1、6. 6.3 3 相似图形相似图形 专项练习专项练习 一、一、单选题单选题 1下列图形中，一定相似的是（ ） A两个正方形 B两个菱形 C两个直角三角形 D两个等腰三角形 2如图，两个菱形，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是（ ） A B C D 3如图，把菱形ABCD沿着对角线AC的方向移动到菱形ABC D的位置，它们的重叠部分（图中阴影部分）的面积是菱形ABCD的面积的13若3AC ，菱形移动的距离AA是（ ） A13 B33 C1 D31 4将等腰直角三角形纸片沿它的对称轴折
2、叠，得到的三角形还是等腰直角三角形，按上述方法把一个等腰直角三角形折叠四次，则所得三角形的周长是原三角形周长的（ ） A12 B14 C18 D116 5宽与长的比是512（约 0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形 ABCD，分别取 AD、BC 的中点 E、F，连接 EF： 以点 F 为圆心， 以 FD 为半径画弧， 交 BC 的延长线于点 G； 作 GHAD， 交 AD 的延长线于点 H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ） A矩形 ABFE B矩形 EFCD C矩形 EFGH D矩形 DCGH 6在研
3、究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为 3、4、5 的三角形按图 1 的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为 1，则新三角形与原三角形相似 乙：将邻边为 3 和 5 的矩形按图 2 的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为 1，则新矩形与原矩形相似 对于两人的观点，下列说法正确的是( ) A甲对，乙不对 B甲不对，乙对 C两人都对 D两人都不对 7如图，一张矩形纸片 ABCD 的长 ABxcm，宽 BCycm，把这张纸片沿一组对边 AB 和 D 的中点连线EF 对折，对折后所得矩形 AEFD 与原矩形 ADCB 相似，则 x：y 的值为（ ） A2 B2 C25
4、5 D2-12 8取一张长为 a，宽为 b 的长方形纸片，将它进行如图所示的两次对折后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则ba的值为（ ） A22 B12 C24 D14 9如图，已知矩形ABCD中，2AB ，在BC上取一点E，沿AE将ABEV向上折叠，使B点落在AD上的F点处，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则(AD ) A5 B51 C4 D 2 3 10如图，将菱形 ABCD 沿 BD 方向平移得到菱形 EFGH，若 FD：BF1：3，菱形 ABCD 与菱形 EFGH的重叠部分面积记为1S，菱形 ABCD 的面积记为2S，则1S：2S的值为( ) A1：3 B1：4
5、 C1：9 D1：16 11彼此相似的矩形 A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，按如图所示的方式放置点 A1，A2，A3，和点 C1，C2，C3，分别在直线 y=kx+b（k0）和 x 轴上，已知点 B1、B2的坐标分别为（1，2） ， （3，4） ，则 Bn 的坐标是（ ） A （2n1，2n） B （2n12，2n） C （2n112，2n1） D （2n11，2n1） 12有一块边长为2的等边三角形纸板，如图 1，经过底边的中点剪去第一个正三角形;如图 2，过剩余底边的中点再剪去第二个正三角形，然后依次过剩余底边的中点再剪去更小的第三个第四 正三角形，则剪掉的第2020个
6、正三角形的面积是（ ） A201934 B202034 C403834 D404034 二、二、填空题填空题 13一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放，被分割成了 5 个部分. ，这三块的面积比依次为1441，那么，这两块的面积比是_ 14若用一个 2 倍放大镜去看 ABC，则A 的大小（_） ；面积大小为（_） 15如图，在菱形 ABCD 中，AB1，ADC120 ，以 AC 为边作菱形 ACC1D1，且AD1C1120 ；再以AC1为边作菱形 AC1C2D2，且AD2C2120；按此规律，菱形 AC2020C2021D2021的面积为_ 16四边形 ABCD 和四边形 ABCD是相似图形
7、，点 A、B、C、D 分别与 A、B、C、D对应，已知 BC3，CD2.4，BC2，那么 CD的长是_ 17一个矩形的长为 a，宽为 b（ab） ，如果把这个矩形截去一个正方形后所余下的矩形与原矩形相似，那么ab=_ 18如图，在矩形 ABCD 中，ADAB，AB2点 E 在矩形 ABCD 的边 BC 上，连结 AE，将矩形 ABCD沿 AE 翻折，翻折后的点 B 落在边 AD 上的点 F 处，得到矩形 CDFE若矩形 CDFE 与原矩形 ABCD 相似，则 AD 的长为_ 19如图，矩形 ABCD 中，AB=6，BC=4，点 E 在 AB 上，EFDC 于点 F，在边 AD，DF，EF，AE
8、 上分别存在点 M，N，P，Q，这四点构成的四边形与矩形 BCFE 全等，则 DM 的长度为_ 20下列图形都相似吗？为什么？ （1）所有的正方形都相似吗？ （2）所有的矩形都相似吗？ （3）所有的菱形都相似吗？ （4）所有的等边三角形都相似吗？ （5）所有的等腰三角形都相似吗？ （6）所有的等腰梯形都相似吗？ （7）所有的等腰直角三角形都相似吗？ （8）所有的正五边形都相似吗？ _相似，_不一定相似 21如图，已知矩形 ABCD 中，AB=1，在 BC 上取一点 E，沿 AE 将 ABE 向上折叠，使 B 点落在 AD 上的 F 点若四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，则 AD=_ 2
9、2 如图， 点, ,A B C在同一直线上， 且23ABAC， 点,D E分别是,AB BC的中点， 分别以,AB DE BC为边，在AC同侧作三个正方形， 得到三个平行四边形 （阴影部分） 的面积分别记作123,S SS， 若15S ， 则23SS_ 23有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为1S，2S，则12:SS _ 24如图，菱形ABCD的面积为l，对角线AC，BD交于点O，点lA，lB，lC，lD分别是OA，OB，OC，OD的中点， 连接llAB，llBC，llC D，llD A得到菱形llllABC D； 点2A，2B，2C，2D分别是lOA，lOB，lOC，lOD的中点
10、， 连接22A B，22B C，22C D，22D A， 得到菱形2222A B C D； ， 依此类推， 则菱形2009200920092009ABCD的面积为_ 三、三、解答题解答题 25阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形如图，矩形1111DCBA是矩形 ABCD 的“减半”矩形请你解决下列问题： （1）当矩形的长和宽分别为 9，1 时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，如果不存在，请说明理由；如果存在，请求出“减半”矩形的长宽 （2）边长为 a 的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半
11、”正方形的边长；如果不存在，请说明理由 26如图，古塔直立地面上，塔的中心线OP与地面上的射线OA成直角，为了测塔的大致高度，在地面上选取与点O相距50m的点A， 测得OAP， 用1cm代表10m（即1:1000的比例尺） ， 画线段AO， 再画射线AP、OP，使30PAOo，90POAo，AP、OP相交于P，量出PO的长（精确到1mm） ，再按比例尺换算出古塔的高 27如图 1，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，连结CP （1）求证：ADPCDP； （2）如图 2，延长AP交线段DC于点Q，交BC的延长线于点G，点M是GQ的中点，连结CM求证：PCMC； （3）如图 3，延长AP
12、交射线DC于点Q，交BC于点G，点M是GQ的中点，连结CM若2PM ，30BAP求AB的长 28若矩形的一个短边与长边的比值为512， （黄金分割数） ，我们把这样的矩形叫做黄金矩形 （1）操作：请你在如图所示的黄金矩形 ABCD（ABAD）中，以短边 AD 为一边作正方形 AEFD （2）探究：在（1）中的四边形 EBCF 是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由 （3）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具体有一般性的结论（不需证明） 29一个矩形 ABCD 的较短边长为 2 （1）如图，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长； （2） 如图， 已知矩形 ABCD
13、的另一边长为 4， 剪去一个矩形 ABEF 后， 余下的矩形 EFDC 与原矩形相似，求余下矩形 EFDC 的面积 30如图，点 E 是菱形 ABCD 对角线 CA 的延长线上任意一点，以线段 AE 为边作一个菱形 AEFG，且菱形AEFG菱形 ABCD，连接 EB，GD （1）求证：EBGD； （2）若DAB60 ，AB2，AG3，求 GD 的长 参考答案参考答案 1A 【分析】 根据相似形的对应边成比例，对应角相等，结合正方形，菱形，直角三角形，等腰三角形的性质与特点对各选项分析判断后利用排除法 【详解】 A、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故本选项正确
14、； B、两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误； C、两个直角三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误； D、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误 故选 A 【点拨】本题主要考查了相似图形的定义，比较简单，要从边与角两方面考虑 2C 【分析】 根据相似多边形的性质逐一进行判断即可得答案 【详解】 由题意得， A.菱形四条边均相等，所以对应边成比例，对应边平行，所以角也相等，所以两个菱形相似， B.等边三角形对应角相等，对应边成比例，所以两个等边三角形相似； C.矩形四个角相等，但对应边不一定成比例，所以
15、 B 中矩形不是相似多边形 D.正方形四条边均相等，所以对应边成比例，四个角也相等，所以两个正方形相似； 故选 C 【点拨】本题考查相似多边形的判定，其对应角相等，对应边成比例两个条件缺一不可. 3D 【分析】 根据题意和观察图形可知，重叠部分与菱形相似，根据重叠部分（图中阴影部分）的面积是菱形 ABCD 的面积的13，可得 CA与 CA 的比，从而可求 CA的长，即可求出菱形移动的距离 AA 【详解】 解：菱形与重叠部分相似，且它们面积比为 3：1， CA： CA=1：3，且3AC ， CA= 1， 则菱形移动的距离 AA是31 故选：D 【点拨】主要考查了平移的性质和坐标与图形的关系需要注
16、意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变 4B 【详解】 解：由于折叠一次后得到的等腰直角三角形与原等腰直角三角形是相似三角形， 得到的相似比=现在的斜边 原来的斜边=22， 折叠四次，所得小等腰直角三角形的周长是原等腰直角三角形周长的22124倍， 故选 B 5D 【分析】 先根据正方形的性质以及勾股定理，求得 DF 的长，再根据 DF=GF 求得 CG 的长，最后根据 CG 与 CD 的比值为黄金比，判断矩形 DCGH 为黄金矩形 【详解】 解：设正方形的边长为 2，则 CD=2，CF=1 在直角三角形 DCF 中，22125DF 5FG 51CG 512CGCD 矩形 DCGH 为黄金矩
17、形 故选：D 【点拨】本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念解题时注意，宽与长的比是512的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形 ABGH 也为黄金矩形 6A 【详解】 试题分析：根据题意得：ABAB，ACAC，BCBC， A=A，B=B， ABCABC， 甲说法正确； 乙：根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则 AB=CD=3+2=5，AD=BC=5+2=7， =，=， ， 新矩形与原矩形不相似 乙说法不正确 故选 A 考点：相似三角形的应用 7B 【分析】 根据相似多边形对应边的比相等，可得到一个方程，解方程即可求得 【详解】 解：四边形 ABCD 是矩形，宽 BCyc
18、m， AD=BC=ycm， 由折叠的性质得：AE=12AB=12x， 矩形 AEFD 与原矩形 ADCB 相似， AEADADAB，即12xyyx， x2=2y2， x=2y， 2xy 故选：B 【点拨】本题考查了相似多边形的性质、矩形的性质、翻折变换的性质；根据相似多边形对应边的比相等得出方程是解决本题的关键 8B 【解析】 分析：根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的对应边成比例列式计算即可得解 详解： 对折两次后的小长方形的长为 b， 宽为14a 小长方形与原长方形相似， 14abba， a=2b 即ba的值是12 故选 B 点睛：本题考查了相似多边形对应边成比例的性质，准确
19、表示出小长方形的长和宽是解题的关键 9B 【分析】 可设 AD=x，根据四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，可得比例式，求解即可 【详解】 解：沿 AE 将 ABE 向上折叠，使 B 点落在 AD 上的 F 点， 四边形 ABEF 是正方形， AB=2， 设 AD=x，则 FD=x-2，FE=2， 四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似， EFADFDAB， 222xx， 解得 x1=1+5，x2=1-5（负值舍去） ， 经检验 x1=1+5是原方程的解 故选 B 【点拨】考查了翻折变换（折叠问题） ，相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形 EFDC 与矩形 ABCD相似得到比例式
20、10D 【分析】 利用相似多边形的性质即可解决问题 【详解】 解：如图设 AD 交 EF 于 M，CD 交 FG 于 N 由题意，重叠部分四边形 MDNF 是菱形， 菱形 MFND菱形 ABCD， 212()SDFSBD， DFQ：1BF ：3， DF：1BD ：4， 2121()16SDFSBD， 故选 D 【点拨】考查菱形的性质、相似多边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识 11A 【分析】 根据矩形的性质求出点12AA、的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式求出kb、，从而得到一次函数解析式，再根据一次函数图像上点的坐标特征求出3A的坐标，然后求出3B的坐标，.，最后根据点的
21、坐标特征的变化规律写出nB的坐标即可. 【详解】 Q11,2B， 相似矩形的长是宽的2倍， Q点12BB、的坐标分别为 1,23,4， 120,21,4AA， Q点12AA、在直线ykxb上， 24bkb， 解得22kb， 22yx， Q点3A在直线22yx上， 2 328y ， 点3A的坐标为3,8， 点3B的横坐标为13872， 点37,8B， , nB的坐标为21,2nn. 故选：A. 【点拨】本题考查了相似多边形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，根据点A的系列坐标判断出相应矩形的长，再求出宽，然后得到点B的系列坐标的变化规律是解题的关键. 12B 【分析】 根据等边三角形的性质得出，
22、三角形的边长分别为1 1 1,.2 4 8 ，.即相邻三角形相似比为: 1: 2,进而求出即相邻三角形面积比,从而得出规律. 【详解】 解: 依次剪去一块更小的正三角形纸板，即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的12 三角形的边长分别为1 1 11, .2 4 8， 即相邻三角形相似比为: 1: 2, 即相邻三角形面积比为: 1: 4, 剪去一块的正三角形纸板面积分别为:133 11331=22422416 ， 第 n 个纸板的面积为: 2nn33=24 第 2020 个纸板的面积为: 202034 故选：B 【点拨】此题主要考查了等边三角形的性质与数据的规律性知识，此题得出相邻三角形面积比
23、，从而表示出各三角形面积是解决问题的关键. 139：14 【详解】 试题解析：由题意得，、都是等腰直角三角形， ，这两块的面积比依次为 1：4， 设的直角边为 x， 的直角边为 2x， ，这两块的面积比依次为 1：41， ： （+）=1：42， 即12x2：3xy=1：42，y=7x， 的面积为 6x 6x 2=18x2，的面积为 4x 7x=28x2， ，这两块的面积比是 18x2：28x2=9：14 考点：相似三角形的性质 14不变， 4 倍 【详解】 放大后的三角形与原三角形相似 A 的度数不变 放大前后,两相似三角形的相似比为 12 它们的面积比为 14,即放大后面积为原来的 4 倍.
24、故答案为：(1). 不变， (2). 4 倍. 154043( 3)2 【分析】 根据题意，可以求得菱形 ABCD 的面积，再根据题意，可以知所有的菱形都相似，即可得到菱形AC2020C2021D2021的面积 【详解】 解：作 CEAB 交 AB 的延长线于点 E，如右图所示， 由已知可得， ABC120 ，BC1，CAB30 ， CBE60 ， BCE30 ， CE32， AC3， 菱形 ABCD 的面积是 13232， ACAB31，图中的菱形都是相似的， 菱形 AC2020C2021D2021的面积为：32 （31）2202132 （3）40424043( 3)2， 故答案为：4043
25、( 3)2 【点拨】本题考查了图形的相似、菱形的性质、图形的变化类，解题的关键是明确题意，发现图形的变化特点，利用数形结合的思想解答 161.6 【分析】 相似多边形的对应边成比例，根据相似多边形的性质即可解决问题 【详解】 解：四边形 ABCD四边形 ABCD， CD：CDBC：BC， BC3，CD2.4，BC2， CD1.6， 故答案为：1.6 【点拨】本题考查了相似图形，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质 17512 【解析】 【分析】 根据截去的最大的正方形的边长应该是 b，把这个矩形截去一个最大的正方形后余下的矩形与原矩形相似，根据对应边的比相等列出算式，计算即可 【详解】 由题意
26、得：abbab，即220aabb，解得152ab. 则152ab. 故答案为：152. 【点拨】本题考查的知识点是相似多边形的性质，解题的关键是熟练的掌握相似多边形的性质. 1815 【分析】 根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可 【详解】 矩形 CDFE矩形 ADCB， CDADDFCD，即2AD22AD， 整理得，AD22AD40， 解得，AD115（舍去） ，AD215， 故答案为：15 【点拨】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键 197 【解析】 试题分析：如图所示 设 DM=x，DM=y，则 AM=4x， 根据题意得：四边形 MNPQ矩形 BC
27、FE， AMQFPN，PN=FC，MN=BC=4，MNO=PFN=D=90 ， AM=FP=4x，DMN=PNF， DMNFNP， DMDNMNFNPFPN， 即44xyFNxPN， FN=(4)xxy，PN=4(4) xy， 根据题意得：2216(4)4(4)6xyxxxyyy， 解得：73xy，或40 xy（舍去） ， DM=7； 故答案为7 考点：矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、方程组的解法等 20 （1） （4） （7） （8） （2） （3） （5） （6） 【分析】 根据正方形、矩形、菱形、等边三角形、等腰三角形、等腰梯形、等腰直角三角形及正五边形的性质
28、进行判断即可 【详解】 解： （1）正方形的四条边相等，四个角都等于 90 ，所以对应边成比例，对应角都相等，所以所有的正方形都相似； （2）矩形的四个角都等于 90 ，但对应边不一定成比例，所以所有的矩形不一定相似； （3）菱形的四条边相等，对应边成比例，但对应角不一定相等，所以所有的菱形不一定相似； （4）等边三角形的三条边相等，三个角都等于 60 ，所以所有的等边三角形的对应边都成比例，对应角都相等，所以所有的等边三角形都相似； （5）等腰三角形的两条边相等，两个底角相等，但所有等腰三角形的对应边不一定成比例，对应角也不一定相等，所以所有的等腰三角形不一定相似； （6）等腰梯形的两条腰相
29、等，两对底角相等，但所有等腰梯形的对应边不一定成比例，对应角也不一定相等，所以所有的等腰梯形不一定相似； （7）所有的等腰直角三角形都有两个 45 角和一个 90 角，所以所有等腰直角三角形的对应角都相等，所以所有的等腰直角三角形都相似； （8）正五边形的五条边相等，五个角相等，所以所有对应边成比例，对应角都相等，所以所有的正五边形都相似 所以（1） （4） （7） （8）一定相似； （2） （3） （5） （6）不一定相似 故答案为： （1） （4） （7） （8） ； （2） （3） （5） （6） 【点拨】本题考查了相似图形的知识，熟练掌握各特殊图形的性质是解题的关键，难度一般 2151
30、2 【分析】 可设 AD=x，根据四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，可得比例式，求解即可 【详解】 沿 AE 将 ABE 向上折叠，使 B 点落在 AD 上的 F 点， 四边形 ABEF 是正方形， AB=1， 设 AD=x，则 FD=x1，FE=1， 四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似， EFADFDAB， 1x=x-11， 解得 x1=1+ 52,x2=1- 52 (负值舍去)， 经检验 x1=1+ 52是原方程的解. 【点拨】本题考查了折叠的性质及相似多边形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键. 223 54 【分析】 根据题意利用正方形的性质求出BDH是等腰直角三角形，设
31、BEx，则ECx，2ADBDx，根据题意列出方程即可解答 【详解】 设BEx，则ECx，2ADBDx， 四边形ABGF是正方形， 45ABFo， BDH是等腰直角三角形， 2BDDHx， 15SDH AD，即225xx， 254x ， 2BDx，BEx， 223222SMH BDxxxx， 23SEN BEx xx， 222233 5234SSxxx， 故答案为3 54 【点拨】此题考查正方形的性质，相似多边形的性质，解题关键在于求出BDH是等腰直角三角形 234:9 【分析】 设小正方形的边长为 x，再根据相似的性质求出 S1、S2与正方形面积的关系，然后进行计算即可得出答案 【详解】 解：
32、设小正方形的边长为 x，根据图形可得： EFAC=13， 1DACSSV=19， 1ABCDSS正方形=118， S1=118S正方形ABCD， S1=118x2， 2ABCSSV=14， 2ABCDSS正方形=18， S2=18S正方形ABCD， S2=18x2， S1:S2=118x2: 18x2=4:9. 故答案是：4:9. 【点拨】本题考查了正方形的性质，解题的关键是熟练的掌握正方形的性质. 2420091( )4（或200914） 【分析】 根据面积的比等于相似比的平方进行计算，菱形 AlBlClDl的面积等于菱形 ABCD 的面积的14 ，即为14；菱形 A2B2C2D2的面积等于
33、菱形 AlBlClDl的面积的14，即214，依此类推，则菱形 A2009B2009C2009D2009的面积为200914 【详解】 解：点 Al，Bl，Cl，Dl分别是 OA，OB，OC，OD 的中点， 11A BAB12， 易知：菱形 AlBlClDl菱形 ABCD， 菱形 ABCD 的面积为 l， 菱形 AlBlClDl的面积等于14， 菱形 A2B2C2D2的面积等于菱形 AlBlClDl的面积的14，即214， 依此类推，菱形 A2009B2009C2009D2009的面积为200914 故答案为200914（或200914） 【点拨】本题考查了菱形的相似和性质，注意：相似形的面积
34、的比等于相似比的平方 25 （1）存在，长为92，宽为12； （2）不存在，见解析 【分析】 （1）设“减半”矩形的长为 x，则宽为 5-x，根据“减半”矩形的定义列出方程求解即可 （2）根据两个正方形是相似图形，面积比是相似比的平方可知不存在“减半”正方形 【详解】 解： （1）存在“减半”矩形； 设“减半”矩形的长为 x，则宽为 5-x， 由题意得：x(5-x)=92， 解得：x1=92，x2=12； “减半”矩形的长为92，宽为12； （2）不存在 因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为12时，面积比必定是14， 所以正方形不存在“减半”正方形 【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，
35、相似图形的性质，关键是要知道相似图形的面积比与周长比的关系 2629m 【解析】 【分析】 （1）根据题意画出图形即可，量出 PO 大约的长度，根据比例尺计算出古塔的实际高度即可. 【详解】 1椐题意画出图形如图所示，其中 AO5cm，PAO30o，POA90o； 2量出PO约为2.9cm； 3设塔的实际高度为xm，据题意，得10.0291000 x， x29， 古塔的实际高度为29m 【点拨】本题考查根据比例尺计算实际高度，比例尺=图上距离：实际距离，熟练掌握比例尺公式是解题关键. 27 （1）见解析； （2）见解析； （3）332 【分析】 （1）利用正方形的对角线的性质和SAS定理即可证
36、明； （2） 根据正方形的性质可得出ADPCDP、ADCD， 结合DPDP即可证出()ADPCDP SAS ，根据全等三角形的性质可得出DCPDAG，由/ADBG可得出DAGG ，进而得出DCPG ，由直角三角形斜边上中线等于斜边的一半可得出MCQMQC ，再结合G、MQC互余，即可证出90DCPMCQ，即PCMC； （3）首先证明出CGM为等边三角形，再由题意算出1CG，再根据30BAP，利用直角三角形三边关系，建立方程求解即可 【详解】 （1）证明：QBD为正方形ABCD的对角线， ADPCDP，ADCD 在ADP和CDPV中,ADCDADPCDPDPDP， ADPCDPV(SAS) （2
37、）QADPCDPV，.DCPDAG 又Q四边形ABCD为正方形， /AD BG， DAGG DCPG 又Q90QCG，M为GQ中点， CMQM， MCQMQC 又Q90GMQC， 90DCPMCQ， PCMC （3）QM为QG的中点，90QCG，GMCMQM， Q/AB CQ，30BAPQ ，CGM为等边三角形， 由（2）得，90PCM，1PGGM，1CG， 设ABx，则1BGx，由题意得：31xx，解得332xAB 【点拨】 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、 直角三角形的性质以及三角形内角和定理，等边三角形，锐角三角函数，解题的关键是：掌握相关的知识点，零用运用，需要添加适当
38、的辅助线 28 （1）见解析； （2）矩形 EBCF 不是黄金矩形，理由见解析； （3）若以黄金矩形的短边为边在矩形内作（截割）正方形，则剩余矩形必为黄金矩形. 【分析】 （1）如图，分两种情况：正方形中，AD 的对边在矩形的内部或外部； （2）矩形 EBCF 不是黄金矩形， 设 AB=a，AD=b（ab） ，则 BE=BA+AE=a+b，BE=BA-EA=a-b，由已知得 ba=512，所以BCBE=bab=ba （1+ba）=512 （1+512）=352512，对应边不成比例，故矩形 EBCF 不是黄金矩形；矩形 EBCF是黄金矩形， 理由：E BBC=abb=（1-ba）ba=（1-5
39、12）512=512，即对应边成比例，故两个矩形相似. （3）由（1） 、 （2）可发现结论：若以黄金矩形的短边为边在矩形内作（截割）正方形，则剩余矩形必为黄金矩形. 【详解】 解： （1）以 AD 为边可作出两个正方形 AEFD 与 AEFD（ABAD） ，如图所示 （2）矩形 EBCF 不是黄金矩形，理由如下： 设 AB=a，AD=b（ab） ，则 BE=BA+AE=a+b，BE=BA-EA=a-b， 由 ABCD 为黄金矩形，得ba=512 BCBE=bab=ba （1+ba）=512 （1+512）=352512 矩形 EBCF 不是黄金矩形; 矩形 EBCF是黄金矩形. 证明：如图，
40、E BBC=abb=（1-ba）ba=（1-512）512=512 EBCF是黄金矩形 （3）由（1） 、 （2）可发现结论：若以黄金矩形的短边为边在矩形内作（截割）正方形，则剩余矩形必为黄金矩形. 【点拨】本题考核知识点：相似多边形. 解题关键点：熟记对应边成比例且对应角相等的多边形相似. 29 （1）2 2； （2）2. 【分析】 （1）设它的另一边长为 2x，则 AM=DM=x，根据相似多边形的性质得AMAB=ABAD，即x2=22x，然后解方程求出 x 则可得到矩形 ABCD 的另一边长； （2）设 DF=a，根据相似多边形的性质得CDAD=DFAB，即24=2DF，然后利用比例性质求
41、出 DF，再利用矩形面积公式计算矩形 EFDC 的面积. 【详解】 解： 1由已知得2MNAB，1122MDADBC， 沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似， 矩形DMNC与矩形ABCD相似，DMMNABBC， DM BCAB MN，即2142BC ， 2 2BC ，即它的另一边长为2 2； 2矩形EFDC与原矩形ABCD相似， DFCDABBC， 2ABCD，4BC ， 1AB CDDFBC， 矩形EFDC的面积2 12CD DF 【点拨】本题考查了相似多边形的性质：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比. 30 （1）见解析；
42、（2）GD13 【分析】 （1）用 SAS 证明 AEBAGD 即可得到 EBGD； （2）连接 BD.由（1）可知，求出 EB 即可得到 GD 的长.依次求出 BP、AP、EP 的长即可解决问题. 【详解】 （1）证明：菱形 AEFG菱形 ABCD， EAGBAD， EAG+GABBAD+GAB， EABGAD， AEFG 是菱形，ABCD 是菱形， AEAG，ABAD， AEBAGD， EBGD； （2）解：连接 BD 交 AC 于点 P，则 BPAC， DAB60 ， PAB30 ， BP12AB1， AP22ABBP3，AEAG3， EP23， EB22EPBP12 113， GD13 【点拨】本题考查了相似多边形的性质及菱形的性质，利用菱形对角线互相垂直平分构造的直角三角形进行计算是解题的关键.