1、2021年江苏省中考数学真题分类专题：函数一、 选择题1函数y中自变量x的取值范围是（）Ax2Bx2Cx2Dx2【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案【解答】解：由题意得：x20，解得：x2，故选：A2一次函数yx+n的图象与x轴交于点B，与反比例函数y（m0）的图象交于点A（1，m），且AOB的面积为1，则m的值是（）A1B2C3D4【分析】由已知得B（n，0），而A（1，m）在一次函数yx+n的图象上，可得nm1，即B（1m，0），根据AOB的面积为1，可列方程|1m|m1，即可解得m2【解答】解：在yx+n中，令y0，得xn，B（n，0），A
2、（1，m）在一次函数yx+n的图象上，m1+n，即nm1，B（1m，0），AOB的面积为1，m0，OB|yA|1，即|1m|m1，解得m2或m1（舍去），m2，故选：B3设P（x，y1），Q（x，y2）分别是函数C1，C2图象上的点，当axb时，总有1y1y21恒成立，则称函数C1，C2在axb上是“逼近函数”，axb为“逼近区间”则下列结论：函数yx5，y3x+2在1x2上是“逼近函数”；函数yx5，yx24x在3x4上是“逼近函数”；0x1是函数yx21，y2x2x的“逼近区间”；2x3是函数yx5，yx24x的“逼近区间”其中，正确的有（）ABCD【分析】根据当axb时，总有1y1y21
3、恒成立，则称函数C1，C2在axb上是“逼近函数”，axb为“逼近区间”，逐项进行判断即可【解答】解：y1y22x7，在1x2上，当x1时，y1y2最大值为9，当x2时，y1y2最小值为11，即11y1y29，故函数yx5，y3x+2在1x2上是“逼近函数”不正确；y1y2x2+5x5，在3x4上，当x3时，y1y2最大值为1，当x4时，y1y2最小值为1，即1y1y21，故函数yx5，yx24x在3x4上是“逼近函数”正确；y1y2x2+x1，在0x1上，当x时，y1y2最大值为，当x0或x1时，y1y2最小值为1，即1y1y2，当然1y1y21也成立，故0x1是函数yx21，y2x2x的“
4、逼近区间”正确；y1y2x2+5x5，在2x3上，当x时，y1y2最大值为，当x2或x3时，y1y2最小值为1，即1y1y2，故2x3是函数yx5，yx24x的“逼近区间”不正确；正确的有，故选：A4已知点A（，m），B（，n）在一次函数y2x+1的图象上，则m与n的大小关系是（）AmnBmnCmnD无法确定【解答】解：点A（，m），B（，n）在一次函数y2x+1的图象上，m2+1，n2×+13+14，2+14，mn，故选：C5已知抛物线yx2+kxk2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（）A5或
5、2B5C2D2【解答】解：抛物线yx2+kxk2的对称轴在y轴右侧，x0，k0抛物线yx2+kxk2（x+）²将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线的表达式是：y（x+3）²+1，将（0，0）代入，得0（0+3）²+1，解得k12（舍去），k25故选：B6如图，线段AB10，点C、D在AB上，ACBD1已知点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB向点D移动，到达点D后停止移动在点P移动过程中作如下操作：先以点P为圆心，PA、PB的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面，设点P
6、的移动时间为t（秒），两个圆锥的底面面积之和为S，则S关于t的函数图象大致是（）【解答】解:AB10，ACBD1,CD10118,PCt，APt+1,PB8t+19t,设围成的两个圆锥底面圆半径分别为r和R则：2r；解得：r,R,两个锥的底面面积之和为S，根据函数关系式可以发现该函数图形是一个开口向上的二次函数故选：D7. 已知双曲线过点(3，)、(1，)、(-2，)，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用分比例函数的增减性解答即可【详解】解：当x0时，y随x的增大，且y0；当x0时，y随x的增大，且y0； 013，-20y2y10，y30故选A【点睛】
7、本题主要考查了反比例函数的增减性，掌握数形结合思想成为解答本题的关键8. 已知二次函数的图像如图所示，有下列结论：；0；不等式0的解集为13，正确的结论个数是（ ）A 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】根据抛物线的开口方向、于x轴的交点情况、对称轴的知识可判的正误，再根据函数图象的特征确定出函数的解析式，进而确定不等式，最后求解不等式即可判定【详解】解：抛物线的开口向上，a0，故正确；抛物线与x轴没有交点0，故错误抛物线的对称轴为x=1 ，即b=-2a4a+b=2a0，故错误；由抛物线可知顶点坐标为（1,1），且过点（3,3）则 ，解得0可化为0，解得：1x3故错误故选A【点
8、睛】本题主要考查了二次函数图象的特征以及解不等式的相关知识，灵活运用二次函数图象的特征成为解答本题的关键9. 关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征甲：函数图像经过点；乙：函数图像经过第四象限；丙：当时，y随x的增大而增大则这个函数表达式可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据所给函数的性质逐一判断即可【详解】解：A.对于，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点；函数图象经过二、四象限；当时，y随x的增大而减小故选项A不符合题意；B.对于，当x=-1时，y=-1，故函数图像不经过点；函数图象分布在一、三象限；当时，y随x的增大而减小故选项
9、B不符合题意；C.对于，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点；函数图象分布在一、二象限；当时，y随x的增大而增大故选项C不符合题意；D.对于，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点；函数图象经过二、四象限；当时，y随x的增大而增大故选项D符合题意；故选：D【点睛】本题考查的是一次函数、二次函数以及反比例函数的性质，熟知相关函数的性质是解答此题的关键10. 如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线绕点B顺时针旋转交x轴于点C，则线段长为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点C作CD
10、AB，垂足为D，证明ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可【详解】解：一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，令x=0，则y=，令y=0，则x=，则A（，0），B（0，），则OAB为等腰直角三角形，ABO=45°，AB=2，过点C作CDAB，垂足为D，CAD=OAB=45°，ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，AC=x，旋转，ABC=30°，BC=2CD=2x，BD=x，又BD=AB+AD=2+x，2+x=x，解得：x=+1，AC=x=（+1）=，故选A【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴
11、的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形11. 如图，点P是函数的图像上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数的图像于点C、D，连接、，其中，下列结论：；，其中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设P（m，），分别求出A，B，C，D的坐标，得到PD，PC，PB，PA的长，判断和的关系，可判断；利用三角形面积公式计算，可得PDC的面积，可判断；再利用计算OCD的面积，可判断【详解】解：PBy轴，PAx轴，点P在上，点C，D在上，设P（m，），则C（
12、m，），A（m，0），B（0，），令，则，即D（，），PC=，PD=，即，又DPC=BPA，PDCPBA，PDC=PBC，CDAB，故正确；PDC的面积=，故正确；=，故错误；故选B【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，k的几何意义，相似三角形的判定和性质，解题关键是表示出各点坐标，得到相应线段的长度12. 设圆锥的底面圆半径为r，圆锥的母线长为l，满足2r+l6，这样的圆锥的侧面积（ ）A. 有最大值B. 有最小值C. 有最大值D. 有最小值【答案】C【解析】【分析】由2r+l6，得出l62r，代入圆锥的侧面积公式：S侧rl，利用配方法整理得出，S侧2(r)2+，再根据二次函数的性质
13、即可求解【详解】解：2r+l6，l62r，圆锥的侧面积S侧rlr(62r)2(r23r)2(r)22(r)2+，当r时，S侧有最大值故选：C【点睛】本题考查了圆锥的计算,二次函数的最值,圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.熟记圆锥的侧面积:是解题的关键二、 填空题1. 如图，正比例函数与函数的图像交于A，B两点，轴，轴，则_【答案】12【解析】【分析】先设出A点坐标，再依次表示出B、C两点坐标，求出线段BC和AC的表达式，最后利用三角形面积公式即可求解【详解】解：设A（t，）,正比例函数与函数的图像交于A，B两点，B（-t，-）,轴，轴，C（
14、t，-）,；故答案为：12【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的图像与性质、用平面直角坐标系内点的坐标表示线段长、三角形面积公式等内容，解决本题的关键是抓住反比例函数和正比例函数都是中心对称图形，它们关于原点对称，能正确表示平面内的点的坐标，能通过坐标计算出线段长等2请写出一个函数表达式，使其图象在第二、四象限且关于原点对称：y答案不唯一【分析】根据反比例函数的性质得到k0，然后取k1即可得到满足条件的函数解析式【解答】解：若反比例函数y（k是常数，且k0）的图象在第二、四象限，则k0，故k可取1，此时反比例函数解析式为y故答案为：y答案不唯一3如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C
15、为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数yx2的图象交于A、B两点，且CB3AC，P为CB的中点，设点P的坐标为P（x，y）（x0），写出y关于x的函数表达式为：yx2【分析】过A作ADy轴于D，过B作BEy轴于E，又CB3AC，得CE3CD，BE3AD，设ADm，则BE3m，A（m，m2），B（3m，9m2），可得C（0，3m2），而P为CB的中点，故P（m，6m2），即可得yx2【解答】解：过A作ADy轴于D，过B作BEy轴于E，如图：ADy轴，BEy轴，ADBE，CB3AC，CE3CD，BE3AD，设ADm，则BE3m，A、B两点在二次函数yx2的图象上，A（m，m2），B（3m
16、，9m2），ODm2，OE9m2，ED8m2，而CE3CD，CD2m2，OC3m2，C（0，3m2），P为CB的中点，P（m，6m2），又已知P（x，y），yx2；故答案为：yx24. 某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是_元【答案】1264【解析】【分析】根据题意，总利润=快餐的总利润快餐的总利润，而每种快餐
17、的利润=单件利润×对应总数量，分别对两份快餐前后利润和数量分析，代入求解即可【详解】解：设种快餐的总利润为，种快餐的总利润为，两种快餐的总利润为，设快餐的份数为份，则B种快餐的份数为份据题意： 当的时候，W取到最大值1264，故最大利润为1264元故答案为：1264【点睛】本题考查的是二次函数的应用，正确理解题意、通过具体问题找到变化前后的关系是解题关键点5. 如图，正比例函数yk1x和反比例函数y图象相交于A、B两点，若点A的坐标是（3，2），则点B的坐标是_【答案】（3，2）【解析】【分析】由于正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，所以A、B两点关于原点对称，由关于原点对称
18、的点的坐标特点求出B点坐标即可【详解】解：正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，A、B两点关于原点对称，A的坐标为（3，2），B的坐标为（3，2）故答案为：（3，2）【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的坐标关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.6. 如图（1），ABC和ABC是两个边长不相等的等边三角形，点B、C、B、C都在直线l上，ABC固定不动，将ABC在直线l上自左向右平移开始时，点C与点B重合，当点B移动到与点C重合时停止设ABC移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图（2）所示，则ABC的边长是_【答案】5【解析】【分析】在点B
19、9;到达B之前，重叠部分的面积在增大，当点B'到达B点以后，且点C'到达C以前，重叠部分的面积不变，之后在B'到达C之前，重叠部分的面积开始变小，由此可得出B'C'的长度为a，BC的长度为a3，再根据ABC的面积即可列出关于a的方程，求出a即可【详解】解：当点B'移动到点B时，重叠部分的面积不再变化，根据图象可知B'C'a，过点A'作A'HB'C'，则A'H为A'B'C'的高，A'B'C'是等边三角形，A'B'H60°
20、，sin60°，A'H，即，解得a2（舍）或a2，当点C'移动到点C时，重叠部分的面积开始变小，根据图像可知BCa3235，ABC的边长是5，故答案为5【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象和三角函数，关键是要分析清楚移动过程可分为哪几个阶段，每个阶段都是如何变化的，先是点B'到达B之前是一个阶段，然后点C'到达C是一个阶段，最后B'到达C又是一个阶段，分清楚阶段，根据图象信息列出方程即可7. 已知一次函数的图象经过点(1，2)，且函数值y随自变量x的增大而减小，写出符合条件的一次函数表达式_（答案不唯一，写出一个即可）【答案】yx+3【解析】
21、【分析】由函数值y随自变量x的增大而减小，利用一次函数的性质可得出k0，取k1，由一次函数的图象经过点（1，2），利用一次函数图象上点的坐标特征可得出21+b，解之即可得出b值，进而可得出符合条件的一次函数表达式【详解】解：设一次函数表达式为ykx+b函数值y随自变量x的增大而减小，k0，取k1又一次函数的图象经过点（1，2），21+b，b3，一次函数表达式为yx+3故答案为：yx+3【点睛】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，牢记“k0，y随x的增大而增大；k0，y随x的增大而减小”是解题的关键8. 如图，点A、B在反比例函数的图像上，延长AB交轴于C点，若AOC的面积是
22、12，且点B是AC的中点，则 =_【答案】8【解析】【分析】由的面积为12，故作，设，即可表示的面积，再利用中点坐标公式表示B点坐标，利用B点在反比例图像上即可求解【详解】解：作，设，的面积为12B点是AC中点B点坐标B点在反比例图像上又故答案是：8【点睛】本题考查反比例函数的综合运用、中点坐标公式和设而不解的方程思想，属于中档难度的题型解题的关键是设而不解的方程思想此外设有两点，则的中点坐标是：三、解答题1. 甲、乙两人沿同一直道从A地去B地，甲比乙早出发，乙的速度是甲的2倍在整个行程中，甲离A地的距离（单位：m）与时间x（单位：）之间的函数关系如图所示（1）在图中画出乙离A地的距离（单位：
23、m）与时间x之间的函数图；（2）若甲比乙晚到达B地，求甲整个行程所用的时间【答案】（1）图像见解析；（2）12【解析】【分析】（1）根据甲乙的速度关系和甲比乙提前一分钟出发即可确定乙的函数图像；（2）设甲整个行程所用的时间为x，甲的速度为v，利用甲乙的路程相同建立方程，解方程即可【详解】解：（1）作图如图所示：；（2）设甲整个行程所用的时间为x，甲的速度为v，解得：，甲整个行程所用的时间为12【点睛】本题考查了一次函数实际应用，要求学生能根据问题情境绘制出函数图像，能建立相等关系，列出方程等2. 已知二次函数的图像经过两点（1）求b的值（2）当时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是_（3）设
24、是该函数的图像与x轴的一个公共点，当时，结合函数的图像，直接写出a的取值范围【答案】（1）；（2）1；（3）或【解析】【分析】（1）将点代入求解即可得；（2）先求出二次函数的顶点的纵坐标，再利用完全平方公式、不等式的性质求解即可得；（3）分和两种情况，再画出函数图象，结合图象建立不等式组，解不等式组即可得【详解】解：（1）将点代入得：，两式相减得：，解得；（2）由题意得：，由（1）得：，则此函数的顶点的纵坐标为，将点代入得：，解得，则，下面证明对于任意的两个正数，都有，（当且仅当时，等号成立），当时，则（当且仅当，即时，等号成立），即，故当时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是1；（3）由得
25、：，则二次函数的解析式为，由题意，分以下两种情况：如图，当时，则当时，；当时，即，解得；如图，当时，当时，当时，解得，综上，的取值范围为或【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，较难的是题（3），熟练掌握函数图象法是解题关键3. 在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？（1）如图，圆锥的母线长为，B为母线的中点，点A在底面圆周上，的长为在图所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）（2）图中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为_（用含l
26、，h的代数式表示）设的长为a，点B在母线上，圆柱的侧面展开图如图所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路【答案】（1）作图如图所示；（2）h +l；见解析【解析】【分析】（1）根据两点之间线段最短，即可得到最短路径；连接OA，AC，可以利用弧长与母线长求出AOC，进而证明出OAC是等边三角形，利用三角函数即可求解；（2）由于圆锥底面圆周上的任意一点到圆锥顶点的距离都等于母线长，因此只要蚂蚁从点A爬到圆锥底面圆周上的路径最短即可，因此顺着圆柱侧面的高爬行，所以得出最短路径长即为圆柱的高h加上圆锥的母线长l；如图，根据已知条件，设出线段GC的长后，即可用它
27、分别表示出OE、BE、GE、AF，进一步可以表示出BG、GA，根据B、G、A三点共线，在RtABH中利用勾股定理建立方程即可求出GC的长，最后依次代入前面线段表达式中即可求出最短路径长【详解】解：（1）如图所示，线段AB即为蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径；设AOC=n°，圆锥的母线长为， 的长为，；连接OA、CA，是等边三角形，B为母线的中点，（2） 蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径为：先沿着过A点且垂直于地面的直线爬到圆柱的上底面圆周上，再沿圆锥母线爬到顶点O上，因此，最短路径长为h+l 蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图如下图所示，线段AB即为其最短路径（G点为蚂蚁在圆柱上底面
28、圆周上经过的点，图中两个C点为图形展开前图中的C点）；求最短路径的长的思路如下：如图，连接OG，并过G点作GFAD，垂足为F，由题可知，GF=h， OB=b，由的长为a，得展开后的线段AD=a，设线段GC的长为x，则的弧长也为x，由母线长为l，可求出COG，作BEOG，垂足为E，因为OB=b，可由三角函数求出OE和BE，从而得到GE，利用勾股定理表示出BG，接着由FD=CG=x，得到AF=a-x，利用勾股定理可以求出AG，将AF+BE即得到AH，将EG+GF即得到HB，因为两点之间线段最短，A、G、B三点共线，利用勾股定理可以得到：,进而得到关于x的方程，即可解出x，将x的值回代到BG和AG中
29、，求出它们的和即可得到最短路径的长【点睛】本题考查的是曲面上的最短路径问题，涉及到圆锥和圆柱以及它们的组合体上的最短路径问题，解题过程涉及到“两点之间、线段最短”以及勾股定理和三角函数等知识，本题为开放性试题，答案形式不唯一，对学生的空间想象能力以及图形的感知力要求较高，蕴含了数形结合等思想方法4如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点C，A分别在x轴和y轴的正半轴上，点D为AB的中点已知实数k0，一次函数y3x+k的图象经过点C、D，反比例函数y（x0）的图象经过点B，求k的值【解答】解：把y0代入y3x+k,得x,C（，0）,.BCx轴，点B横坐为,把x代入y，得y3,B（，3）
30、,点D为AB的中点，ADBDD(，3），点D在直线y3x+k上，33×+k，k65如图，二次函数yx2（m+1）x+m（m是实数，且1m0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴与x轴交于点C已知点D位于第一象限，且在对称轴上，ODBD，点E在x轴的正半轴上，OCEC，连接ED并延长交y轴于点F，连接AF（1）求A、B、C三点的坐标（用数字或含m的式子表示）；（2）已知点Q在抛物线的对称轴上，当AFQ的周长的最小值等于时，求m的值【解答】解：（1）令yx2（m+1）x+m0，解得x1或m，故点A、B的坐标分别为（m，0）、（1,0），则点C的横坐标为（m+1），即点
31、C的坐标为（,0）；（2）由点C的坐标知，COCE，故BCOBCO1（m+1），BDC+DBC90°，BDC+ODC90°，DBCODC，tanDBCtanODC，即CD2COBC（m+1）（1m），点C是OB的中点，则CD为BOF的中位线，则FO2（2CD）24CD21m2，在RtAOF中，AF2AO2+OF2m2+1m21，点B是点A关于函数对称轴的对称点，连接FB交对称轴于点Q，则点Q为所求点，理由：AFQ的周长AF+FQ+AQ1+QF+BQ1+BF为最小，即1+BF，则BF2OF2+OB21m2+1（1）2，解得m，1m0，故m6如图，甲、乙都是高为6米的长方体容器
32、，容器甲的底面ABCD是正方形，容器乙的底面EFGH是矩形如图，已知正方形ABCD与矩形EFGH满足如下条件：正方形ABCD外切于一个半径为5米的圆O，矩形EFGH内接于这个圆O，EF2EH（1）求容器甲、乙的容积分别为多少立方米？（2）现在我们分别向容器甲、乙同时持续注水（注水前两个容器是空的），一开始注水流量均为25立方米/小时，4小时后，把容器甲的注水流量增加a立方米/小时，同时保持容器乙的注水流量不变，继续注水2小时后，把容器甲的注水流量再一次增加50立方米/小时，同时容器乙的注水流量仍旧保持不变，直到两个容器的水位高度相同，停止注水在整个注水过程中，当注水时间为t时，我们把容器甲的水
33、位高度记为h甲，容器乙的水位高度记为h乙，设h乙h甲h，已知h（米）关于注水时间t（小时）的函数图象如图所示，其中MN平行于横轴，根据图中所给信息，解决下列问题：求a的值；求图中线段PN所在直线的解析式【解答】解：（1）如图中，连接FH,正方形ABCD外切于一个半径为5米的圆O,AB10米，容器甲的容积102×6600（米3），FEH90°,FH为直径，在RtEFH中，EF2EH,FH10米，EH2+4EH2100,EH2,EF4,容器乙的容积2×4×6240（米3）（2）当t4时，h1.5,MNx轴，M(4,1.5,N(6,1.5),6小时后的高度差为
34、1.5米，1.5,解得a37.5当注t小时后，由h乙h甲0，可得0,解得t9,即P（9,0），设线段PN所在的直线的解析式为hkt+m,N(6,1.5),P(9,0)在直线PN上，,解得,线段PN所在的直线的解析式为ht+7在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线yx+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数yax2+2x+c的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交BC于点F，交二次函数yax2+2x+c的图象于点E（1）求二次函数的表达式；（2）当以C、E、F为顶点的三角形与ABC相似时，求线段EF的长度；（3）已知点N是y轴上的点，若
35、点N、F关于直线EC对称，求点N的坐标【分析】（1）由yx+3得B（3，0），C（0，3），代入yax2+2x+c即得二次函数的表达式为yx2+2x+3；（2）由yx2+2x+3得A（1，0），OBOC，AB4，BC3，故ABCMFBCFE45°，以C、E、F为顶点的三角形与ABC相似，B和F为对应点，设E（m，m2+2m+3），则F（m，m+3），EFm2+3m，CFm，ABCCFE时，可得EF，ABCEFC时，可得EF；（3）连接NE，由点N、F关于直线EC对称，可得CFEFCN，故m2+3mm，解得m0（舍去）或m3，即得CNCFm32，N（0，3+1）【解答】解：（1）在yx
36、+3中，令x0得y3，令y0得x3，B（3，0），C（0，3），把B（3，0），C（0，3）代入yax2+2x+c得：，解得，二次函数的表达式为yx2+2x+3；（2）如图：在yx2+2x+3中，令y0得x3或x1，A（1，0），B（3，0），C（0，3），OBOC，AB4，BC3，ABCMFBCFE45°，以C、E、F为顶点的三角形与ABC相似，B和F为对应点，设E（m，m2+2m+3），则F（m，m+3），EF（m2+2m+3）（m+3）m2+3m，CFm，ABCCFE时，解得m或m0（舍去），EF，ABCEFC时，解得m0（舍去）或m，EF，综上所述，EF或（3）连接NE，如图
37、：点N、F关于直线EC对称，NCEFCE，CFCN，EFy轴，NCECEF，FCECEF，CFEFCN，由（2）知：设E（m，m2+2m+3），则F（m，m+3），EF（m2+2m+3）（m+3）m2+3m，CFm，m2+3mm，解得m0（舍去）或m3，CNCFm32，N（0，3+1）8. 一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续行驶乙地，两车到达各地终点后停止，两车之间距离s(km)与慢车行驶的时间t(h)之间的关系如图：(1)快车的速度为 km/h，C点的坐标为 (2)慢车出发多少小
38、时候，两车相距200km【答案】（1）100，（8,480）；（2）1.75h和4.875h【解析】【分析】（1）由图像可知，甲乙两地的距离为480km， 0-3小时快车和慢车一起行驶了3小时，3-4小时快车出现故障停止前行、仅有慢车行驶，进而求出慢车速度，然后再求出快车的速度；A、B段为快车已维修好，两车共同行驶且快车在B点到站，BC段仅为慢车行驶；则可求出B点坐标，进而求出C点的横坐标即可解答；（2）分快车出现故障前和故障后两种情况解答即可【详解】解：（1）由图像可知，甲乙两地的距离为480km在0-3小时快车和慢车一起行驶了3小时，3-4小时快车出现故障停止前行、仅有慢车行驶则慢车速度为
39、=60km/h设快车速度为v，则有：（v+60）×3=480，解得v=100km/hB点的横坐标为+1=5.8，从坐标为60+（60+100）×（5.8-4）=348，即B（5.8,348）慢车行驶时间为h，C点的横坐标为8C点的坐标为（8,480）；（2）在快车出现故障前，两车相距200km 所用时间为：（480-200）÷（100+60）=1.75h；在快车出现故障后，慢车1小时行驶了60km，然后两车共同行驶了200-60=140km共同行驶时间为140÷（100+60）=0.875h两车相距200km 所用时间为4+0.875=4.875h答：两
40、车相距200km 所用时间为1.75h和4.875h【点睛】本题考查了从函数图象中获取信息和行程问题，从函数图象中获取有用的信息成为解答本题的关键9. 如图，抛物线与轴交于A(-1，0)，B(4，0)，与轴交于点C连接AC，BC，点P在抛物线上运动(1)求抛物线的表达式；(2)如图，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当CAQ=CBA45°时，求点P的坐标；(3)如图，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作轴的垂线交BC于点H，当PFH为等腰三角形时，求线段PH的长【答案】（1）；（2）（6，-7）；（3）PH=或1.5或【解析】【分析】（1）根据待定系数法解答即可；（
41、2）求得点C的坐标后先利用勾股定理的逆定理判断ACB=90°，继而可得ACO=CBA，在x轴上取点E（2，0），连接CE，易得OCE是等腰直角三角形，可得OCE=45°，进一步可推出ACE=CAQ，可得CEPQ，然后利用待定系数法分别求出直线CE与PQ的解析式，再与抛物线的解析式联立方程组求解即可；（3）设直线AP交y轴于点G，如图，由题意可得若PFH为等腰三角形，则CFG也为等腰三角形，设G（0，m），求出直线AF和直线BC的解析式后，再解方程组求出点F的坐标，然后分三种情况求出m的值，再求出直线AP的解析式，进而可求出点P的坐标，于是问题可求解【详解】解：（1）把A(-
42、1，0)，B(4，0)代入，得，解得：，抛物线的解析式是；（2）令x=0，则y=2，即C（0，2），AB2=25，ACB=90°，ACO+CAO=CBA+CAO=90°，ACO=CBA，在x轴上取点E（2，0），连接CE，如图，则CE=OE=2，OCE=45°，ACE=ACO+45°=CBA+45°=CAQ，CEPQ，C（0，2），E（2，0），直线CE的解析式为y=-x+2，设直线PQ的解析式为y=-x+n，把点A（-1，0）代入，可得n=-1，直线PQ的解析式为y=-x-1，解方程组，得或，点P的坐标是（6，-7）；（3）设直线AP交y轴于点G，如图，PHy轴，PHC=OCB，FPH=CGF，若PFH为等腰三角形，则CFG也为等腰三角形，C（0，2），B（4，0），直线BC的解析式为，设G（0，m），A（-1，0），直线AF的解析式为y=mx+m，解方程