1、溧阳市溧阳市20202021学年度学年度九年级九年级第一学期期末质量调研测试数学试题第一学期期末质量调研测试数学试题 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 16 分每小题给出的四个选项中只有一个选项正分每小题给出的四个选项中只有一个选项正确）确） 1. 方程3tan3a ，则锐角a=（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 无法确定 2. 数据 3，1，2，4，2，2 的众数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 如果两个相似三角形的相似比为 4：3，那么这两个相似三角形的面积比为（ ） A. 2：3 B. 4：3 C.
2、16：9 D. 256：81 4. 在四张完全相同的卡片上，分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆，现从中随机抽取一张，卡片上的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（ ） A. 14 B. 12 C. 34 D. 1 5. 如图，O 半径为 5，PC切O于点 C，PO交O于点 A，PA=4，则 PC的长为（ ） A. 6 B. 2 5 C. 2 10 D. 2 14 6. 小明身高为 1.6米，他在距路灯 5 米处的位置发现自己的影长为 1米，他继续向前走，当他距离路灯为 7米时，他的影长将（ ） A. 增长 0.4米 B. 减少 0.4 米 C. 增长 1.4 米 D. 减少 1.4
3、米 7. 已知ABC是半径为 2的圆内接三角形，若 BC=2 3，则A的度数（ ） A. 30 B. 60 C. 120 D. 60 或 120 8. 如图，二次函数2yaxbxc的图像开口向上，它的顶点的横坐标是 1，图像经过点（3，0） ，下列结论中，abc0，2ab=0，24bac0，-a bc0，正确的有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题每小题小题每小题 2分，共分，共 20 分，不需写出解答过程，请把答案直接填分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）写在答题卡相应位置上） 9. 0co
4、s60= _. 10. 如果 3a4b0（其中 a0 且 b0） ，则 a：b_ 11. 二次函数21yx的顶点坐标为_ 12. 半径为 2，圆心角为 120 扇形弧长为_ 13. 如果关于 x 的方程2x2xm0（m为常数）有两个相等实数根，那么 m_ 14. 某小区 2010 年屋顶绿化面积为 2000 平方米，计划 2012年屋顶绿化面积要达到 2880 平方米如果每年屋顶绿化面积增长率相同，那么这个增长率是_ 15. 如图，在 2 4 的方格中，两条线段的夹角（锐角）为1，则 sin1=_ 16. 设 A （-2， y1） ， B （1， y2） ， C （2， y3） 是抛物线 y=
5、x2-x-2 上的三点， 则 y1、 y2、 y3的大小关系为_ 17. 如图，正方形ABCD的边长为1，点E为AB的中点，以E为圆心，1 为半径作圆，分别交ADBC、于MN、两点，与DC切于P点则图中阴影部分的面积是_ 18. 如图， 点 P在正方形 ABCDBC 边上， 连接 AP， 作 AP的垂直平分线， 交 AD延长线于点 E， 连接 PE，交 CD于点 F若点 F 是 CD的中点，则 tanBAP=_ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 64分请在答卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、分请在答卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
6、演算步骤或推理过程） 19. 解下列方程： （1）2230 xx； （2）225 -30 xx 20. 计算： （1）cos301tan45oo； （2）4sin302cos453tan60ooo 21. 一只不透明的箱子里共有 3 个球，其中 2个白球，1 个红球，它们除颜色外均相同 （1）从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是_； （2）从箱子中随机摸出一个球，记录下颜色后将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，请你用列表或画出树状图的方法，求出两次摸出的球都是白球的概率 22. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的ABC就是格
7、点三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，点 C 的坐标为（0，1） （1）在如图方格纸中把ABC 以点 O 为位似中心扩大，使放大前后的位似比为 1：2，画出A1B1C1（ABC与A1B1C1在位似中心 O点的两侧，A，B，C的对应点分别是 A1，B1，C1） （2）利用方格纸标出A1B1C1外接圆的圆心 P，P点坐标是 ，P 的半径= （保留根号） 23. 传统节日“春节”到来之际，某商店老板以每件 60 元的价格购进一批商品，若以单价 80 元销售，每月可售出 300 件.调查表明：单价每上涨 1 元，该商品每月的销售量就减少 10 件 （1）请写出每月销售该商品的利润 y（元）与单价 x
8、（元）间的函数关系式； （2）单价定为多少元时，每月销售商品利润最大？最大利润为多少？ 24. 如图，点 C、D分别在扇形 AOB的半径 OA、OB的延长线上，且 OA=5，AC=3，CD 平行于 AB，与弧AB 相交于点 M、N （1）求线段 OD 的长； （2）若 tanC=34，求弦 MN的长 25. 如图，在某市景区主干道路旁矗立着一块景区指示牌，小明驾驶汽车由东向西行驶，到达点 C处，测得景区指示牌的上沿 M 处仰角为 30 ；前进 8 米后到达 B 处，测得景区指示牌的下沿 N 处仰角为 45 ，再前进4 米后到达景区指示牌底部 A 处，求指示牌的高 MN长（结果精确到 0.1 米
9、，2=1.414，3=1.732） 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线213442yxx， y 与x轴交于 A、B 两点，与y轴交于点 C （1）求点 A、B、C的坐标； （2）如图 1，连接 BC，点 D 是抛物线上一点，若DCB=ABC，求点 D的坐标； （3）如图 2，若点 P在以点 O 为圆心，OA 长为半径作的圆上，连接 BP、CP，请你直接写出12CP+BP的最小值 溧阳市溧阳市20202021学年度九年级第一学期期末质量调研测试数学试题学年度九年级第一学期期末质量调研测试数学试题 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 16 分
10、每小题给出的四个选项中只有一个选项正分每小题给出的四个选项中只有一个选项正确）确） 1. 方程3tan3a ，则锐角a=（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可 【详解】解：3tan3a 30 ， 故选：A 【点睛】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现 2. 数据 3，1，2，4，2，2众数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数定义进行判断，即可得出结论 【详解】解：数据 3，1，2，4，2，2 中，出现次数最多的数据是 2，所以这组
11、数据的众数是 2 故选：B 【点睛】本题考查了众数，熟练掌握众数的定义是解题的关键 3. 如果两个相似三角形的相似比为 4：3，那么这两个相似三角形的面积比为（ ） A. 2：3 B. 4：3 C. 16：9 D. 256：81 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可直接得出结果 【详解】解：两个相似三角形的相似比为 4：3， 这两个相似三角形的面积比为 16：9 故选：C 【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积的比等于相似比的平方 4. 在四张完全相同的卡片上，分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆，现从中随机抽取一张，卡片上的图形既是轴对称图
12、形又是中心对称图形的概率是（ ） A. 14 B. 12 C. 34 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由等腰三角形、平行四边形、矩形、圆中是轴对称图形和中心对称图形的有矩形、圆，直接利用概率公式求解即可求得答案 【详解】解：等腰三角形、平行四边形、矩形、圆中是中心对称图形的有平行四边形、矩形、圆， 是轴对称图形的有等腰三角形、矩形、圆， 既是轴对称又是中心对称图形的有矩形、圆， 现从中随机抽取一张，卡片上画的图形恰好是中心对称图形的概率是12， 故选：B 【点睛】此题考查概率公式：如果一个事件有 n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m种结果，那么事件 A的概率( )
13、mP An也考查了中心对称图形的定义 5. 如图，O 半径为 5，PC切O于点 C，PO交O于点 A，PA=4，则 PC的长为（ ） A. 6 B. 2 5 C. 2 10 D. 2 14 【答案】D 【解析】 【分析】延长 AO交O于 B，连接 AC，证明 PACPCB，进而得到 PC2=PAPB即可求出 PC的长 【详解】解：如下图所示：连接 OC，延长 AO交O于 B，连接 AC，BC， AB为直径，1+2=90 ， OC=OA，1=3， PC 为圆的切线，3+4=90 ， 2=4， 又P=P， PCAPBC， =PCPAPBPC，即24 (104)56 PCPA PB， 2 14PC，
14、 故选：D 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，圆的切线及圆周角定理等，熟练掌握圆的性质及相似三角形的性质和判定是解决本题的关键 6. 小明身高为 1.6米，他在距路灯 5 米处的位置发现自己的影长为 1米，他继续向前走，当他距离路灯为 7米时，他的影长将（ ） A. 增长 0.4 米 B. 减少 0.4 米 C. 增长 1.4 米 D. 减少 1.4 米 【答案】A 【解析】 【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的光线三者构成的两个直角三角形相似解答 【详解】解：设路灯距地面的高度是 x米， 小明身高为 1.6米，他在距路灯 5 米处的位置
15、发现自己的影长为 1米， 11.615x， x=9.6， 设他在向前走距离路灯为 7 米时，他的影长为 y米， 他在向前走距离路灯为 7 米， 1.69.67yy， y=1.4， 他的影长将增长 0.4米， 故选：A 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，根据题意得出三角形相似是解题关键 7. 已知ABC是半径为 2的圆内接三角形，若 BC=2 3，则A的度数（ ） A. 30 B. 60 C. 120 D. 60 或 120 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题意画出图形，然后由圆周角定理与含 30 角的直角三角形的性质，求得答案 【详解】解：如图，作直径 BD，连接 CD，则BCD=
16、90 ， ABC是半径为 2的圆内接三角形，BC=2 3， BD=4， CD=22BDBC=2， CD=12BD， CBD=30 ， A=D=60 ， A=180-A=120 ， A的度数为：60 或 120 故选：D 【点睛】此题考查了圆周角定理与含 30 角的直角三角形的性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用 8. 如图，二次函数2yaxbxc的图像开口向上，它的顶点的横坐标是 1，图像经过点（3，0） ，下列结论中，abc0，2ab=0，24bac0，-a bc0，正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象开口向上
17、，判断 a 大于 0，与 y轴交于负半轴，判断 c 小于 0，对称轴为直线 x1，判断 b0，据此对作出判断；根据对称轴为直线 x1，即可对作出判断；根据二次函数图象与 x轴有两个交点，即可对作出判断;根据二次函数对称轴为直线 x1，图象经过（3，0） ，进而得到二次函数图象与 x 轴另一个交点为（1，0） ，坐标代入解析式，即可对作出判断 【详解】解：二次函数图象开口向上， a0， 二次函数图象与 y轴交于负半轴， c0， 二次函数图象的对称轴是直线 x1， 2ba1， b0，2ab0， abc0， 正确，正确， 二次函数与 x 轴有两个交点， b24ac0，错误， 二次函数图象经过（3，0
18、） ，对称轴为 x1， 二次函数图象与 x 轴另一个交点为（1，0） ， abc0，错误； 综上正确 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数图象与系数的关系并灵活运用所学知识，学会利用图象信息解决问题，学会用转化的思想思考问题是解题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题每小题小题每小题 2分，共分，共 20 分，不需写出解答过程，请把答案直接填分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）写在答题卡相应位置上） 9. 0cos60= _. 【答案】12. 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值填空即可. 【详解】由特殊角的三角函数值，能
19、够确定cos60=12. 故答案是12 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解决本题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值. 10. 如果 3a4b0（其中 a0 且 b0） ，则 a：b_ 【答案】43 【解析】 【分析】先将 3a4b0转化为 3a4b，再根据比例的基本性质，可求得 a：b 的值 【详解】解：3a4b0， 3a4b， a：b4：343， 故答案为：43. 【点睛】此题主要考查比例的性质，解题的关键是熟知比例的变形. 11. 二次函数21yx的顶点坐标为_ 【答案】01 ， 【解析】 【分析】利用顶点式即可直接找到顶点坐标. 【详解】解：由顶点式可知 y=x2+1 的顶点为（0
20、，1）. 【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标，属于简单题，熟悉二次函数的性质是解题关键. 12. 半径为 2，圆心角为 120 的扇形弧长为_ 【答案】43 【解析】 【分析】把已知数据代入弧长公式计算，得到答案 【详解】解：扇形的弧长=120241803 故选：B 【点睛】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式：180n rl是解题的关键 13. 如果关于 x 的方程2x2xm0（m为常数）有两个相等实数根，那么 m_ 【答案】1 【解析】 【分析】 【详解】析：本题需先根据已知条件列出关于 m的等式，即可求出 m的值 解答：解：x 的方程 x2-2x+m=0（m为常数）有两个相等实数根 =
21、b2-4ac=（-2）2-4 1m=0 4-4m=0 m=1 故答案为 1 14. 某小区 2010 年屋顶绿化面积为 2000 平方米，计划 2012年屋顶绿化面积要达到 2880 平方米如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_ 【答案】20% 【解析】 【详解】分析：本题需先设出这个增长率是 x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出 x 的值，即可得出答案 解答：解：设这个增长率是 x，根据题意得： 2000 （1+x）2=2880 解得：x1=20%，x2=-220%（舍去） 故答案为 20% 15. 如图，在 2 4 的方格中，两条线段的夹角（锐角）为1，则 sin1=
22、_ 【答案】22 【解析】 【分析】解：如图添加字母，过 A作 ABED，可得1=CAB，连结 BC，在ABC中由勾股定理 AC=223 +1 = 10，AB =222 +1 = 5，BC=221 +2 = 5，由 AB2+BC2=5+5=10=AC2，证得ABC=90 ，由AB=BC 可得CAB=45 ，利用三角函数定义 sinCAB=52210BCAC。 【详解】解：如图添加字母，过 A 作 ABED，使 AB=ED， 1=CAB， 连结 BC， ABC中， AC=223 +1 = 10， AB =222 +1 = 5，BC=221 +2 = 5， AB2+BC2=5+5=10=AC2，
23、ABC=90 ，AB=BC， CAB=45 ， sinCAB52210BCAC， 故答案为：22 【点睛】本题主要考查了勾股定理及逆定理，以及锐角三角函数关系，正确得出ABCV是直角三角形是解题关键 16. 设 A （-2， y1） ， B （1， y2） ， C （2， y3） 是抛物线 y=x2-x-2 上的三点， 则 y1、 y2、 y3的大小关系为_ 【答案】132yyy 【解析】 【分析】根据二次函数的性质得到抛物线 yx2x-2（x-12）2-94，开口向下，对称轴为直线 x12，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小 【详解】解：抛物线 yx2x-2（x-12）2-94，开
24、口向下，对称轴为直线 x12， 在对称轴的右侧，y随 x 的增大而增大， 由12-(-2)= 52， x=52与 x=-2 关于 x=12对称，x=52时的函数值为 y1 由5221， y1y3y2 故答案为：y1y3y2 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式也考查了二次函数的性质 17. 如图，正方形ABCD边长为1，点E为AB的中点，以E为圆心，1为半径作圆，分别交ADBC、于MN、两点，与DC切于P点则图中阴影部分的面积是_ 【答案】3164 【解析】 【分析】 【详解】解：连接 MN， Q 正方形ABCD的边长为1， 点E为AB的中点， 以E
25、为圆心， 1为半径作圆， 分别交ADBC、于MN、两点， 90 ,ABAEBE EMEN AEMBEN， ,AMBN 四边形AMNB为矩形， 1,MNAB EMN是等边三角形， MEN=60 ， 所以 S扇形MEN=601,3606 223,2AMMEAEQ 而 S AEM=38， 所以图中阴影部分的面积=正方形的面积-扇形的面积-2 AEM的面积=33121.6864 故答案为： 3164 18. 如图， 点 P在正方形 ABCD 的 BC 边上， 连接 AP， 作 AP的垂直平分线， 交 AD 延长线于点 E， 连接 PE，交 CD于点 F若点 F 是 CD的中点，则 tanBAP=_ 【
26、答案】13 【解析】 【分析】首先根据点 F 是 CD 的中点，结合正方形的性质可得出EDFPCF，则设 CF=x，BP=y，从而分别表示出 PF和 EP，再结合垂直平分这个条件建立关于 x，y 的等式，通过变形整体求出yx的值，最后根据题意判断合理的结果即可 【详解】点 F是 CD的中点， DF=CF， 又PFC=EFD，C=EDF=90 ， EDFPCF(ASA)， CP=DE，PF=EF， 设 CF=x，BP=y， 则 CD=2CF=2x，CP=DE=BC-BP=2x-y， 22222PFPCFCxyx， 22222EPPFxyx， EH垂直平分 AP， AE=EP， 即：222222x
27、xyxyx， 整理得：22438xyxy， 即：2438yyxx， 令ymx，则23840mm， 3220mm， 解得：23m 或2m， 122BPytanBAPmABx， 点 P在正方形 ABCD的 BC 边上， 45tanBAPtan， 即：1tanBAP， 取23m 符合题意，此时121233tanBAP， 故答案为：13 【点睛】本题主要考查求角的正切值，涉及到全等三角形的判定与性质，以及换元法求解一元二次方程等知识点，灵活结合正方形的性质，以及整体思想建立方程并求解是解题关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 64分请在答卡指定区域内作答，解答时应写出文
28、字说明、分请在答卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、演算步骤或推理过程）演算步骤或推理过程） 19. 解下列方程： （1）2230 xx； （2）225 -30 xx 【答案】 （1）121,3xx ； （2）12132xx ， 【解析】 【分析】 （1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可 【详解】解： （1）2230 xx (1)(3)0 xx 1030 xx ， 121,3xx ； （2）22530 xx (21)(3)0 xx 21030 xx ， 12132xx ， 【点睛】本题考查了解一元二次方程
29、的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键 20. 计算： （1）cos301tan45oo； （2）4sin302cos453tan60ooo 【答案】 （1）34； （2）4 【解析】 【分析】 （1）先把函数值代入，再进行二次根式的除法即可； （2）先把函数值代入，再进行二次根式的乘法，最后合并同类项即可 【详解】解（1）cos301tan45oo， =321 1， =34； （2）4sin302cos453tan60ooo， =12423322， =2 1 3 ， =4 【点睛】本题考查特殊三角函数值化简求值问题，掌握特殊的三角函数值及二次根式混合运算法则是解题关键 21.
30、一只不透明箱子里共有 3个球，其中 2 个白球，1个红球，它们除颜色外均相同 （1）从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是_； （2）从箱子中随机摸出一个球，记录下颜色后将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，请你用列表或画出树状图的方法，求出两次摸出的球都是白球的概率 【答案】 （1）23； （2）49 【解析】 【分析】 （1）总共有 3 个球，其中 2 个是白球，则根据概率公式直接求解即可； （2）先按题意画出树状图，根据树状图分析即可 【详解】 （1）总共有 3 个球，其中 2 个是白球，1 个红球， 则根据概率公式从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是 P=23 （2）记两个白球分别为白 1，
31、白 2， 如图所示： 从树状图可看出：事件发生的所有可能的结果总数为 9，两次摸出球的都是白球的（记事件 A）结果总数为4， P(A)=49 【点睛】本题主要考查了根据概率公式计算概率，列树状图求解概率，准确根据题意画出树状图是解题关键 22. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的ABC就是格点三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，点 C 的坐标为（0，1） （1）在如图的方格纸中把ABC以点 O为位似中心扩大，使放大前后的位似比为 1：2，画出A1B1C1（ABC与A1B1C1在位似中心 O点的两侧，A，B，C的对应点分别
32、是 A1，B1，C1） （2）利用方格纸标出A1B1C1外接圆的圆心 P，P点坐标是 ，P 的半径= （保留根号） 【答案】 （1）作图见解析； （2） （3，1） ，10 【解析】 【详解】 （1）如图，A1B1C1为所作； （2）点 P 的坐标为（3，1） ， PA1=223110 ， 即P 的半径为10 故答案为（3，1） ；10 23. 传统节日“春节”到来之际，某商店老板以每件 60 元的价格购进一批商品，若以单价 80 元销售，每月可售出 300 件.调查表明：单价每上涨 1 元，该商品每月的销售量就减少 10 件 （1）请写出每月销售该商品的利润 y（元）与单价 x（元）间的函数
33、关系式； （2）单价定为多少元时，每月销售商品的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】 （1）y=-10 x2+100 x+6000（0 x30） ； （2） 单价定为 5 元时，每月销售商品的利润最大，最大利润为 6250 元. 【解析】 【分析】 （1） 单价上涨 x （元） ， 由单价每上涨 1 元， 该商品每月的销量就减少 10 件得到销售量为 （300-10 x）件，根据利润等于销售价减成本得到每件的利润为（80-60+x） ，因此每月销售该商品的利润 y等于月销售量 每件的利润； （2）把（1）得到的函数关系式进行配方得到 y=-10（x-5）2+6250，然后根据二次函数的最值问题
34、易得到单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大 【详解】解 ： （1）y=（80-60+x） （300-10 x） =-10 x2+100 x+6000（0 x30） ； （2）y=-10 x2+100 x+6000 =-10（x-5）2+6250 a=-100， 当 x=5 时，y有最大值，其最大值为 6250， 即：单价定为 5 元时，每月销售商品的利润最大，最大利润为 6250元. 24. 如图，点 C、D分别在扇形 AOB的半径 OA、OB的延长线上，且 OA=5，AC=3，CD 平行于 AB，与弧AB 相交于点 M、N （1）求线段 OD 的长； （2）若 tanC=34，求弦 M
35、N的长 【答案】 （1）OD=8； （2）145MN 【解析】 【分析】 （1） 根据 CDAB可知， OABOCD， 再根据相似三角形的对应边成比例即可求出 OD的长； （2）过 O 作 OECD，连接 OM，由垂径定理可知12MEMN，再根据34tan C 可求出 OE 的长，利用勾股定理即可求出 ME的长，进而求出答案 【详解】解： （1）CDAB， OAB=OCD，OBA=ODC， OABOCD， OAOBOCOD， 即OAOBOAACOD， 又 OA=5，AC=3， OB=3， 5553OD， 8OD ； （2）如图，过 O作 OECD，连接 OM，则 ME=12MN， tanC=3
36、4 ，即34OECE ， 设3OEx ，则4CEx ， 在 Rt OEC 中，222OCOECE，即222834xx （），解得85x ， 245OE，325CE 在 Rt OME中，222OMOEME ，即2222455ME，解得75ME 145MN 【点睛】本题考查的是垂径定理，涉及到锐角三角函数的定义、相似三角形的判定与性质及勾股定理，根据题意作出辅助线是解答此题的关键 25. 如图，在某市景区主干道路旁矗立着一块景区指示牌，小明驾驶汽车由东向西行驶，到达点 C处，测得景区指示牌的上沿 M 处仰角为 30 ；前进 8 米后到达 B 处，测得景区指示牌的下沿 N 处仰角为 45 ，再前进4
37、 米后到达景区指示牌底部 A 处，求指示牌的高 MN长（结果精确到 0.1 米，2=1.414，3=1.732） 【答案】MN2.9 米 【解析】 【分析】通过两次解直角三角形计算出 AN和 AM，再根据 AM-AN即可求出 MN的长 【详解】解：汽车由东西行驶到 C处，测得景区指示牌的上沿 M 处仰角为 30 ， MCA=30 ， 前进 8米后到达 B处，测得景区指示牌的下沿 N处仰角为 45 ， BC=8m，=45ABNANB 前进 4米后到达景区指示牌底部 A处， AB=AN=4m AC=AB+BC=4+8=12m ACM=30 330 =123AMAMtanAC 4 3AM 3=1.7
38、32 4 344 1.73242.9282.9MNAMAN （米） 答：指示牌的高 MN 长约为 2.9 米 【点睛】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线213442yxx， y 与x轴交于 A、B 两点，与y轴交于点 C （1）求点 A、B、C的坐标； （2）如图 1，连接 BC，点 D 是抛物线上一点，若DCB=ABC，求点 D的坐标； （3）如图 2，若点 P在以点 O 为圆心，OA 长为半径作的圆上，连接 BP、CP，请你直接写出12CP+BP的最小值 【答案】 （1）2 0A ，8
39、0B，0, 4C； （2）16, 4D，234 100,39D； （3）65 【解析】 【分析】 （1）通过解方程213442xx=0 可得 A 点和 B 点坐标，再计算自变量为 0 时的函数值可得到 C点坐标； （2） 根据题意可得两种情况： AB/CD， 点 C 与点 D关于抛物线对称轴对称， 由点 C坐标可得点 D坐标；AB与 CD 不平行时，求出 CD 的解析式，联立方程组求解即可； （3）证明MOPPOC:得12MPPC，12PCBPMPBP，根据MPB、 、三点共线即可得到结论 【详解】解： （1）将 y=0 代入213442yxx得，213442yxx=0， 解得 x1=-2，x
40、2=8， 点 A的坐标为（-2，0） ，点 B的坐标为（8，0） ； 将 x=0代入213442yxx得 y=-4， 点 C的坐标为（0，-4） ； （2）如图， ABC=BCD1 AB/CD1 点 C与点 D1关于抛物线对称轴对称， 由 A，B两点坐标可知抛物线的对称轴为( 28)32x C（0，-4） D1（6，-4） 当ABC=BCD2时，CD2与 x 轴交于 E，则有 CE=BE， 设 BE=CE=x，则 OE=8-x 在 RtOCE 中，222OEOCCE 2224)8(xx，解得，x=5 OE=8-5=3 E(3，0) 设 CD2的解析式为 y=kx+b 把 C(0，-4)，E(3，0)代入得430bkb 解得，434kb CD2的解析式为443yx 联立得244313442yxyxx， 解得04xy ，3431009xy 234 100,39D （3）在 OC 上截取 OM，使 OM=12OP=1， MOPPOC，12OMOPOPCO， MOPPOC:， 12MPPC， 12PCBPMPBP， 当MPB、 、三点共线时，12PCBPMPBPMB，最短， 根据勾股定理，最小值为22228165OBOM 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，三角形相似的判断和性质等，第（3）问，构造相似三角形求解是关键