1、6. 6.4 4 探索三角形相似的条件探索三角形相似的条件 专项练习专项练习 一、一、单选题单选题 1如图，D是ABCV的AB边上的一点，在直线AC上找一点E，使得ADEV与ABCV相似，则满足这样条件的E点有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D1 个或 2 个 2如图，D 是 ABC 边 AB 上一点，添加一个条件后，仍然不能使 ACDABC 的是（ ） AACBADC BACDABC CACADABAC DCDADBCAC 3如图，已知12，那么添加一个条件后，仍不能判定 ABC 与 ADE 相似的是（ ） ACAED BBD CABBCADDE DABACADAE 4已知ABCV的三
2、边长是2，6，2，则与ABCV相似的三角形的三边长可能是（ ） A1，2，3 B1，3， 22 C1，3，62 D1，3，33 5 如图， 在四边形ABCD中， 如果ADCBAC， 那么下列条件中不能判定ADCV和BACV相似的是 （ ） ADACABC BCA是BCD的平分线 CADDCABAC D2ACBC CD 6如图所示，给出下列哪个条件单独能够判定ABCACD的是（ ） ABBCD BACABCDBC C2ACAD ABg DADCDACBC 7如图，每个小正方形的边长均为 1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与111ABC相似的是（ ） A B C D 8如图，在 ABC 中，A7
3、5 ，AB6，AC8，将 ABC 沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A B C D 9如图，ADEACDABC，图中相似三角形共有（ ） A1 对 B2 对 C3 对 D4 对 10如图，在正方形 ABCD 中，E 是 CD 的中点，点 F 在 BC 上，且 FC=14BC图中相似三角形共有（ ） A1 对 B2 对 C3 对 D4 对 11如图所示，在 ABC 中，AB6，AC4，P 是 AC 的中点，过 P 点的直线交 AB 于点 Q，若以 A、P、Q 为顶点的三角形和以 A、B、C 为顶点的三角形相似，则 AQ 的长为 ( ) A3 B3 或43 C3 或34
4、 D43 12平面直角坐标系中，直线122yx 和 x、y 轴交于 A、B 两点，在第二象限内找一点 P，使 PAO和 AOB 相似的三角形个数为( ) A2 B3 C4 D5 二、二、填空题填空题 13如图，ABCV中，BCBA，点 D 是边BC上的一个动点（点 D 与点,B C不重合） ，若再增加一个条件，就能使ABD与ABCV相似，则这个条件可以是_（写出一个即可） 14如图，在 Rt ABC 的直角边 AC 上有一任意点 P（不与点 A、C 重合） ，过点 P 作一条直线，将 ABC分成一个三角形和一个四边形，则所得到的三角形与原三角形相似的直线最多有_条 15如图，点D，E分别在AB
5、C的AB，AC边上只需添加一个条件即可证明ADEACB，这个条件可以是_(写出一个即可) 16若在 ABC 内有一点 D，使得ADB=ADC，AD=a，CD=b，则当 BD=_时， ABD 与 ACD相似 17如图，在两个直角三角形中，ACBADC90 ，AC6，AD2.当 AB_时， ABC与 ACD 相似 18如图，在ABC中，6,8ABcm ACcm，D是AB上一点且AD2cm，当AE _cm时，使得ADE与ABC相似 19 如图， 锐角三角形 ABC 的边 AB， AC 上的高线 CE 和 BF 相交于点 D， 请写出图中的两对相似三角形： （用相似符号连接） 20如图,在正方形网格上
6、有 6 个斜三角形: ABC,CDB,DEB,FBG,HGF,EKF. 在中,与相似的三角形的序号是_.(把你认为正确的都填上) 21如图，其中相似三角形共有_对 22如图，将 ABC 沿着 BC 方向平移得到 DEF， ABC 与 DEF 重叠部分（图中阴影部分）的面积是 ABC 的面积的一半，已知 BC6，则 EC 的长为_ 23如图，已知ABCDY中，45DBC，DEBC于E，BFCD于F，DE、BF相交于H，BF、AD的延长线相交于G， 下面结论： ABHE； BHECDE； BHEGAB:； BHDBDG:；其中正确的结论是_（只填写正确的序号） 24如图，若ADAEABAC，添加一
7、个条件使ADEACBV: V，则添加的条件是_ 三、三、解答题解答题 25如图，在 ABC 和 ADB 中，ABCADB90 ，AC5，AB4，当 BD 的长是多少时，图中的两个直角三角形相似？ 26如图，平行四边形 ABCD 在平面直角坐标系中，AD=6，若 OA、OB 的长是关于的一元二次方程的两个根，且 OAOB （1）求 cosABC 的值。 （2）若 E 为轴上的点，且，求出点 E 的坐标，并判断 AOE 与 DAO 是否相似？请说明理由。 27如图，在ABCV中，8AB cm，16AC cm，点 P 从 A 出发，以2cm/s的速度向 B 运动，同时点 Q从 C 出发，以3cm/s
8、的速度向 A 运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为 t. （1）用含 t 的代数式表示：AP _， （2）当以 A，P，Q 为顶点的三角形与ABCV相似时，求运动时间是多少. 28如图，正方形 ABCD 的边长为 8，E 是 BC 边的中点，点 P 在射线 AD 上， 过 P 作 PFAE 于 F （1）请判断 PFA 与 ABE 是否相似，并说明理由； （2） 当点 P 在射线 AD 上运动时， 设 PAx， 是否存在实数 x， 使以 P， F， E 为顶 点的三角形也与 ABE 相似？若存在，请求出 x 的值；若不存在，说明理由 参考答案参考答案 1D
9、【分析】 根据有两个对应角相等的三角形相似作图即可ADEV和ABCV中，有公共角A，因此只要作ADEB 或ADEC，即可得出两三角形相似 【详解】 解：情况（1） ：如图，当ABAC时， 根据题意得：当/DEBC时，ADEABC； 当ADEC时，由AA ，可得ADEABC 所以当ABAC时，满足这条件的E点有 2 个 情况（2） ：当ABAC时，情况（1）中两点重合，此时满足这条件的E点只有 1 个 综上所述：使得ADEV与ABCV相似，则满足这样条件的E点有 1 个或 2 个 故选：D 【点拨】此题考查了相似三角形的判定 有两个对应角相等的三角形相似； 有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则
10、两个三角形相似； 三组对应边的比相等，则两个三角形相似 2D 【分析】 直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案 【详解】 解：A、当ACBADC 时，再由AA，可得出 ACDABC，故此选项不合题意； B、当ACDABC 时，再由AA，可得出 ACDABC，故此选项不合题意； C、当ACADABAC时，再由AA，可得出 ACDABC，故此选项不合题意； D、当CDADBCAC时，无法得出 ACDABC，故此选项符合题意； 故选：D 【点拨】此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键 3C 【分析】 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后
11、答案 【详解】 解：12 DAEBAC A，B，D 都可判定 ABCADE 选项 C 中不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C 【点拨】本题考查了相似三角形的判定：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似 4A 【分析】 根据相似三角形的判定定理即可得到结论 【详解】 解：ABC 三边长是2，6，2， ABC 三边长的比为2：2：6=1：2：3， ABC 相似的三角形三边长可能是 1：2：3， 故选：A 【点拨】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似
12、三角形的判定定理是解题的关键 5D 【分析】 已知ADCBAC，则 A、B 选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C 选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；D 选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似. 【详解】 在 ADC 和 BAC 中，ADCBAC， 如果 ADCBAC，需满足的条件有： DACABC 或 AC 是BCD 的平分线； ADDCABAC； 故选：D 【点拨】此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键 6C 【分析】 A只有一对对应角相等，条件不够；B用比例是确定三角形
13、，竖向确定三角形 ACD 与 ABC，横向确定三角形 ABC 与 CBD，但夹角不一定相等，不能判定的两个三角形相似；C.把等积变比例式，且夹角相等，能推出这两个三角形相似；D用比例确定三角形，竖向确定三角形 ADC 与 BCD，横向确定三角形 ADC 与 ACB，但夹角不一定相等，不能判定的两个三角形相似 【详解】 解：ABBCD ，不能判定的两个三角形相似，不符合题意； B竖向确定三角形 ACD 与 ABC，夹角CDA与B 不一定相等，横向确定三角形 ABC 与 CBD，夹角A 与DCB 不一定相等，不能判定的两个三角形相似，不符合题意， C由2ACAD ABg变形得，ACAB=ADAC，
14、由BAC=CAD，则ABCACD， 可以根据两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似来判定，符合题意； D竖向确定三角形 ADC 与 BCD，夹角A与DCB 不一定相等，横向确定三角形 ADC 与 ACB，夹角ADC 与ACB 不一定相等，不能判定的两个三角形相似，不符合题意； 故选择：C 【点拨】本题考查相似三角形的判定，灵活掌握三角形相似的判定方法，会用已知条件与三角形相似判定定理相结合判断三角形相似是解题关键 7B 【分析】 根据相似三角形的判定方法一一判断即可 【详解】 解：因为111ABC中有一个角是 135 ，选项中，有 135 角的三角形只有 B，且满足两边成比例夹角相等， 故
15、选 B 【点拨】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型 8D 【分析】 根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可 【详解】 A、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误； B、阴影部分 的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误； C、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误 D、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确； 故选 D 【点拨】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键 9D 【解析】 试题分析：ADE=ACD=
16、ABC，DEBC，ADEABC，DEBC，EDC=DCB，ACD=ABC，EDCDCB，同理：ACD=ABC，A=A，ABC ACD，ADEABC， ABCACD，ADEACD，共 4 对，故选 D 考点：1相似三角形的判定；2平行线的判定 10C 【详解】 根据正方形的性质，求出各边长，应用相似三角形的判定定理进行判定： 同已知，设 CF=a，则 CE=DE=2a，AB=BC=CD=DA=4a，BF=3a 根据勾股定理，得 EF=5a，AE=2 5a，AF=5a CFCEEF1DEDAAD2，CFCEEF5 EFEAAF5，DEDAAE2 5EFEAAF5 CEFDAE， CEFEAF， D
17、EAEFA共有 3 对相似三角形 故选 C 11B 【详解】 APAQABAC,264AQ，AQ=43， APAQACAB,246AQ，AQ=3. 故选 B. 点睛：相似常见图形 （1）称为“平行线型”的相似三角形（如图,有“A 型”与“X 型”图） （2）如图：其中1=2，则 ADE ABC 称为“斜交型”的相似三角形，有“反 A 共角型”、“反 A 共角共边型”、 “蝶型”，如下图： 12C 【分析】 根据相似三角形的相似条件，画出图形即可解决问题 【详解】 解：如图， 分别过点 O、点 A 作 AB、OB 的平行线交于点 P1，则 OAP1与 AOB 相似（全等） ， 作 AP2OP1，
18、垂足为 P2则 AOP2与 AOB 相似 作AOP3=ABO 交 AP1于 P3，则 AOP3与 AOB 相似 作 AP4OP3垂足为 P4，则 AOP4与 AOB 相似 故选 C 【点拨】本题考查相似三角形的判定、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型 13答案不唯一，如：BADC 【分析】 根据题目特点，结合三角形相似的判定定理，添加合适的条件即可 【详解】 DBA=CBA，根据两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似， 添加的条件是 DB：BA=AB：BC； DBA=CBA，根据两组对应角对应相等相等的两个三角形相似， 添加的条件是BADC； 故
19、答案为：DB：BA=AB：BC 或BADC 【点拨】本题考查了三角形相似的判定定理，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键 144 【分析】 过点 P 作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形已经有一个公共角，只要再作一个等于 ABC 的另一个角即可 【详解】 解：过点 P 作 AB 的垂线段 PD，则 ADPACB； 过点 P 作 BC 的平行线 PE，交 AB 于 E，则 APEACB 过点 P 作 AB 的平行线 PF，交 BC 于 F，则 PCFACB； 作PGCA，则 GCPACB 故答案为：4 【点拨】本题考查的是相似三角形的判定与作图，掌握相似三角形的判定是解题的关键 15
20、ADE=C 或AED=B 或ADAEACAB 【分析】 由已知得到A 是公共角，只需添加另一组角相等过夹角 A 的两条边成比例即可 【详解】 A=A， 当ADE=C 或AED=B 时，ADEACB； 当ADAEACAB时，ADEACB； 故答案为：ADE=C 或AED=B 或ADAEACAB 【点拨】此题考查相似三角形的判定定理，熟记定理是解题的关键 16b 或2ab 【分析】 分两种情况分别求解即可 【详解】 解：如图，ADB=ADC， 当BAD=DAC 时，AD=AD， ADBADC（ASA） ，BD=CD=b， 当BAD=ACD 时， ADBCDA，ADBDCDAD，2aBDb， 故答案
21、为 b 或2abb 【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型 173 或3 2 【解析】 试题解析：ACB=ADC=90 ，AC=6，AD=2， CD=22= 2ACAD，设 AB=x， 当 AC：AD=AB：AC 时， ABCACD 6x=26，解得 AB=3； 当 AB：AC=AC：CD 时， ABCCAD， x6=62，解得 AB=32 AB=3 或 32 点睛：相似三角形的判定方法：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个
22、对应角相等，那么这两个三角形相似平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似 1883或 1.5 【分析】 ADE 与 ABC 相似有两种情况，针对每一种情况，有对应边成比例，据此可列出等式求得 AE 的值 【详解】 解：分两种情况： 第一种情况：如图，过 D 作 DE|AC 于点 E， 则28863ADAEACAB ； 第二种情况：如图，ADEACB 则261.58ADAEABAC 故答案为81.53或 【点拨】本题考查三角形相似的判定，找出对应三角形相似的两种情况是解题关键 19见解析 【详解】 锐角三角形 ABC 的边 AB 和 AC 上的高线 CE 和 B
23、F 相交于点 D AEC=BEC=AFB=CFB=90 ABF=DBE，ACE=DCF ABFDBE， ACEDCF EDB=FDC EDBFDC ABFDBEDCFACE 答案不唯一，如 ABFDBE 或 ACEDCF 或 EDBFDC 等 20 【解析】 【分析】 设网格的边长为 1，则三角形的三边之比是 AB：AC：BC=1：2：5，分别求出五个三角形的三边的比，符合这个结果就是与相似的 【详解】 CDB 中 CD:BC:BD=1:5:22; DEB 中 DE：BD：BE=2：8：20=1：2：5; FBG 中，FB：FG：BG=5：10：5=1：2：5; HGF 中，HG：HF：FG=
24、2：2：10=1：2：5； EKF 中，KE:EF:FK=2:5:3. 其它两个三角形的三边之比不符合，故与相似的三角形的序号是 故答案为： 【点拨】本题考查了勾股定理及相似三角形的判定，熟练掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解答本题的关键. 216 【分析】 根据两角对应相等的两个三角形相似及相似三角形的传递性进行求解 【详解】 如图，设 CD 与 BE 交于 F AEB=ADC=90 ，A=A； ACDABE； 同理可得 BDFBEACDACEF 因此本题中共有 6 对相似三角形 故答案为 6 【点拨】本题考查相似三角形的判定定理： （1）两角对应相等的两个三角形相似； （2）两边对应成
25、比例且夹角相等的两个三角形相似； （3）三边对应成比例的两个三角形相似； （4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 2232 【分析】 由平移的性质可得 AB/EG，可证明 GECABC，根据相似三角形的性质得出GECABCSSVV（ECBC）212，得出ECBC1212，即可得答案 【详解】 ABC 沿 BC 边平移到 DEF 的位置， ABEG， GECABC， GECABCSSVV（ECBC）212， ECBC1212， BC6， EC32， 故答案为：32 【点拨】本题考查平移的性质及相似三角形的性质，熟练掌握相
26、似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键. 23 【分析】 根据平行四边形的性质可得A=C， 由D EB C，BFCD可得C+EDC=90 ， BHE+EDC=90 ，从而求解；由 AAS 定理证明三角形全等；由 AA 定理证明三角行相似；由BDE=45 ，而G45，可知不正确. 【详解】 解：在ABCDY中A=C，且BHE=DHF 又DEBC，BFCD C+EDC=90 ，DHF+EDC=90 BHE+EDC=90 ABHE，故正确； 45DBC，DEBC BE=DE 在 BHE 和 CDE 中90BHEDCEBEHDECBEDE o BHECDE，故正确； 在ABCDY中 AGBC G=
27、HBE 又ABHE BHEGAB:，故正确； 45DBC，而G=HBE G45，故错误 故答案为： 【点拨】本题考查全等三角形的判定、相似三角形的判定、等腰直角三角形和平行四边形的性质，熟练掌握相关知识点综合运用是本题的解题关键. 24ADAEDEABACBC或者DAB=CAE，DAE=BAC 【分析】 由已知及相似三角形的判定可以从边和角两方面考虑解答 （1）由边解答，已知两组对应边成比例，只要添加第三组对应边成比例即可（2） 由角解答， 只要添加已知两组对应边的夹角DAB 和BAC 相等即可，又由DAB=CAE 也能推出DAB 和BAC 相等即 ADEACB 【详解】 由已知， 若ADAE
28、DEABACBC ，则 ADEACB 若ADAEABAC，DAE=BAC，则 ADEACB 若DAB=CAE， 则DAB+BAE=CAE+BAE， 即， DAE=BAC， 又A DA EA BA C， 则 ADEACB 故答案为：ADAEDEABACBC或者DAB=CAE，DAE=BAC 【点拨】此题考查相似三角形的判定定理，解题关键在于从边和角来考虑 25当 BD 的长是125或165时，图中的两个直角三角形相似 【分析】 先利用勾股定理计算出 BC3，再根据相似三角形的判定方法进行讨论：当BDABBCAC时，Rt DBARt BCA，即435BD，当BDABBAAC时，Rt DBARt B
29、AC，即445BD，然后利用比例性质求出对应的 BD 的长即可 【详解】 在 Rt ABC 中，BC222254ACBC3 ABCADB90 ，分两种情况讨论： 当BDABBCAC时，Rt DBARt BCA，即435BD，解得：BD125； 当BDABBAAC时，Rt DBARt BAC，即445BD，解得：BD165 综上所述：当 BD 的长是125或165时，图中的两个直角三角形相似 【点拨】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似 26 （1）cosABC=（2）E(- ，0 )或（ ，0）. 【解析】试题分析： （1）求出一元二次方程的两个根，再结
30、合 OAOB 即可得到结果； （2）先根据三角形的面积求出点 E 的坐标，并根据平行四边形的对边相等的性质求出点 D 的坐标，然后利用待定系数法求得直线的解析式； 分别求出两三角形夹直角的两对应边的比，如果相等， 则两三角形相似，否则不相似； 试题解析： （1）解一元二次方程得， OAOB OA4，OB3， 在43Rt AOBOAOB中， ， ， 22435AB ， cosABC=35OBAB ； （2）设 E（x，0） ，由题意得 解得 E（，0）或（，0） ， 四边形 ABCD 是平行四边形， 点 D 的坐标是（6，4） 设经过 D、E 两点的直线的解析式为 若图象过点（，0） ， （6，
31、4） 则，解得 此时函数解析式为 若图象过点（，0） ， （6，4） 则，解得 此时函数解析式为 在 AOE 与 DAO 中， ， 又AOE=OAD=90 AOEDAO。 27 （1）2t，163t（2）运动时间为167s 或 4s 【分析】 （1）利用速度公式求解； （2）由于PAQ=BAC，利用相似三角形的判定，当APAQABAC时， APQABC，即2163816tt；当APAQACAB时， APQACB，即2163168tt，然后分别解方程即可 【详解】 （1）2t , 163t; （2）连接 PQ，PAQBAC ，当APAQABAC时，APQABCVV，此时2163816tt，解得1
32、67t ； PAQBAC ，当APAQACAB时，APQACBVV，此时2163168tt，解得4t . 运动时间为167s 或 4s. 【点拨】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似,关键是能灵活运用. 28 （1）见解析； （2）存在，x 的值为 2 或 5. 【分析】 （1）在 PFA 与 ABE 中，易得PAF=AEB 及PFA=ABE=90 ；故可得 PFAABE； （2）根据题意：若 EFPABE，则PEF=EAB；必须有 PEAB；分两种情况进而列出关系式 【详解】 (1)证明：ADBC, PAF=AEB. PFA=ABE=90 ， PFAABE. (2) 若 EFPABE，则PEF=EAB. 如图，连接 PE,DE, PEAB. 四边形 ABEP 为矩形. PA=EB=2，即 x=2. 如图，延长 AD 至点 P，作 PFAE 于点 F,连接 PE, 若 PFEABE，则PEF=AEB. PAF=AEB， PEF=PAF. PE=PA. PFAE， 点 F 为 AE 的中点. AE=22=2 5ABBE， EF=12AE=5. 5=22 5,PEEFPEAEEB，即， PE=5，即 x=5. 满足条件的 x 的值为 2 或 5. 【点拨】此题考查正方形的性质，相似三角形的判定，解题关键在于作辅助线.