1、2021 年江苏省中考数学真题分类专题：年江苏省中考数学真题分类专题：四边形四边形 一、一、 选择题选择题 1. 下列长度的三条线段与长度为 5的线段能组成四边形的是（ ） A. 1，1，1 B. 1，1，8 C. 1，2，2 D. 2，2，2 【答案】D 【解析】 【分析】若四条线段能组成四边形，则三条较短边的和必大于最长边，由此即可完成 【详解】A、1+1+15，即这三条线段的和小于 5，根据两点间距离最短即知，此选项错误； B、1+1+55，即这三条线段的和大于 5，根据两点间距离最短即知，此选项正确； 故选：D 【点睛】本题考查了两点间线段最短，类比三条线段能组成三角形的条件，任两边的
2、和大于第三边，因而较短的两边的和大于最长边即可，四条线段能组成四边形，作三条线段的和大于第四条边，因而较短的三条线段的和大于最长的线段即可 2. 折叠矩形纸片 ABCD，使点 B落在点 D 处，折痕为 MN，已知 AB=8，AD=4，则 MN的长是（ ） A. 553 B. 25 C. 753 D. 45 【答案】B 【解析】 【分析】连接 BM，利用折叠的性质证明四边形 BMDN为菱形，设 DNNBx，在 RtVABD中，由勾股定理求 BD，在 RtVADN中，由勾股定理求 x，利用菱形计算面积的两种方法，建立等式求 MN 【详解】解：如图，连接 BM， 由折叠可知，MN垂直平分 BD， ,
3、ODOB 又 ABCD， ,MDONBODMOBNO VBONVDOM， ONOM， 四边形 BMDN 为菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形） ， ,DNBNBMDM 设 DNNBx，则 AN8x， 在 RtVABD中，由勾股定理得：BD22ADAB4 5， 在 RtVADN中，由勾股定理得：AD2+AN2DN2， 即 42+（8x）2x2， 解得 x5， 根据菱形计算面积的公式，得 BNAD12MNBD， 即 5412MN4 5， 解得 MN2 5 故选：B 【点睛】本题考查图形的翻折变换，勾股定理，菱形的面积公式的运用，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质
4、，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应线段相等 3. 正五边形的内角和是（ ） A. 360 B. 540 C. 720 D. 900 【答案】B 【解析】 【分析】n 边形的内角和是2 180n ，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和 【详解】 （72）180=900 故选 D 【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是需要熟记的内容 4. 如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点 D、C分别落在点1D、1C的位置，1ED的延长线交BC于点 G，若64EFG，则EGB等于（ ） A. 128 B. 130 C. 132
5、D. 136 【答案】A 【解析】 【分析】由矩形得到 AD/BC，DEF=EFG，再由与折叠的性质得到DEF=GEF=EFG，用三角形的外角性质求出答案即可 【详解】解：四边形 ABCD 是矩形， AD/BC， 矩形纸片ABCD沿EF折叠， DEF=GEF， 又AD/BC， DEF=EFG， DEF=GEF=EFG=64， EGB是EFG 的外角， EGB=GEF+EFG=128 故选：A 【点睛】本题考查了矩形的性质与折叠的性质，关键在于折叠得出角相等，再由平行得到内错角相等，由三角形外角的性质求解 二、填空题二、填空题 1. 如图，将ABCDY绕点 A逆时针旋转到ABCD Y的位置，使点
6、B落在BC上，BC与CD交于点 E，若3,4,1ABBCBB，则CE的长为_ 【答案】98 【解析】 【分析】过点 C 作 CM/C D交BC于点 M，证明ABBADD求得53C D，根据 AAS 证明ABBB CM 可求出 CM=1，再由 CM/C D证明CMEDC E，由相似三角形的性质查得结论 【详解】解：过点 C作 CM/C D交BC于点 M， 平行四边形 ABCD绕点 A 逆时针旋转得到平行四边形ABC D ABAB，,ADADBABCDD ，BADB AD BABDAD，BD ABBADD 3,4BBABABDDADBC 1BB 43DD C DC DDD CDDD ABDD 43
7、3 53 ABCABCCB MABCBAB Q CB MBAB 4 13BCBCBB BCAB ABAB AB BABCABB / /ABC D，/ /C DCM / /ABCM ABCB MC AB BB MC 在ABB和BMC中， BABCB MAB BB MCABB C ABBBCM 1BBCM /CMCD CMEDC E 13553CMCEDCDE 38CECD 333938888CECDAB 故答案为：98 【点睛】此题主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解答本题的关键 2 如图， 四边形
8、 ABCD 为菱形， ABC70， 延长 BC 到 E， 在DCE 内作射线 CM， 使得ECM15，过点 D 作 DFCM，垂足为 F，若 DF，则对角线 BD 的长为 .（结果保留根号） 【解答】解：如图，连接 AC 交 BD 于点 H， 由菱形的性质的BDC35，DCE70， 又MCE15， DCF55， DFCM， CDF35， 又四边形 ABCD 是菱形， BD 平分ADC， HDC35， 在CDH 和CDF 中， ， CDHCDF（AAS） ， DFDH， DB2， 故答案为 2 3. 如图，在ABCDY中，点 E 在AD上，且EC平分BED，若30EBC，10BE ，则ABCDY
9、的面积为_ 【答案】50 【解析】 【分析】过点 E 作 EFBC，垂足为 F，利用直角三角形的性质求出 EF，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到BCE=BEC，可得 BE=BC=10，最后利用平行四边形的面积公式计算即可 【详解】解：过点 E作 EFBC，垂足为 F， EBC=30 ，BE=10， EF=12BE=5， 四边形 ABCD是平行四边形， ADBC， DEC=BCE， 又 EC平分BED，即BEC=DEC， BCE=BEC， BE=BC=10， 四边形 ABCD的面积=BCEF=10 5=50， 故答案为：50 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，30 度的直角三角形的性质，
10、角平分线的定义，等角对等边，知识点较多，但难度不大，图形特征比较明显，作出辅助线构造直角三角形求出 EF 的长是解题的关键 4. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点 O，OEAD，垂足为 E，8AC ，6BD，则OE的长为_ 【答案】125 【解析】 【分析】直接利用菱形的性质得出 AO，DO 的长，再利用勾股定理得出菱形的边长，进而利用等面积法得出答案 【详解】解：菱形 ABCD的对角线 AC、BD 相交于点 O，且 AC=8，DB=6， AO=4，DO=3，AOD=90 ， AD=5， 在Rt ADOV 中，由等面积法得：1122AO DOAD OE=gg , 341255AO
11、DOOEAD=g 故答案为：125 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的高的求法（等面积法） ，熟记性质与定理是解题关键 三、解答题三、解答题 1如图，在矩形 ABCD 中，线段 EF、GH 分别平行于 AD、AB，它们相交于点 P，点 P1、P2分别在线段PF、PH 上，PP1PG，PP2PE，连接 P1H、P2F，P1H 与 P2F 相交于点 Q已知 AG：GDAE：EB1：2，设 AGa，AEb （1）四边形 EBHP 的面积 四边形 GPFD 的面积（填“” 、 “”或“” ） （2）求证：P1FQP2HQ； （3）设四边形 PP1QP2的面积为 S1，四边形 C
12、FQH 的面积为 S2，求的值 【解答】解： （1）四边形 ABCD 为矩形， ABC90， GHAB， BGHC90，APGD90， EFAD， PGDHPF90， 四边形 PFCH 为矩形， 同理可得，四边形 AGPE、GDFP、EPHB 均为矩形， AGa，AEb，AG：GDAE：EB1：2， PEa，PGb，GDPF2a，EBPH2b， 四边形 EBHP 的面积PEPH2ab，四边形 GPFD 的面积PGPF2ab， 故答案为：； （2）PP1PG，PP2PE， 由（1）知 PEPH2ab，PGPF2ab， PP2PHPP1PF， 即， 又FPP2HPP1， PP2FPP1H， PFP
13、2PHP1， P1QFP2QH， P1FQP2HQ； （3）连接 P1P2、FH， ， ， P1PP2C90， PP1P2CFH， ，（）， 由（2）中P1FQP2HQ，得， ， P1QP2FQH， P1QP2FQH， （）， S1+，S2SCFH+SFQH， S1SCFH+SFQHS2， 2. 在AE=CF；OE=OF；BEDF 这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程 已知，如图，四边形 ABCD是平行四边形，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E、F 在 AC上， (填写序号) 求证：BE=DF 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【答案】见解析 【解析】 【分
14、析】 若选， 即 OE=OF； 根据平行四边形的性质可得 BO=DO， 然后即可根据 SAS证明BOEDOF，进而可得结论；若选，即 AE=CF；根据平行四边形的性质得出 OE=OF 后，同上面的思路解答即可；若选，即 BEDF，则BEO=DFO，再根据平行四边形的性质可证BOEDOF，于是可得结论 【详解】解：若选，即 OE=OF； 证明：四边形 ABCD是平行四边形， BO=DO， OE=OF，BOE=DOF， BOEDOF（SAS） ， BE=DF； 若选，即 AE=CF； 证明：四边形 ABCD是平行四边形， BO=DO，AO=CO， AE=CF， OE=OF， 又BOE=DOF， B
15、OEDOF（SAS） ， BE=DF； 若选，即 BEDF； 证明：四边形 ABCD是平行四边形， BO=DO， BEDF； BEO=DFO， 又BOE=DOF， BOEDOF（AAS） ， BE=DF； 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定是关键 3. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，延长 DA，BC，使得 AECF，连接 BE，DF （1）求证：ABECDF； （2）连接 BD，130，220，当ABE 时，四边形 BFDE 是菱形 【答案】 （1）见解析； （2）当ABE10时，四边形 BFDE 是菱形
16、 【解析】 【分析】 （1）根据平行四边形的性子和“SAS”可证ABECDF； （2）先证明四边形 BFDE 是平行四边形，再通过证明 BEDE，可得结论 【详解】解： （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，BADBCD， 1DCF， 在ABE 和CDF 中， 1AECFDCFABCD ， ABECDF（SAS） ； （2）当ABE10时，四边形 BFDE 是菱形， 理由如下：ABECDF， BE=DF，AE=CF， BF=DE， 四边形 BFDE 是平行四边形， 1=30，2=20， ABD=1-2=10， DBE=20， DBE=EDB=20， BE=DE， 平行四边形
17、BFDE 是菱形， 故答案为 10 【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的判定是解题的关键 4. 如图 1，ABCDEF90，AB，FE，DC 为铅直方向的边，AF，ED，BC 为水平方向的边， 点 E 在 AB， CD 之间，且在 AF， BC 之间，我们称这样的图形为 “L 图形” ，记作 “L 图形 ABCDEF” 若直线将 L 图形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线为该 L 图形的面积平分线 【活动】 小华同学给出了图 1 的面积平分线的一个作图方案：如图 2，将这个 L 图形分成矩形 AGEF、矩形 GBCD，这两个矩形的对称中心
18、 O1，O2所在直线是该 L 图形的面积平分线请用无刻度的直尺在图 1 中作出其他的面积平分线 （作出一种即可，不写作法，保留作图痕迹） 【思考】 如图 3，直线 O1O2是小华作的面积平分线，它与边 BC，AF 分别交于点 M，N，过 MN 的中点 O 的直线分别交边 BC，AF 于点 P，Q，直线 PQ （填“是”或“不是” ）L 图形 ABCDEF 的面积平分线 【应用】 在 L 图形 ABCDEF 形中，已知 AB4，BC6 （1）如图 4，CDAF1 该 L 图形的面积平分线与两条水平的边分别相交于点 P，Q，求 PQ 长的最大值； 该 L 图形的面积平分线与边 AB，CD 分别相交
19、于点 G，H，当 GH 的长取最小值时，BG 的长为 （2）设CDAFt（t0） ，在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，如果只有与边 AB，CD 相交的面积平分线，直接写出 t 的取值范围 【答案】 【活动】见解析； 【思考】是； 【应用】 （1）5；34； （2）13t23 【解析】 【分析】活动如图 1，根据题意把原本图形分成左右两个矩形，这两个矩形的对称中心 O1，O2所在直线是该 L 图形的面积平分线； 思考如图 2，证明OQNOPM（AAS） ，根据割补法可得直线 PQ 是 L 图形 ABCDEF 的面积平分线； 应用 （1）建立平面直角坐标系，分两种情况：如图 31 和
20、32，根据中点坐标公式和待定系数法可得面积平分线的解析式，并计算 P 和 Q 的坐标，利用两点的距离公式可得 PQ 的长，并比较大小可得结论； 当 GHAB 时，GH 最小，设 BGx，根据面积相等列方程，解出即可； （2）如图 5，由已知得：CDtAF，直线 DE 将图形分成上下两个矩形，当上矩形面积小于下矩形面积时，在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，只有与边 AB，CD 相交的面积平分线，列不等式可得 t的取值 【详解】解： 【活动】如图 1，直线 O1O2是该 L 图形的面积平分线； 【思考】如图 2，AB90， AFBC， NQOMPO， 点 O 是 MN 的中点， ONO
21、M， 在OQN 和OPM 中， NQOMPONOQMOPONOW ， OQNOPM（AAS） ， SOQNSOPM， S梯形ABMNSMNFEDC， S梯形ABMNSOPMSMNFEDCSOQN， 即 SABPONSCDEFQOM， SABPON+SOQNSCDEFQOM+SOPM， 即 S梯形ABPQSCDEFQP， 直线 PQ 是 L 图形 ABCDEF 的面积平分线 故答案为：是； 【应用】 （1）如图 31，以直线 OC 为 x 轴，OA 为 y 轴，以 B 为原点，建立平面直角坐标系，同理确定L 图形 ABCDEF 的面积平分线：直线 O1O2， AB4，BC6，AFCD1， B（0
22、，0） ，F（1，4） ，D（6，1） ，K（1，0） ， 线段 BF 的中点 O1的坐标为（12，2） ，线段 DK 的中点 O2的坐标为（72，12） ， 设直线 O1O2的解析式为：ykx+b， 则1227122kbkb，解得：1294kb ， 直线 O1O2的解析式为：y12x+94， 当 y0 时，12x+940，解得：x92， Q（92，0） ， 当 y1 时，12x+941，解得：x52， P（52，1） ， PQ2295()(1 0)225； 如图 32，同理确定平面直角坐标系，画出 L 图形 ABCDEF 的面积平分线：直线 O3O4， G（0，1） ，F（1，4） ，C（6
23、，0） ， 线段 GF 的中点 O3的坐标为（12，52） ，线段 CG 的中点 O4的坐标为（3，12） ， 设直线 O3O4的解析式为：ymx+n， 则1522132mnmn，解得：452910mn ， 直线 O3O4的解析式为：y45x+2910， 当 y0 时，45x+29100，解得：x298， Q（298，0） ， 当 y1 时，45x+29101，解得：x198， P（198，1） ， PQ222919()(1 0)88414； 4145； PQ 长的最大值为5； 如图 4，当 GHAB 时 GH 最短，过点 E 作 EMAB 于 M， 设 BGx，则 MG1x， 根据上下两部分
24、面积相等可知，6x（41）1+（1x）6， 解得 x34，即 BG34； 故答案为：34； （2）CDAFt（t0） ， CDtAF， 在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，只有与边 AB，CD 相交的面积平分线， 如图 5，直线 DE 将图形分成上下两个矩形，当上矩形面积小于下矩形面积时，在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，只有与边 AB，CD 相交的面积平分线， 即（4tAF）AF6tAF， 46AFt， 0AF6， 04t66， 1233t 故答案为：13t23 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了应用与设计作图，矩形的性质和判定，四边形面积的平分，三角形全等的性质和判
25、定等知识，并结合平面直角坐标系计算线段的长，明确面积平分线的画法，并熟练掌握矩形面积平分线是过对角线交点的性质是解题的关键 5. 如图，D、E、F分别是ABCV各边的中点，连接DE、EF、AE （1）求证：四边形ADEF为平行四边形； （2）加上条件 后，能使得四边形ADEF为菱形，请从90BAC；AE平分BAC；ABAC，这三个条件中选择条件填空（写序号） ，并加以证明 【答案】 （1）见解析； （2）或，见解析 【解析】 【分析】 （1）先证明/EF AB，根据平行的传递性证明EF/AD，即可证明四边形ADEF为平行四边形 （2）选AE平分BAC，先证明DAEFAE ，由四边形ADEF是平
26、行四边形ADEF，得出AFEF， 即可证明平行四边形ADEF是菱形 选ABAC， 由/DE AC且12DEAC，ABAC得出EFDE，即可证明平行四边形ADEF是菱形 【详解】 （1）证明：已知D、E是AB、BC中点 /DE AC 又E、F是BC、AC的中点 /EF AB /DE AF EF/AD 四边形ADEF为平行四边形 （2）证明：选AE平分BAC AE平分BAC DAEFAE 又平行四边形ADEF /EF DA FAEAEF AFEF 平行四边形ADEF是菱形 选ABAC /EF AB且12EFAB /DE AC且12DEAC 又ABAC EFDE 平行四边形ADEF菱形 故答案为：或
27、 【点睛】本题考查菱形的判定、平行四边形的性质及判定，熟练进行角的转换是关键，熟悉菱形的判定是重点 6. 已知：如图，在ABCD 中，点 E、F 分别在 AD、BC 上，且 BE 平分ABC，EFAB求证：四边形 ABFE是菱形 【答案】见解析 【解析】 【分析】先证四边形 ABFE 是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的性质证 ABAE，依据有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可 【详解】证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， 又EFAB， 四边形 ABFE 是平行四边形， BE 平分ABC， ABEFBE， ADBC， AEBEBF， ABEAEB， ABAE， 平行四边形
28、 ABFE 是菱形 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、菱形的判定，解题关键是熟练运用相关知识进行推理证明，特别注意角平分线加平行，可证等腰三角形 7. 如图，在ABCV中，BAC的角平分线交BC于点 D，/ /,/ /DEAB DFAC （1）试判断四边形AFDE的形状，并说明理由； （2）若90BAC，且2 2AD ，求四边形AFDE的面积 【答案】 （1）菱形，理由见解析； （2）4 【解析】 【分析】 （1）根据 DEAB，DFAC判定四边形 AFDE是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到EDA=EAD，可得 AE=DE，即可证明； （2）根据BAC=9
29、0 得到菱形 AFDE 是正方形，根据对角线 AD 求出边长，再根据面积公式计算即可 【详解】解： （1）四边形 AFDE 是菱形，理由是： DEAB，DFAC， 四边形 AFDE 是平行四边形， AD平分BAC， FAD=EAD， DEAB， EDA=FAD， EDA=EAD， AE=DE， 平行四边形 AFDE 是菱形； （2）BAC=90 ， 四边形 AFDE 是正方形， AD=2 2， AF=DF=DE=AE=2 22=2， 四边形 AFDE 的面积为 2 2=4 【点睛】本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法 8.
30、 如图，点 C 是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形 （1）求证：四边形ACED是平行四边形； （2）如果ABAE，求证：四边形ACED是矩形 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）由平行四边形的性质以及点 C 是 BE的中点，得到 ADCE，AD=CE，从而证明四边形 ACED是平行四边形； （2）由平行四边形的性质证得 DC=AE，从而证明平行四边形 ACED是矩形 【详解】证明： （1）四边形 ABCD是平行四边形， ADBC，且 AD=BC 点 C是 BE的中点， BC=CE， AD=CE， ADCE， 四边形 ACED是平行四边形； （2）四边形 ABCD是平行四边形， AB=DC， AB=AE， DC=AE， 四边形 ACED是平行四边形， 四边形 ACED是矩形 【点睛】本题考查了平行四边形和矩形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键