1、6.7相似三角形动点问题 专项练习一、单选题1如图，在ABC中，ABAC8，BC6，点P从点B出发以1个单位/s的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位/s的速度向点B运动当以B，P，Q为顶点的三角形与ABC相似时，运动时间为（）AsBsCs或sD以上均不对2如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，动点P在直线AB上方，且满足SPABS：矩形ABCD=1：3，则使PAB为直角三角形的点P有()个 A1B2C3D43如图，在中，.是边上一动点，于点，点在的右侧，且，连结.从点出发，沿方向运动，当到达点时，停止运动.在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（ ）.A一直减小B一
2、直不变C先减小后增大D先增大后减小4如图所示，点P是边长为2的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PEBC于点E，PFDC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：MFMC；APEF；AHEF；AP2PMPH；EF的最小值是其中正确结论有（ ）A2个B3个C4个D5个5如图，在ABC中，C=90°，点P是斜边AB的中点，点M从点C向点A匀速运动，点N从点B向点C匀速运动，已知两点同时出发，同时到达终点，连接PM、PN、MN，在整个运动过程中，PMN的面积的变化情况是（）A一直增大
3、B先增大后减小 C一直减小D先减小后增大6如图，在平行四边形中，是其对角线，且，点E是的中点，点F，P分别是线段，上的动点，若，且是等腰三角形，则的长为（ ）A或B或C或D或7如图，AD/BC，D90°，AD2，BC5，DC11，若在边DC上有点P，使PAD与PBC相似，则这样的点P有（ ）A1个B2个C3个D4个8在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，E为BC中点，H，G分别是边AB，CD上的动点，且始终保持GHAE，则EH+AG最小值为（ ）ABCD9如图，在四边形中，,点沿着的路径以的速度匀速运动，到达点停止运动，始终与直线保持垂直，与或交于点,记线段的长度为与时间的关系图如图
4、所示，则图中的值为（ ）ABCD10如图，AB4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，2BEDB，作EFDE并截取EFDE，连接AF并延长交射线BM于点C设BEx，BCy，则y关于x的函数解析式是（）AyByCyDy二、填空题11如图，平面直角坐标系中，已知点A（8，0）和点B（0，6），点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截AOB，所得的三角形与AOB相似，那么点P的坐标是_12如图，在ABC中，AB5，D为边AB上动点，以CD为一边作正方形CDEF，当点D从点B运动到点A时，点E运动的路径长为_13如图，在中，点F在边AC上，点E为边BC上的动点，将
5、沿直线EF翻折，点C落在点P处若，则点P到AB距离的最小值为_14如图，正方形ABCD中，BC=2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点F为DM中点，点E为DC上的动点当DFE=45°时，则DE= _ 15如图所示，已知等边ABC，边长为3，点M为AB边上一点，且，点N为边AC上不与A、C重合的一个动点，连结MN，以MN为对称轴，折叠AMN，点A的对应点为点P，当点P落在等边ABC的边上时，AN的长为_16如图，在ABC中，ACB90°，BC16cm，AC12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点A移动
6、，设运动时间为t秒，当t_秒时，CPQ与ABC相似17已知：直角梯形OABC中，CBOA，对角线OB和AC交于点D，OC=2，CB=2，OA=4，点P为对角线CA上的一点，过点P作QHOA于H，交CB的延长线于点Q，连接BP，如果BPQ和PHA相似，则点P的坐标为_.18如图，是边长为等边三角形，动点P、Q同时从A、B出发，分别沿、方向匀速运动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点Q到达点C时，P、Q两点停止运动，在运动过程中作交于点R，连接，设运动的时间为，当t=_s时19如图，点P在平行四边形ABCD的边BC上，将ABP沿直线AP翻折，点B恰好落在边AD的垂直平分线上，如果AB5，
7、AD8，tanB43，那么BP的长为_20如图，在ABC中，AB=AC=10，点D是BC边上的一动点（不与B、C重合），ADE=B=，DE交AB于点E，且tan= ，有以下的结论：DBEACD；ADEACD；BDE为直角三角形时，BD为8或 ；0BE5，其中正确的结论是_（填入正确结论的序号）21如图，在矩形ABCD中，AB8，BC6，连接BD，点M，N分别是边BC，DC上的动点，连接MN，将CMN沿MN折叠，使点C的对应点P始终落在BD上，当PBM为直角三角形时，线段MC的长为_22如图，正方形ABCD的对角线上的两个动点M、N，满足，点P是BC的中点，连接AN、PM，若，则当的值最小时，线
8、段AN的长度为_23边长为8的正方形ABCD中，点P在BC边上，CP=2，点Q为线段AP上一动点，射线BQ与正方形ABCD的一边交于点R，且AP=BR，那么_三、解答题24如图1，在矩形中，是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上点处，延长交的延长线于点（1）求线段的长；（2）如图2，分别是线段，上的动点（与端点不重合），且，设，写出关于的函数解析式，并求出的最小值；是否存在这样的点，使是等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由25如图，在RtABC中，C=90°，AC=20cm，BC=15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿CB
9、向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动设运动时间为t秒求：（1）当t=3秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？（2）若CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式（3）当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似？26已知：如图，在RtACB中，C=90°，BC=3cm，AC=3cm，点P由B点出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s；点Q由A点出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为cm/s；若设运动的时间为t(s)(0t3)，解答下列问题：(1)如图，连接PC，当t为何值时APCACB
10、，并说明理由；(2)如图，当点P，Q运动时，是否存在某一时刻t，使得点P在线段QC的垂直平分线上，请说明理由；(3)如图，当点P，Q运动时，线段BC上是否存在一点G，使得四边形PQGB为菱形？若存在，试求出BG长；若不存在请说明理由27如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，A=C=90°，BDBE，AD=BC(1)求证：AC=AD+CE；(2)若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQDP，交直线BE于点Q；(i)当点P与A，B两点不重合时，求的值；(ii)当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径(线段)长(直接写出结果，不必写出解答过程
11、)参考答案1C【分析】首先设ts时ABC与以B、P、Q为顶点的三角形相似，则BP=t，CQ=2t，BQ=BC-CQ=6-2t，然后分两种情况当BACBPQ和当BCABPQ讨论 解：设运动时间为ts，则BPt，CQ2t，BQBCCQ62t，当BACBPQ，即，解得t；当BCABPQ，即，解得t，综上所述，当以B，P，Q为顶点的三角形与ABC相似时，运动时间为s或s，故选：C【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，注意数形结合思想与分类讨论思想的运用2D【分析】分当点P在AD上时，则；当点P在BC上时，则当点P在矩形ABCD内部时，则三种情况进行讨论.解：四边形ABCD为矩形. 矩形ABCD S
12、PAB：S矩形ABCD=1：3， 当点P在AD上时，则 即 故点P在AD上且时，PAB为直角三角形.当点P在BC上时，则 即， 故点P在BC上且时，PAB为直角三角形.当点P在矩形ABCD内部时，则 作于点E，如图所示. 即 由可知： 设，则. 解得： 或 在矩形ABCD内部时，符合条件的点P有2个.综上所述，符合条件的点P共有4个.故选D.【点拨】考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式，解一元二次方程等，注意分类讨论思想在解题中的应用.3C【解析】【分析】设PD=x，AB边上的高为h，想办法求出AD、h，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可解：在中， 设，边上的高为
13、，则，则，当点到达点时，即，解得，.故当时，的值随的增大而减小；当时，的值随的增大而增大.故选C.【点拨】本题考查动点问题的函数图象、三角形面积，平行线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是构建二次函数，学会利用二次函数的增减性解决问题，属于中考常考题型4C【分析】由点P为BD中点时，MC=0MF，可得错误；连接PC，交EF于O，由点P在BD上，可得AP=PC，根据PFCD，PEBC，BCF=90°可得四边形PECF是矩形，可得EF=PC，即判断正确；利用SSS可证明APDCPD，可得DAP=DCP，由矩形的性质可得OCF=OFC，即可证明DAP=OFC，可得DAP+AMD=OFC+A
14、MD=90°，即可判断正确；根据平行线的性质可得DAP=H，可得DCP=H，由HPC是公共角可证明CPMHPC，根据相似三角形的性质可得，根据PC=AP即可判断正确，当PCBD时PC的值最小，根据等腰直角三角形的性质可求出PC的最小值为，根据EF=PC即可判断正确；综上即可得答案.解：当点P为BD中点时，点M与点C重合，MC=0MF，故错误，连接PC，交EF于O，点P在BD上，BD为正方形ABCD的对角线，AP=PC，PFCD，PEBC，BCF=90°，四边形PECF是矩形，EF=PC，AP=EF，故正确，AD=CD，AP=PC，PD=PD，APDCPD，DAP=DCP，四
15、边形PECF是矩形，OCF=OFC，DAP=OFC，DAP+AMD=OFC+AMD=90°，FGM=90°，即AHEF，故正确，AD/BH，DAP=H，DAP=DCP，MCP=H，CPH为公共角，CPMHPC，AP=PC，AP2= PMPH，故正确，当PCBD时，PC有最小值，PC=BD=，PC=EFEF的最小值为，故正确，综上所述：正确的结论有，共4个，故选C.【点拨】本题考查正方形的性质、矩形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理及正方形的性质是解题关键.5D【解析】如图所示，连接CP，点P是AB的中点，所以，开始运动时，；运动结束时，；当点
16、M到达AC的中点时，点N到达BC的中点，所以整个运动过程中,PMN的面积大小变化情况是先减小后增大，故选D.点睛：本题主要考查了三角形的动点问题，解答本题的关键是要通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力6D【分析】分两种情况讨论，（1）当时，过点P作于点G，根据已知条件得出，继而得出，再利用相似三角形的性质即可得解；（2）当时，.解：分两种情况讨论：（1）如图，当时，过点P作于点G，则.四边形是平行四边形，是直角三角形.又，是直角三角形，且.；（2）如图，当时，.综上所述，的长为或.故选：D. 【点拨】本题考查的知识点是利用相似三角形的性质求解，属于
17、较难题.失分的原因是：由于等腰的腰不确定，则需要根据题意分类讨论.并且注意条件“”和“与相似”之间的区别，前者顶点必须对应，后者不需要顶点对应，则需要考虑更多的情况.7C【分析】根据已知分两种情况PADPBC或PADCBP来进行分析，求得PD的长，从而确定P存在的个数解：如图，ADBC，D=90°C=D=90°DC=11，AD=2，BC=5设PD=x，则PC=11-x；若PD：PC=AD：BC，则PADPBC解得：,即.若PD：BC=AD：PC，则PADCBP，解得：x=1或x=10，即PD=1或PD=10这样的点P存在的个数有3个故选：C【点拨】此题考查了相似三角形的判定
18、：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似8B【分析】过作于，依据，即可得到的长；以，为邻边作平行四边形，可得，当，在同一直线上时，的最小值等于的长，再根据勾股定理求得的长，即可得到的最小值解：如图所示，过作于，则，中，如图所示，以，为邻边作平行四边形，则，当，在同一直线上时，的最小值等于的长，此时，中，的最小值为，故选：【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，
19、在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形9B【分析】由图象可知，点E从点A运动到点B用了4s，可得AB8cm，此时BMEF6cm，根据勾股定理可得AM10cm；当t6时，EF6，可得DN6cm，根据相似三角形的性质可得CN3.6cm，进而得出a的值解：如图所示，作BMAB，交AD于点E，作DNBM，交BC于点N，由题意可知，AB4×28（cm），BM6cm，DN6cm，AM10（cm），BCAD，ADC90
20、6;，C90°，又DNBM，CNDADNAMB，CDNBAM，CN6×3.6（cm），a63.6÷27.8故选：B【点拨】本题考查了动点问题的函数图象，理清题意，利用数形结合的方法得出相关线段的长是解答本题的关键10A【分析】作点F作FGBC于G，依据已知条件求得DBEEGF，得出FGBEx，EGDB2x，然后证得FGCABC，再根据相似三角形的性质即可求解解：作点F作FGBC于G，DEB+FEG90°，DEB+BDE90°；BDEFEG，在DBE与EGF中，DBEEGF（AAS），EGDB，FGBEx，EGDB2BE2x，GCy3x，FGBC
21、，ABBC，FGAB，FGCABC，CG：BCFG：AB，即，y故选A【点拨】本题考查了三角形全等的判定和性质及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键11（0，3）、（4，0）、（，0）【分析】分类讨论：当PCOA时，BPCBOA，易得P点坐标为（0，3）；当PCOB时，ACPABO，易得P点坐标为（4，0）；当PCAB时，如图，由于CAP=OAB，则RtAPCRtABC，计算出AB、AC，则可利用比例式计算出AP，于是可得到OP的长，从而得到P点坐标解：当PCOA时，BPCBOA，由点C是AB的中点，可得P为OB的中点，此时P点坐标为（0，3）；当PCOB时，ACPABO，由
22、点C是AB的中点，可得P为OA的中点，此时P点坐标为（4，0）；当PCAB时，如图，CAPOAB，RtAPCRtABO，点A（8，0）和点B（0，6），AB10，点C是AB的中点，AC5，AP ，OPOAAP8，此时P点坐标为（，0），综上所述，满足条件的P点坐标为（0，3）、（4，0）、（，0）故答案为（0，3）、（4，0）、（，0）【点拨】本题考查了相似三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，掌握相似三角形的性质是解题的关键.125【分析】如图，构造等腰RtCBG，CBG=90°，则由CGECBD，得GE=BD，即可求得点E运动的路径长解：如图：作GBBC于B，取GB=BC，当
23、点D与点B重合时，则点E与点G重合，CBG=90°，CG=BC，GCB=45，四边形CDEF是正方形，CE=DC，ECD=45，BCD+DCG =GCE+DCG =45，BCD =GCE，且，CGECBD，即GE=BD，BD=5，点E运动的路径长为GE=BD=5【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键13解：如解图，延长交于点，当时，点到的距离最小(点在以为圆心，为半径的圆上)，点到边距离的最小值是14【分析】如图，连接首先求出、的长，证明，可得，即求出解：四边形是正方形，点M是边AB的中点，在中，点F为DM中点，即有故答
24、案是：【点拨】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题151或【分析】分点P落在AC上时和点P落在BC上时两种情况，分别运用相似三角形的性质构建方程组解答即可解：分为两种情况：当点P落在AC边上时，如图1所示由折叠可知：APM为等边三角形；当点P落在BC边上时，如图2所示设由折叠可知：，易证：PBMNCP（“一线三等角”模型）整理得：解之得：（舍去）综上所述， AN的长为1或【点拨】本题考查翻折的性质、相似三角形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质，准确寻找相似三角形是解答本题的关键.16或4
25、.8【解析】试题分析：当CP和CB是对应边时，CPQCBA，所以，即，解得t=4.8；当CP和CA是对应边时，CPQCAB，所以，即，解得t=综上所述，当t=4.8秒或秒时，CPQ与CBA相似点睛：本题考查了相似三角形的判定，主要利用了相似三角形对应边成比例，难点在于分情况讨论分CP和CB是对应边，CP和CA是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解17P()【分析】先根据点A、点C的坐标利用待定系数法求出直线AC的解析式，当BQPAHP时和BQPPHA时，利用相似三角形的性质就可以求出点P的坐标解：OC=2，OA=4，C（0，2），A（4，0）设直线AC的解析式为y=kx+
26、b，由题意，得，解得，故直线AC的解析式为：y=x+2QHOA于H，交CB的延长线于点Q，QH在点B的右侧，如图：当BQPAHP时，则=，BQPH=AHPQ点P在直线AC上，设点P的坐标为（x，x+2）（0x4），CQ=x，OH=x，PH=x+2，CB=2，OA=4，OH=2，BQ=x2，AH=4x，PQ=x（x2）（x+2）=（4x）（x），解得x=4（舍去）当BQPPHA时，则，即BQAH=PHPQ，（x2）（4x）=（x+2）（x），解得x1=，x2=4（舍去）则y=，则P（，）P（，）故答案为P（，）【点拨】本题考查相似三角形的性质的运用、待定系数法求直线的解析式的运用及分类讨论思想的
27、运用，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键.18【分析】先证CRQ为等边三角形，并用含t的式子表示图中的相关线段，由QRBA推得QPR=APR，从而PRQ中再有一个角等于A，即等于60°，即可得APRPRQ根据相似三角形的性质列比例式求解即可解：是边长为等边三角形，为等边三角形点P运动的速度是，点Q运动的速度是，C，若要，则需满足，又，解得【点拨】本题属于动点问题与相似三角形的综合问题，用含t的代数式表示相关线段，并找到等量关系是解题的关键，本题难度较大19257或7【解析】【分析】如图1，过A作AHBC于H，连接DB，设AH4x，BH3x，根据勾股定理得到ABAH2+BH25x5，根
28、据旋转的性质得到ABAB5，AMDM12AD4，AMNHNM90°，根据勾股定理得到MBAB'2+AM23，求得HNMN4，根据相似三角形的性质即可得到结论；如图2，由知，MN4，MB3，BN7，求得NBNB，推出点P与N重合，得到BPBN7解：如图1，过A作AHBC于H，连接DB，设BB与AP交于E，AD的垂直平分线交AD于M，BC于N，tanBAHBH=43，设AH4x，BH3x，ABAH2+BH25x5，x1，AH4，BH3，将ABP沿直线AP翻折，点B恰好落在边AD的垂直平分线MN上，ABAB5，AMDM12AD4，AMNHNM90°，四边形AHNM是正方形
29、，MBAB'2+AM23，HNMN4，BN7，BN1，BBBN2+B'N2=52，BE12BB522，BEPBNB90°，PBEBBN，BPEBBN，PBBB'=BEBN，PB52=5227，BP257；如图2，由知，MN4，MB3，BN7，NBNB，点N在BB的垂直平分线上，将ABP沿直线AP翻折，点B恰好落在边AD的垂直平分线上，点P也在BB的垂直平分线上，点P与N重合，BPBN7，综上所述，BP的长为257或7故答案为：257或7【点拨】本题考查了翻折变换（折叠问题），线段垂直平分线的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键20【解析】AB=AC，B=
30、C，又ADE=BADC=180°BDE，BED=180°BDE，BED=ADCDBEACD，故正确；B=C，C=ADE，不能得到ADEACD；故错误，当AED=90°时，由可知：ADEABD，ADB=AED，AED=90°，ADB=90°，即ADBC，AB=AC，BD=CD，ADE=B=且cos=0.8，AB=10，BD=8当BDE=90°时，易BDECAD，BDE=90°，CAD=90°，B=且cos=0.8AB=10，cosC=0.8，CD=12.5，BD=BCCD=3.5；故正确过A作AGBC于G，cos=0
31、.8，BG=8，BC=16，易证得BDECAD，设BD=y，BE=x，整理得：y216y+64=6410x，即（y8）2=6410x，0x6.4故错误故答案为21或【分析】分两种情形：如图1中，当PMB90°时，四边形PMCN是正方形，设CMPMPNCNx如图2中，当BPM90°时，点N与D重合，设MCMPy分别求解即可解：如图1中，当PMB90°时，四边形PMCN是正方形，设CMPMPNCNxPMCD， ， ，x，CM如图2中，当BPM90°时，点N与D重合，设MCMPyCD8，BC6，C90°，PDCD8，PBBDPD1082，BM2PB2
32、+PM2，（6y）222+y2，y，CM，综上所述，CM的值为或故答案为：或【点拨】本题考查矩形的性质，相似三角形，翻折变换等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型22【分析】过P作PEBD交CD于E，连接AE交BD于N，过P作PMAE交BD于M，此时，AN+PM的值最小，根据三角形的中位线的性质得到PE=BD，根据平行四边形的性质得到EN=PM，根据勾股定理得到AE=，根据相似三角形的性质即可得到结论.解：过P作PEBD交CD于E，连接AE交BD于N，过P作PMAE交BD于M，此时，AN+PM的值最小P为BC的中点E为CD的中点PE=BDAB=BD，AB=MNMN=
33、BDPE=MN四边形PEMN是平行四边形EN=PMAE=ABCDABNEDNAN=故答案为.【点拨】本题考查了轴对称最短路径问题、正方形的性质以及相似三角形的判定与性质，题目综合性很强，属于较难题目.23或1【分析】分两种情形：当R在AD边上时，易得AQRPQB且相似比为1:1，从而得解；当R在CD上时，先证明BRAP，再根据等面积法计算BQ，根据线段的和差计算QR,计算比值即可得解.解：当R在AD边上时, 四边形ABCD为正方形BAR=ABP=90°，ARBP又AP=BR,AB=AB,ABPBAR，AR=BP，ARBP,AQRPQB.当R在CD上时，四边形ABCD为正方形ABC=B
34、CR=90°，AB=BC又AP=BRABPBCR，BAP=CBR，CBR+ABR=90°，BAP+ABR=90°，AQB=90°，BRAP，AB=8.BP=6，AP=BR=，ABBP=APBQ，故答案为1或.【点拨】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质.能根据题意作图，并得出需分两种情况讨论是解决此题的关键，在第种情况中，能采用等面积法求BQ能使过程更加简单.24（1）；（2）当时，有最小值，最小值；存在满足条件的的值为或【分析】由翻折可知：，设，则在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题证明，可得，由此即可解决问题有两种情
35、形：如图中，当时如图中，当时，作于分别求解即可解决问题解：（1）如图1中，四边形是矩形，由翻折可知：，设，则在中，在中，则有：，（2）如图2中，在中，在中，当时，有最小值，最小值存在有两种情形：如图3-1中，当时，如图3-2中，当时，作于，由，可得，综上所述，满足条件的的值为或【点拨】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题25（1）10cm；（2）；（3）t3或t【分析】（1）在RtCPQ中，当t=3秒，可知CP、CQ的长，运用勾
36、股定理可将PQ的长求出；（2）由点P，点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP、CQ用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式=CP×CQ求解；（3）应分两种情况：当RtCPQRtCAB时，根据，可将时间t求出；当RtCPQRtCBA时，根据，可求出时间t解：由题意得AP=4t，CQ=2t，则CP=204t，（1）当t=3秒时，CP=204t=8cm，CQ=2t=6cm，由勾股定理得PQ=；（2）由题意得AP=4t，CQ=2t，则CP=204t，因此RtCPQ的面积为S=；（3）分两种情况：当RtCPQRtCAB时，即，解得：t=3秒；当RtCPQRtCBA时，即，解得
37、：t=秒因此t=3秒或t=秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与ABC相似【点拨】本题主要考查了相似三角形性质以及勾股定理的运用，在解第三问时应分两种情况进行求解防止漏解或错解，注意方程思想与分类讨论思想的应用是解此题的关键26(1)t=，理由见解析；(2)存在，t=1，理由见解析；(3)不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）结合直角三角形性质，由APCACB，得；（2）过点P作PMAC，根据线段垂直平分线性质，求QM,AM的表达式，证APMABC，得 ，；（3）假设线段BC上是存在一点G，使得四边形PQGB为平行四边形，则PQBG，PQ=BG，由APQABC，得，得BP=2t=3，故PQB
38、P.解：(1)在RtACB中，C=90°，AC=3cm，BC=3cm，AB=6，由运动知，BP=2t，AQ= ，AP=62t，APCACB，t= ； (2)存在，理由：如图，由运动知，BP=2t，AQ=，AP=62t，CQ= ，点P是CQ的垂直平分线上，过点P作PMAC，QM=CM= AM=AQ+QM= =(3+t)ACB=90°，PMBC，APMABC 解得t=1； (3)不存在理由：由运动知，BP=2t，AP=62t，假设线段BC上是存在一点G，使得四边形PQGB为平行四边形，PQBG，PQ=BG，APQABC，BP=2t=3，PQBP，平行四边形PQGB不可能是菱形即
39、：线段BC上不存在一点G，使得四边形PQGB为菱形【点拨】此题考查了相似三角形的性质解题关键时注意相似三角形的对应边成比例与分类讨论思想的应用27(1)证明见解析；(2)(i)；(ii)线段DQ的中点所经过的路径(线段)长为.【分析】(1)根据同角的余角相等求出1=E，再利用“角角边”证明ABD和CEB全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=CE，然后根据AC=AB+BC整理即可得证；(2)(i)过点Q作QFBC于F，根据BFQ和BCE相似可得，然后求出QF=BF，再根据ADP和FPQ相似可得，然后整理得到(AP-BF)(5-AP)=0，从而求出AP=BF，最后利用相似三角形对应边成比例可得，
40、从而得解；(ii)判断出DQ的中点的路径为BDQ的中位线MN求出QF、BF的长度，利用勾股定理求出BQ的长度，再根据中位线性质求出MN的长度，即所求之路径长解：(1)如图，BDBE，1+2=180°90°=90°，C=90°，2+E=180°90°=90°，1=E，在ABD和CEB中，1=E，A=C=90°，AD=BC，ABDCEB(AAS)，AB=CE，AC=AB+BC=AD+CE；(2)(i)如图，过点Q作QFBC于F，则BFQBCE，即，QF=BF，DPPQ，ADP+FPQ=180°-90°
41、;=90°，FPQ+PQF=180°-90°=90°，ADP=FPQ，又A=PFQ=90°，ADPFPQ，即，5AP-AP2+APBF=3BF，整理得，(AP-BF)(AP-5)=0，点P与A，B两点不重合，AP5，AP=BF，由ADPFPQ得，； (ii)线段DQ的中点所经过的路径(线段)就是BDQ的中位线MN，由(2)(i)可知，QF=AP，当点P运动至AC中点时，AP=4，QF=，BF=QF×=4，在RtBFQ中，根据勾股定理得：BQ=，MN=BQ=【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，(1)求出三角形全等的条件1=E是解题的关键，(2)(i)根据两次三角形相似求出AP=BF是解题的关键，(ii)判断出路径为三角形的中