1、第第 24 章圆的动点最值问题章圆的动点最值问题 期末压轴训练题期末压轴训练题 一、单选题一、单选题 1如图，O 的半径为 5，弦 AB 长为 8，P 为弦 AB 上动点，则线段 OP 长的取值范围是（ ） A3OP5 B3OP5 C4OP5 D4OP5 2如图， MN 是O 的直径，MN=2，点 A 在O 上，AMN=40 ，B 为弧 AN 的中点，P 是直径 MN 上一动点，则 PA+PB 的最小值为（ ） A5 B3 C5 D3 3如图，AB 是O 的直径，AB4，C 为半圆 O 的三等分点（靠近点 A） ，P 为O 上一动点若 D 为 AP 的中点，则线段 CD 的最小值为（ ） A3
2、1 B2 C31 D4 4如图，以 G(0，1)为圆心，半径为 2 的G 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C、D 两点，点 E 为G 上一动点，CFAE 于 F，当点 E 从点 B 出发顺时针运动到点 D 时，点 F 所经过的路径长为（ ） A33 B23 C34 D34 5如图，菱形 ABCD 中，A60 ，AB3，A、B 的半径分别为 2 和 1，点 P、E、F 分别是边 CD、A 和B 上的动点，则 PEPF 的最小值是（ ） A1 B2 C2.5 D3 6如图，AB 是半O 的直径，点 C 在半O 上，AB5cm，AC4cmD 是BC上的一个动点，连接 AD，过点 C作
3、CEAD 于 E，连接 BE在点 D 移动的过程中，BE 的最小值为（ ） A1 B132 C221 D3 7 如图， 点 A 是半圆上一个三等分点， 点 B 是弧AN的中点， 点 P 是直径MN上一动点，Oe的半径为 1， 则A P B P的最小值为（ ） A3 B3 C2 D2 二、填空题二、填空题 8如图，AB 是半圆 O 的直径，点 D 在半圆 O 上，AB13，AD5，C 是弧 BD 上的一个动点，连接 AC，过 D 点作 DHAC 于 H连接 BH，在点 C 移动的过程中，BH 的最小值是 _ 9已知：如图，在 Rt ABC 中，ACB=90 ，AC=BC=2，以 BC 为直径的半
4、圆交 AB 于 D，P 是CD上的一个动点，连接 AP，则 AP 的最小值是 _ 10如图，AB为Oe的直径，10AB，C，D为Oe上两动点（C，D不与A，B重合） ，且CD为定长，CEAB于E，M是CD的中点，则EM的最大值为_ 11如图，MN 是O 的直径，MN2，点 A 在O 上，AMN40 ，B 为弧 AN 的中点，P 是直径 MN 上一动点，则 PAPB 的最小值为_ 12如图，AB是Oe的一条弦，点C是Oe上一动点，且60AB ，点E，F分别是AC，BC的中点，直线EF与Oe交于G，H两点，若Oe的半径为 6，则GEFH的最大值为_ 13如图所示，AB是Oe的直径，20AB ，30
5、CAB，点D为弧BC的中点，点P是直径AB上的一个动点，PCPD的最小值为_ 14如图，在Rt OABV中，90 ,8,10AOBOAAB，Oe的半径为 4，点 P 是AB上的一动点，过点 P 作Oe的一条切线PQ，Q 为切点，则PQ的最小值为_ 15如图，已知Oe的半径为 5，BC是直径，点 A 是圆上任意一点，点 D、E 是直径BC上的动点，且BDCE，则ADAE的最小值为_ 16如图，在Rt ABCV中，90ACB，30B ，4AC ，以AB直径作圆，P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，则图中阴影部分周长的最小值为_ 三、解答题三、解答题 17古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形
6、中最美的是圆”波波决定研究一下圆如图，OA、OB是Oe的两条半径，OAOB，C 是半径OB上一动点，连接AC并延长交Oe于 D，过点 D 作圆的切线交OB的延长线于E，已知6OA （1）求证：ECDEDC； （2）若2BCOC，求DE长； （3）当A从15增大到30的过程中，求弦AD在圆内扫过的面积 18 已知AB是O的直径， 点C在AB的延长线上，=4AB，=2BC，P是O上半部分的一个动点， 连接OP，CP （1）如图，OPCV的最大面积是 ； （2）如图，延长PO交O于点D，连接DB，当=CP DB时，求证：CP是O的切线 19如图， ABC 中，ACBC，CD 是 ABC 的高，AB8
7、，CD3，以点 C 为圆心，半径为 2 作C，点 E 是C上一动点，连接 AE，点 F 是 AE 的中点，求线段 DF 的最小值 20 如图， 已知ED为O的直径且4ED ， 点A（不与,E D重合） 为O上一个动点， 线段AB经过点E， 且,E A E BF为O 上一点，90 ,FEBBF的延长线与AD的延长线交于点C （1）求证：EFBADEVV； （2）当点A在O 上移动时，求四边形FCDE的最大面积 参考答案参考答案 1B 解：过点 O 作 OCAB 于点 C，连接 OA，如图所示： O 的半径为 5，弦 AB 长为 8， 15,42OAACAB， 在 Rt ACO 中，223OCOA
8、AC， P 为弦 AB 上动点， 线段 OP 长的取值范围是 3OP5； 故选 B 2B 解：作点 B 关于 MN 的对称点 C，则点 C 在圆 O 上，连接 AC 交 MN 于点 P，则 P 点就是所求作的点 此时 PA+PB 最小，且等于 AC 的长 连接 OA，OC， AMN=40 ， AON=80 ， B 为弧 AN 的中点， AOB=BON=40 ， 根据垂径定理得BNCN， CON=BON=40 ， AOC=120 ， MN=2， OA=OC=1， OAC=OCA=30 ， 过点 O 作 OGAC 于点 G， AG=CG，OG=12OA=12， AG=CG=2232OAOG， AC
9、=3 故选：B 3A 解：直径 AB4， COAO2， 连接 OD，以 AO 为直径作圆 G，过 G 作 GFOC 于 F， D 为 AP 的中点，OD 过 O， ODAP， 即点 D 在G 上，GD12OA1， OG1， 点 C 为半圆 O 的三等分点（更靠近 A 点） ， AOC60 ， FGO30 ， OF12OG12，GF3OF132， CFOCOF21232， 由勾股定理得：CG22GFCF2213(3)( )223， CDCG-GD， CD3-1， CD 的最小值是3-1， 故选：A 4A 连接 AC，取其中点 H，则点 F 的运动轨迹是以 H 为圆心，以 HA 为半径的圆的OA上
10、， 以 G(0，1)为圆心，半径为 2 的G 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C、D 两点， OG=1，GA=GC=2，OC=3， AOG=90 ， OG=1，GA=GC=2， OA=222 -1=3，AC=223( 3)=23， HA=3， HCO=30 ， AHO=60 ， 点 F 所经过的路径长为603180=33， 故选 A 5D 解：如图，作A点关于直线DC的对称点A，连接AA，延长CD交AA于点N，连接BD，DA， Q四边形ABCD是菱形，60BAD，AB3， 3ABADCDBC，60BADBCD， ADBV、BCD是等边三角形 ， 60BDCADB， 18060AD
11、NADBBDC， 60A DNADN ， 180ADBADNA DN， A ，D，B在一条直线上， 由题意可得出：当P与D重合，E点在AD上，F在BD上时，PEPF最小， 3BDABAD，A、B 的半径分别为 2 和 1， 1PEADAE，2PFBDBF， PEPF的最小值是 3 故选：D 6B 解：如图，连接 BO、BC CEAD， AEC90 ， 在点 D 移动的过程中，点 E 在以 AC 为直径的圆上运动， AB 是直径， ACB90 ， 在 Rt ABC 中，AC4，AB5， 2222543BCABAC，OE2， 在 Rt BCO中，22222313BOBCCQ ， OE+BEOB，
12、当 O、E、B 共线时，BE 的值最小，最小值为 OBOE132， 故选：B 7C 【详解】 解：作点 A 关于 MN 的对称点 A，连接 AB 交 MN 于点 P，则 PA+PB 最小， 连接 OA,AA. 点 A 与 A关于 MN 对称，点 A 是半圆上的一个三等分点， AON=AON=60 ，PA=PA， 点 B 是AN的中点， BON=30 ， AOB=AON+BON=60 +30 =90 ， 又OA=OA=1， 在 RtOAB中， AB2222=+1 +1OAOB=2， PA+PB=PA+PB=AB=2 故选：C 860152 解：连接 BD，取 AD 的中点 E，连接 BE，如下图
13、： DHAC 点 H 在以点 E 为圆心，AE 为半径的圆上，当 B、H、E 三点共线时，BH 取得最小值 AB 是直径 90BDAo 在Rt BDAV中，AB=13，AD=5 由勾股定理得：222BDABAD 即：216925144BD 0BD =12BD E 为 AD 的中点 1522DEAD 在Rt BDEV中，=12BD，52DE 由勾股定理得：222BEDEBD 即：225601+144=44BE 0BE 6012BE 又DHAC，且点 E 为 AD 的中点 52EH 60156015222BHBEEH 故答案为：60152 951 解：连接 AO 与O 相交于点 P，如图， 在 A
14、OP 中，AP+OPAO， 即：AP是 AP 的最小值， ACB=90 ，AC=BC=2，BC 为直径， PO=CO=1， AO=225ACCO， AP=51， AP 的最小值是51 故答案为：51 105 解：如图，当 CDAB 时，EM 的值最大， 连接 OM、CE、OC， DM=CM， OMCD， CDAB，CEAB， OMC=MOB=OEC=90 , 四边形 OMCE 是矩形， EM=OC=5， EM 的最大值为 5， 故答案为：5 113 解：作点 B 关于 MN 的对称点 C，连接 AC 交 MN 于点 P，则 P 点就是所求作的点 此时 PA+PB 最小，且等于 AC 的长 连接
15、 OA，OC，OB，作 ODAC 于 D， AMN40 ， AON80 ， B 为弧 AN 的中点， AOBNOB40 ， 由对称可知，CONNOB40 ， AOC120 ， MN2 OAOC1， OACOCA30 ， OD12， 2232CDOCOD， AC2CD3 故答案为3 129 解：如图，连接OA，OB， 60AB ， 60AOB， OAOB， AOBV为等边三角形， Oe的半径为 6， 6ABOAOB， 点E，F分别是AC，BC的中点， 116322EFAB， 3GEFHGHEFGH， 要求GEFH的最大值，即求弦GH的最大值， 当弦GH是圆的直径时，GH最大，最大值为：6 2 1
16、2 ， GEFH的最大值为：12 39 故答案为：9 1310 2 解：作出 D 关于 AB 的对称点 D，连接 OC，OD，CD 又点 C 在O 上，CAB=30 ，D 为弧BC的中点，即BDBD， BAD=12CAB=15 CAD=45 COD=90则 COD是等腰直角三角形 OC=OD=12AB=10， CD=10 2， 故答案为：10 2 144 115 解：连接 OP，OQ， PQ 与圆 O 相切， PQO=90 ， OQ 不变， 当 OP 最小时，PQ 最小， 此时 OP 与 AB 垂直， OA=8，AB=10， OB=22ABOA=6， OP=OA OBAB=245， PQ=22
17、OPPQ=4 115， 故答案为：4 115 1510 解：延长 AO 交O 于 T，连接 DT，ET BD=CE，OB=OC， OD=OE， OA=OT， 四边形 ADTE 是平行四边形， AD=ET， AD+AE=AE+ET10， AD+AE 的最小值为 10 故答案为：10 16483 解：如图，连接CE，连接 BP P为BC边的垂直平分线DE上一个动点， 点 C 和点 B 关于直线 DE 对称， CPBP, AP CPAPBP 当动点 P 与点 E 重合时APBP最小，此时AP CP最小， 90ACB，30B ，4AC ， 28ABAC，4AE , CPAPAC， ACP是等边三角形，
18、 60APC， 8AP CPAPBPAB， 阴影部分的周长最小值为6044881803. 故答案为483. 17 解： （1）证明：连接OD，如图 1 所示： DEQ是Oe的切线， 90EDCODA， OAOBQ， 90ACOOAC， OAQ、OB是Oe的两条半径， OAOB， ODAOAC ， EDCACO ， ECDACO Q， ECDEDC； （2）解：2BCOCQ，6OBOA， 2OC， 设DEx， ECDEDC Q， CEDEx， 2OEx， 90ODEQ， 222ODDEOE， 即：2226(2)xx， 解得：8x ， 8DE； （3）解：过点D作DFAO交AO的延长线于F，如图
19、2 所示： 当15A 时，30DOF， 11322DFODOA，150DOA， 2150611156 315936022AODABDODASSSOA DF 弓形扇形， 当30A 时，60DOF， 333 322DFODOA，120DOA， 2120611126 3 3129 336022AODABDODASSSAO DF 弓形扇形， 当A从15增大到30的过程中，AD在圆内扫过的面积为： (159)(129 3)39 39 18 解： （1）AB=4， OB=2，OC=OB+BC=4 在 OPC 中，设 OC 边上的高为 h， S OPC=12OCh=2h， 当 h 最大时，S OPC取得最大
20、值 观察图形，当 OPOC 时，h 最大，如图所示： 此时 h=半径=2，S OPC=2 2=4 OPC 的最大面积为 4 （2）如图，连接 AP，BP PD，AB 都是圆的直径 APB=PBD=90 APB+PBD=180 APBD A=D=APD=ABD， AOP=DOB 在 AOP 与 BOD 中 =OAOBAOPBODOPOD AOPBOD（SAS） ， AP=BD， CP=DB， AP=CP， A=C A=D=APD=ABD=C， 在 ODB 与 BPC 中 2=BCOBCOBDCPBD ODBBPC（SAS） ， D=BPC， PD 是直径， DBP=90 ， D+BPD=90 ，
21、 BPC+BPD=90 ， DPPC， DP 经过圆心， PC 是O 的切线 1932 连接 BE，CE，如下图所示： CACB，CDAB， ADDB12AB4， CDB90 ，CD3， BC5， EC2， BC CEBEBCCE，即5 25 2BE ， 37BE， BE 的最小值为 3， AFFE，ADDB， DF12BE， DF 的最小值为32 20 （1）证明：连接 DF，AF DE 是直径， EAD=90 ， FEAB， FEA=90 ， AF 是直径， ADF=90 ， FEA=EAD=ADF=90 ， 四边形 ADFE 是矩形， EF=AD， EB=EA，BEF=EAD=90 ， EFBADE(HL)； （2）解四边形 ADFE 是矩形， EFAC，EF=AD， BE=AE， BF=CF， AC=2EF， EF=AD=CD， EFCD， 四边形 EFCD 是平行四边形， AD=CD，EFAC， S矩形EFDA=S平行四边形EFCD， 矩形 EFDA 的面积最大时，四边形 EFCD 的面积最大， 当 AFDE 时，矩形 EFDA 的面积最大，即矩形 EFDA 为正方形时，面积最大， 此时矩形 EFDA 的面积的最大值14 482 四边形 FCDE 的最大面积为 8