1、 7.4由三角函数求锐角 专项练习一、单选题1（2016·四川攀枝花·中考真题）如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在A上，BD是A的一条弦，则sinOBD=（ ）A34 B45 C35 D2（2015·甘肃庆阳·中考真题）在ABC中，若角A，B满足，则C的大小是（ ）A45°B60°C75°D105°3（2013·湖南邵阳·中考真题）分）在ABC中，若，则C的度数是（ ）A30°B45°C60°D90°4（2015·福建厦门
2、3;中考真题）已知sin6°a，sin36°b，则sin26（ ）Aa2B2aCb2Db5（2013·广西贵港·中考真题）如图，已知圆锥的母线长为6，圆锥的高与母线所夹的角为，且sin=，则该圆锥的侧面积是（ ）ABCD6（2011·广东茂名·中考真题）如图，已知：45°A90°，则下列各式成立的是（）AsinA=cosABsinAcosACsinAtanADsinAcosA7（2021·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直
3、径d，根据我国魏晋时期数学家刘的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计的值，下面d及的值都正确的是（ ）A，B，C，D，8（2021·黑龙江·中考真题）如图，在正方形中，对角线与相交于点，点在的延长线上，连接，点是的中点，连接交于点，连接，若，则下列结论：；点D到CF的距离为其中正确的结论是（ ）ABCD9（2021·浙江·中考真题）如图，已知在矩形中，点是边上的一个动点，连结，点关于直线的对称点为，当点运动时，点也随之运动若点从点运动到点，则线段扫过的区域的面积是（ ）ABCD10（2021·山东泰安·
4、中考真题）如图，在中，以点A为圆心，3为半径的圆与边相切于点D，与，分别交于点E和点G，点F是优弧上一点，则的度数是（ ）A50°B48°C45°D36°11（2019·浙江浙江·中考真题）如图，矩形的对角线交于点O，已知则下列结论错误的是（ ）ABCD12（2020·山东日照·中考真题）如图，AB是O的直径，CD为O的弦，ABCD于点E，若CD6，AE9，则阴影部分的面积为（）A6B129C3D9二、填空题13（2019·浙江杭州·中考真题）在直角三角形ABC中，若，则_.14（2021
5、83;海南·中考真题）如图，的顶点的坐标分别是，且，则顶点A的坐标是_15（2016·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，点B在x轴上，AOB30°，ABBO，反比例函数y (x0)的图象经过点A，若SAOB，则k的值为_16（2013·福建莆田·中考真题）在RtABC中，C=90， sinA=，则tanB的值为_17（2021·湖北荆门·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，斜边上的高为1，将绕原点顺时针旋转得到，点A的对应点C恰好在函数的图象上，若在的图象上另有一点M使得，则点M的坐
6、标为_18（2021·山东济宁·中考真题）如图，中，点O为的中点，以O为圆心，以为半径作半圆，交于点D，则图中阴影部分的面积是_19（2021·山东威海·中考真题）如图，先将矩形纸片ABCD沿EF折叠（AB边与DE在CF的异侧），AE交CF于点G；再将纸片折叠，使CG与AE在同一条直线上，折痕为GH若，纸片宽，则HE_cm20（2021·湖南娄底·中考真题）高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了提醒驾驶员在开车时减速慢行如图，用平行四边形表示一个“鱼骨”，平行于车辆前行方向，过B作的垂线，垂足为（A点的视觉错觉点
7、），若，则_21（2021·黑龙江·中考真题）如图，菱形中，延长至，使，以为一边，在的延长线上作菱形，连接，得到；再延长至，使，以为一边，在的延长线上作菱形，连接，得到按此规律，得到，记的面积为，的面积为的面积为，则_22（2021·广西玉林·中考真题）如图、在正六边形中，连接线，与交于点，与交于点为，与交于点，分别延长，于点，设有以下结论：；的重心、内心及外心均是点；四边形绕点逆时针旋转与四边形重合则所有正确结论的序号是_23（2021·四川眉山·中考真题）如图，在菱形中，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的
8、最小值是_三、解答题24（2021·辽宁大连·中考真题）如图，四边形为矩形，P、Q均从点B出发，点P以2个单位每秒的速度沿的方向运动，点Q以1个单位每秒的速度沿运动，设运动时间为t秒（1）求的长；（2）若，求S关于t的解析式25（2021·湖北襄阳·中考真题）如图，直线经过上的点，直线与交于点和点，与交于点，与交于点，（1）求证：是的切线；（2）若，求图中阴影部分面积26（2021·广西玉林·中考真题）如图，在四边形中，对角线与交于点，已知，过点作，分别交、于点，连接， （1）求证：四边形是菱形：（2）设，求的长27（2021
9、3;黑龙江绥化·中考真题）如图所示，四边形为正方形，在中，的延长线与的延长线交于点，点在同一条直线上（1）求证：；（2）当时，求的值；（3）当时，求的值28（2021·内蒙古·中考真题）如图，在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，以AD为直径的交AB于点E，交AC于点F，过点F作，垂足为H，交于点G，交AD于点M，连接AG，DE，DF（1）求证：；（2）若，求HF的长参考答案1D【解析】试题分析：D（0，3），C（4，0），OD=3，OC=4，COD=90°，CD=32+42=5，连接CD，如图所示：OBD=OCD，sinOBD=sinOCD=ODC
10、D=35故选D考点：锐角三角函数的定义2D【详解】试题分析：由题意得，cosA=，tanB=1，则A=30°，B=45°，则C=180°30°45°=105°故选D考点：1特殊角的三角函数值；2非负数的性质：绝对值；3非负数的性质：偶次方3D【详解】，sinA=，cosB=A=30°，B=60°C=180°30°60°=90°故选D4A【解析】试题分析：sin6°=a，sin26=a2故选A考点：锐角三角函数的定义5D【解析】试题分析：sin=，母线长为6，圆锥的底
11、面半径=×6=2该圆锥的侧面积=×6×22=12故选D6B【详解】：根据锐角三角函数的增减性sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小，直接得出答案即可：解：45°A90°，根据sin45°=cos45°，sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小，当A45°时，sinAcosA，故选：B7C【分析】根据勾股定理求出多边形的边长，利用多边形内角和求解内角度数，再根据锐角三角函数求值即可【详解】解： 设剪去ABC边长AC=BC=x，可得：，解得x=，则BD=，正方形剪去四个角后成为一个正八边形
12、，根据正八边形每个内角为135度，则BFD=22.5°，外接圆直径d=BF=，根据题意知周长÷d=，故选：C【点拨】本题考查了勾股定理、多边形内角和、圆周长直径公式和锐角三角函数等相关知识，阅读理解题意是解决问题的关键8C【分析】由题意易得，由三角形中位线可进行判断；由DOC是等腰直角三角形可进行判断；根据三角函数可进行求解；根据题意可直接进行求解；过点D作DHCF，交CF的延长线于点H，然后根据三角函数可进行求解【详解】解：四边形是正方形，点是的中点，则，OFBE，DGFDCE，故正确；点G是CD的中点，OGCD，ODC=45°，DOC是等腰直角三角形，故正确；
13、CE=4，CD=8，DCE=90°，故正确；，故错误；过点D作DHCF，交CF的延长线于点H，如图所示：点F是CD的中点，CF=DF，CDE=DCF，设，则，在RtDHC中，解得：，故正确；正确的结论是；故选C【点拨】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握正方形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键9B【分析】先判断出点Q在以BC为直径的圆弧上运动，再判断出点C1在以B为圆心，BC为直径的圆弧上运动，找到当点P与点A重合时，点P与点D重合时，点C1运动的位置，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式求解即可【详解】解：设BP与CC1相交于Q，则
14、BQC=90°，当点P在线段AD运动时，点Q在以BC为直径的圆弧上运动，延长CB到E，使BE=BC，连接EC，C、C1关于PB对称，EC1C=BQC=90°，点C1在以B为圆心，BC为直径的圆弧上运动，当点P与点A重合时，点C1与点E重合，当点P与点D重合时，点C1与点F重合，此时，PBC=30°，FBP=PBC=30°，CQ=，BQ=，FBE=180°-30°-30°=120°，线段扫过的区域的面积是故选：B【点拨】本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质、三角函数以及扇形面积公式等知识；熟练掌握
15、矩形的性质和轴对称的性质是解题的关键10B【分析】连接AD，由切线性质可得ADB=ADC=90°，根据AB=2AD及锐角的三角函数可求得BAD=60°，易求得ADE=72°，由AD=AE可求得DAE=36°，则GAC=96°，根据圆周角定理即可求得GFE的度数【详解】解：连接AD，则AD=AG=3，BC与圆A相切于点D，ADB=ADC=90°，在RtADB中，AB=6，则cosBAD=，BAD=60°，CDE=18°，ADE=90°18°=72°，AD=AE，ADE=AED=72
16、76;，DAE=180°2×72°=36°，GAC=36°+60°=96°，GFE=GAC=48°，故选：B【点拨】本题考查切线性质、锐角的三角函数、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理，利用特殊角的三角函数值求得BAD=60°是解答的关键11C【分析】根据矩形的性质得出ABCDCB90°，ACBD，AOCO，BODO，ABDC，再解直角三角形判定各项即可【详解】选项A，四边形ABCD是矩形，ABCDCB90°，ACBD，AOCO，BODO，A
17、OOBCODO，DBCACB，由三角形内角和定理得：BACBDC，选项A正确； 选项B，在RtABC中，tan，即BCmtan，选项B正确；选项C，在RtABC中，AC，即AO，选项C错误；选项D，四边形ABCD是矩形，DCABm，BACBDC，在RtDCB中，BD，选项D正确.故选C【点拨】本题考查了矩形的性质和解直角三角形，能熟记矩形的性质是解此题的关键12A【分析】根据垂径定理得出CE=DE=CD3，再利用勾股定理求得半径，根据锐角三角函数关系得出EOD=60°，进而结合扇形面积求出答案【详解】解：AB是O的直径，CD为O的弦，ABCD于点E，CEDECD3设O的半径为r，在直
18、角OED中，OD2OE2+DE2，即，解得，r6，OE3，cosBOD，EOD60°，根据圆的对称性可得：，故选：A【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理以及锐角三角函数和扇形面积求法等知识，正确得出EOD=60°是解题关键13或.【分析】对AC分两种情况讨论，根据三角函数即可得到答案.【详解】如图所示，分两种情况讨论，AC可以是直角边，也可以是斜边 当AC是斜边，设ABx，则AC2x，由勾股定理可得：BCx，则当AC是直角边，设ABx，则AC2x，由勾股定理可得：BCx，则综上所述，或.【点拨】本题考查三角函数，解题的关键是对AC分情况讨论.14【分析】根据的坐标求得的长度
19、,， 利用30度角所对的直角边等于斜边的一半，求得的长度，即点的横坐标，易得轴，则的纵坐标即的纵坐标【详解】的坐标分别是轴故答案为：【点拨】本题考查了含30°角的直角三角形，用到的知识点有特殊角的三角函数，在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，熟记特殊角的三角函数是解题的关键153【详解】如图所示,过点A作ADOD,根据AOB30°,ABBO,可得DAB60°, OAB30°,所以BAD30°,在RtADB中,即,因为ABBO,所以,所以,所以,根据反比例函数k的几何意义可得:,因此,因为反比例函数图象在第二象限,所以16 【详解
20、】试题分析：根据题意作出RtABC，然后根据sinA=，设一条直角边BC为5x，斜边AB为13x，根据勾股定理求出另一条直角边AC=12x，然后根据三角函数的定义可求出tanB=故答案为.考点：互余两角三角函数的关系17【分析】利用的正切可以求出C点坐标，再利用C、M在上，设M的坐标，最后通过可以求出M点的坐标【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴，由题意可知， 则，C在上，设 即 解得（不符合题意，舍去）所以故答案为：【点拨】本题考查了直角三角形的性质，特殊角的锐角三角函数，反比例函数性质，正确理解题意，求出C点的坐标是解决问题的关键18【分析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得DE的长、的
21、度数，然后根据图形可知阴影部分的面积是的面积减去的面积和扇形的面积，从而可以解答本题【详解】解：连接OD，过点D作于E，在中，阴影部分的面积是：，故答案为：【点拨】本题主要考查扇形面积的计算、勾股定理、特殊角锐角三角函数值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答19【分析】根据题意，证明四边形是平行四边形，运用的正弦和余弦的关系，求出HE【详解】如图，分别过作， 垂足分别为则根据题意，因为折叠，则四边形ABCD是矩形同理四边形是平行四边形，中，故答案为：【点拨】本题考查了轴对称图形，平行四边形的性质与判定，锐角三角函数，理解题意作出辅助线，是解题的关键2015【分析】根据同角的余角相
22、等得到，进一步根据三角函数求解即可【详解】解：如图所示，且四边形为平行四边形，又,，,又，mm故答案为：15【点拨】本题考查三角函数的实际应用，解题的关键是利用同角的余角相等找出角的关系，根据同角三角函数关系求值21【分析】由题意易得，则有为等边三角形，同理可得. 都为等边三角形，进而根据等边三角形的面积公式可得，由此规律可得，然后问题可求解【详解】解：四边形是菱形，为等边三角形，同理可得. 都为等边三角形，过点B作BECD于点E，如图所示：，同理可得：，；由此规律可得：，；故答案为【点拨】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握菱形的性质、等边三角形的性质与判定及三
23、角函数是解题的关键22【分析】由题意易得，则有，进而可得，则有四边形是矩形，然后可得，为等边三角形，最后可得答案【详解】解：六边形是正六边形，在DEF中，同理可得，四边形是矩形，同理可证四边形是矩形，四边形是平行四边形，（ASA），四边形是菱形，NAM=60°，NAM是等边三角形，AM=MN，AB=3，MAB=30°，ACG=90°，G=60°，ADG是等边三角形，AC与BD交于点M，由等边三角形的性质及重心、内心、外心可得：的重心、内心及外心均是点，连接OF，如图所示：易得FOA=60°，四边形绕点逆时针旋转与四边形重合，综上所述：正确结论的
24、序号是；故答案为【点拨】本题主要考查正多边形的性质、矩形及菱形的判定与性质、等边三角形的性质与判定、三角形的重心、内心、外心及三角函数，熟练掌握正多边形的性质、矩形及菱形的判定与性质、等边三角形的性质与判定、三角形的重心、内心、外心及三角函数是解题的关键23【分析】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小为MH，再算出MC的长度， 在直角三角形MPC中利用三角函数即可解得MH【详解】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小菱形中，AB=BC=AC=10，ABC为等边三角形PBC=30°，ACB=60°在直角PBH中，PBH=30&
25、#176;PH=此时得到最小值，AC=10，AM=3,MC=7又MPC=60°MH=MCsin60°=故答案为：【点拨】本题主要考查了菱形的性质与三角函数，能够找到最小值时的P点是解题关键.24（1）；（2）【分析】（1）由题意易得，然后根据勾股定理可求解；（2）由题意易得当点P在AB上时，即，则，当点P在AC上，点Q在BC上时，即，过点P作PEBC于点E，然后可得，当点P与点C重合，点Q在CD上时，即，则有，进而根据面积计算公式可求解【详解】解：（1）四边形是矩形，；（2）由题意得当点P到达点C时，点Q恰好到达点C，则有：当点P在AB上时，即，如图所示：，；当点P在AC上
26、，点Q在BC上时，即，过点P作PEBC于点E，如图所示：，由（1）可得，；当点P与点C重合，点Q在CD上时，即，如图所示：，；综上所述：S关于t的解析式为【点拨】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、三角函数及函数，熟练掌握矩形的性质、勾股定理、三角函数及函数是解题的关键25（1）见解析；（2）【分析】（1）连接，证明即可；（2）由已知条件得出，利用特殊角锐角三角函数求出OD、OG的长度，再由扇形面积公式以及三角形面积公式求即可【详解】.（1）证明：连接，是的半径，是切线（2）解：是的直径，在中，【点拨】本题主要考查切线的判定，锐角三角函数，扇形面积的计算等知识点，根据题意求出是解题关键26（1）
27、见详解；（2）【分析】（1）由题意易得四边形是平行四边形，则有ABCD，然后可证DOFBOE，进而问题可求解；（2）由题意易得AD=4，AB=8，则有ABD=30°，DAB=60°，进而可得是等边三角形，是等边三角形，然后可得，则有，最后根据三角函数进行求解即可【详解】（1）证明：，四边形是平行四边形，ABCD，DOFBOE（ASA），四边形是平行四边形，四边形是菱形；（2）由（1）可得四边形是菱形，设，则，即，解得：，ABD=30°，DAB=60°，是等边三角形，是等边三角形，【点拨】本题主要考查菱形、平行四边形的性质与判定及三角函数，熟练掌握菱形、平
28、行四边形的性质与判定及三角函数是解题的关键27（1）见解析；（2）；（3）【分析】（1）已知正方形和，用“边角边”证明两三角形全等即可；（2）方法一：过作交于点，过作交于点，则，从而求的，方法二：连接交于，交于，构造相似三角形，从而求得；（3）不在直角三角形中，过点作交于点，过点作交于点，求得结果【详解】（1）四边形为正方形 在和中（2）方法一：，为正方形对角线 设，则在三角形中过作交于点，过作交于点 是等腰直角三角形，方法二：连接交于，交于正方形， ， ，为中点 ，设 （3）过点作交于点，过点作交于点，为等腰直角三角形 ，在中【点拨】本题考查了全等三角形的证明，相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质，按要求作出辅助线是解决本题的关键28（1）见解析；（2）【分析】（1）是的直径，可以得到，推出，再用平行线的判定和性质可求出；（2）连接OF，得到，由于是的直径，得到，用平行线的判定得到，再用角之间的关系证明，再用相似三角形的性质，证明就可求出HF【详解】如图解：（1）证明：是的直径，（2）连接OF，AD是BC边上的高，是的直径，在中，在中，【点拨】此题考查圆的性质和相似三角形的证明的综合运用，熟悉掌握相似三角形的性质和灵活作辅助线是解题的关键