DEDO+OE4+23， ABC的最大面积为124（4+2384
50、3）， 故答案为：8+43； （2）证明：如图，延长 BA，交圆于点 D，连接 CD， 点 D在圆上， BDCBAC30， BACBDC+ACD， BACBDC， BACBAC，即BAC30； （3）解：如图，当点 P在 BC上，且 PC2时， PCD90，ABCD23，ADBC4， PD22PCCD4，DPC60，为定值， 连接 PD，设点 Q为 PD中点，以点 Q为圆心，12PD为半径画圆， 当点 P 在优弧 CPD 上时，DPC60，连接 BQ，与圆 Q 交于 P， 此时 BP即为 BP 的最小值，过点 Q 作 QEBE，垂足为 E， 点 Q是 PD中点， 点 E为 PC中点，即 QE1