1、2021-2022 学年山东省菏泽市单县九年级第一学期期中数学试卷学年山东省菏泽市单县九年级第一学期期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 24 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项的序号涂在答题卡相应位置）确的，请把正确的选项的序号涂在答题卡相应位置） 130角的正切值为（ ） A B C D 2在 RtABC 中，C90，BC3cm，AC4cm，以点 C 为圆心，以 2.5cm 为半径画圆，则C 与直线 AB 的位置关系是（ ） A相交 B相切 C
2、相离 D不能确定 3下列说法：位似图形都相似；位似图形都是平移后再放大（或缩小）得到；直角三角形斜边上的中线与斜边的比为 1： 2； 两个相似多边形的面积比为 4： 9， 则周长的比为 16： 81 中， 正确的有 （ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 4在ABC 中，（2cosA）2+|1tanB|0，则ABC 一定是（ ） A直角三角形 B等腰三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形 5如图，直线 ABCDEF，若 AC3，CE4，则的值是（ ） A B C D 6如图，四边形 ABCD 内接于O，ADBC，BD 平分ABC，A130，则BDC 的度数为（ ） A100 B105
3、C110 D115 7如图，一渔船上的渔民在 A 处看见灯塔 M 在北偏东 60方向，这艘渔船以 28km/时的速度向正东航行，半小时到 B 处，在 B 处看见灯塔 M 在北偏东 15方向，此时，灯塔 M 与渔船的距离是（ ） A7km B14km C7km D14km 8如图，在平行四边形 ABCD 中，AB6，AD9，BAD 的平分线交 BC 于 E，交 DC 的延长线于 F，BGAE 于 G，BG，则EFC 的周长为（ ） A11 B10 C9 D8 二、 填空题 （本大题共有二、 填空题 （本大题共有 6 个小题， 每小题个小题， 每小题 3 分， 共分， 共 18 分， 只要求把最后
4、结果填写在答题卡的相应区域内）分， 只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内） 9如果两个相似三角形的相似比为 1：4，那么它们的面积比为 10在 RtABC 中，C90，AB10，tanA，则 BC 的长是 11如图，在平面直角坐标系中，已知A 经过点 E、B、O、C，且点 O 为坐标原点，点 C 在 y 轴上，点 E在 x 轴上，A（3，2），则 tanOBC 12将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是 13如图，矩形 ABCD 的边长 AB3cm，AC3cm，动点 M 从点 A 出发，沿 AB 以 1cm/s 的速度向点 B匀速运动， 同时动点 N 从点 D 出发， 沿 DA 以 2c
5、m/s 的速度向点 A 匀速运动 若AMN 与ACD 相似，则运动的时间 t 为 s 14如图，在半径为 6cm 的O 中，点 A 是劣弧的中点，点 D 是优弧上一点，且D30，下列四个结论： OABC；BC6cm；sinAOB；四边形 ABOC 是菱形 其中正确结论的序号是 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 78 分把解答和证明过程写在答题卡的相应区域内分把解答和证明过程写在答题卡的相应区域内 15计算：tan30sin60cos230+sin245tan45 16如图，在ABCD 中，点 E 在 BC 上，CDEDAE （1）求证：ADEDEC； （2）若 AD6，DE4，求 CE 的
6、长 17如图，在边长均为 1 的小正方形网格纸中，ABC 的顶点 A、B、C 均在格点上，O 为直角坐标系的原点，点 A（1，0）在 x 轴上 （1）以 O 为位似中心，将ABC 放大，使得放大后的A1B1C1与ABC 的相似比为 2：1，要求所画A1B1C1与ABC 在原点两侧； （2）分别写出点 A1、B1、C1的坐标 18如图，在ABC 中，DEBC，AD：DB2：1，ABC 的面积为 27，求ADE 的面积 19如图，AD 与O 相切于点 D，点 A 在直径 CB 的延长线上 （1）求证：DCBADB； （2）若DCB30，AC3，求 AD 的长 20如图，在ABC 中，ACB90，D
7、 为 AC 上一点，DEAB 于点 E，AC12，BC5 （1）求 cosADE 的值； （2）当 DEDC 时，求 AD 的长 21如图，AD 是ABC 外角EAC 的平分线，AD 与ABC 的外接圆O 交于点 D （1）求证：DBDC； （2）若CAB30，BC4，求劣弧的长度 22如图，在斜坡 PA 的坡顶平台处有一座信号塔 BC，在坡顶 A 处测得该塔的塔顶 B 的仰角为 76，在坡底的点 P 处测得塔顶 B 的仰角为 45，已知斜坡长 PA26m，坡度为 1：2.4，点 A 与点 C 在同一水平面上，且 ACPQ，BCAC请解答以下问题： （1）求坡顶 A 到地面 PQ 的距离； （
8、2） 求信号塔 BC 的高度 （结果精确到 1m， 参考数据： sin760.97， cos760.24， tan764.00） 23如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 分别与 BC，AC 交于点 D，E，过点 D 作 DFAC，垂足为点 F （1）求证：直线 DF 是O 的切线； （2）求证：BC24CFAC； （3）若O 的半径为 4，CDF15，求阴影部分的面积 24（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目： 如图 1，在ABC 中，点 O 在线段 BC 上，BAO30，OAC75，AO，BO：CO1：3，求 AB 的长 经过社团成员讨论发现，过点 B 作 BDA
9、C，交 AO 的延长线于点 D，通过构造ABD 就可以解决问题（如图 2） 请回答：ADB ，AB （2）请参考以上解决思路，解决问题： 如图 3， 在四边形 ABCD 中， 对角线 AC 与 BD 相交于点 O， ACAD， AO， ABCACB75，BO：OD1：3，求 DC 的长 参考答案参考答案 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 24 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项的序号涂在答题卡相应位置）确的，请把正确的选项的序号涂在答题卡相应位置） 130角
10、的正切值为（ ） A B C D 【分析】根据特殊锐角的三角函数值得出答案 解：由特殊锐角的三角函数值可知， tan30， 故选：A 2在 RtABC 中，C90，BC3cm，AC4cm，以点 C 为圆心，以 2.5cm 为半径画圆，则C 与直线 AB 的位置关系是（ ） A相交 B相切 C相离 D不能确定 【分析】过 C 作 CDAB 于 D，根据勾股定理求出 AB，根据三角形的面积公式求出 CD，得出 dr，根据直线和圆的位置关系即可得出结论 解：过 C 作 CDAB 于 D，如图所示： 在 RtABC 中，C90，AC4，BC3， AB5， ABC 的面积ACBCABCD， 345CD，
11、 CD2.42.5， 即 dr， 以 2.5 为半径的C 与直线 AB 的关系是相交； 故选：A 3下列说法：位似图形都相似；位似图形都是平移后再放大（或缩小）得到；直角三角形斜边上的中线与斜边的比为 1： 2； 两个相似多边形的面积比为 4： 9， 则周长的比为 16： 81 中， 正确的有 （ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】位似就是特殊的相似，因而第一个是正确的；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，因而斜边上的中线与斜边的比为 1：2；相似形面积的比等于相似比的平方，周长比等于相似比 解：位似图形都相似，直角三角形斜边上的中线与斜边的比为 1：2，正确 故选：B 4
12、在ABC 中，（2cosA）2+|1tanB|0，则ABC 一定是（ ） A直角三角形 B等腰三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形 【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得 A、B 的值，根据直角三角形的判定，可得答案 解：由（2cosA）2+|1tanB|0，得 2cosA，1tanB0 解得 A45，B45， 则ABC 一定是等腰直角三角形， 故选：D 5如图，直线 ABCDEF，若 AC3，CE4，则的值是（ ） A B C D 【分析】已知直线 ABCDEF，根据平行线分线段成比例定理列出比例式即可求解 解：ABCDEF AC3，CE4 故选：C
13、 6如图，四边形 ABCD 内接于O，ADBC，BD 平分ABC，A130，则BDC 的度数为（ ） A100 B105 C110 D115 【分析】根据圆内接四边形的性质得出C 的度数，进而利用平行线的性质得出ABC 的度数，利用角平分线的定义和三角形内角和解答即可 解：四边形 ABCD 内接于O，A130， C18013050， ADBC， ABC180A50， BD 平分ABC， DBC25， BDC1802550105， 故选：B 7如图，一渔船上的渔民在 A 处看见灯塔 M 在北偏东 60方向，这艘渔船以 28km/时的速度向正东航行，半小时到 B 处，在 B 处看见灯塔 M 在北偏
14、东 15方向，此时，灯塔 M 与渔船的距离是（ ） A7km B14km C7km D14km 【分析】作 BHAM 于 H，根据题意标注方向角，根据等腰直角三角形的性质和锐角三角函数的概念进行计算即可 解：如图，过点 M 作 MCAB 于点 C，过点 B 作 BNAM 于点 N， 由题意得，MAB30，MBC75， CBMBAM+AMB， AMBNAM45， BNMN， AB280.514km， BN7km， BMNB7（km） 故选：A 8如图，在平行四边形 ABCD 中，AB6，AD9，BAD 的平分线交 BC 于 E，交 DC 的延长线于 F，BGAE 于 G，BG，则EFC 的周长为
15、（ ） A11 B10 C9 D8 【分析】判断出ADF 是等腰三角形，ABE 是等腰三角形，DF 的长度，继而得到 EC 的长度，在 RtBGE 中求出 GE，继而得到 AE，求出ABE 的周长，根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得出EFC 的周长 解：在ABCD 中，ABCD6，ADBC9，BAD 的平分线交 BC 于点 E， BAFDAF， ABDF，ADBC， BAFFDAF，BAEAEB， ABBE6，ADDF9， ADF 是等腰三角形，ABE 是等腰三角形， ADBC， EFC 是等腰三角形，且 CFCE， ECFCDFDC963， 在ABG 中，BGAE，AB6，BG4， A
16、G2， AE2AG4， ABE 的周长等于 16， 又CEFBEA，相似比为 1：2， CEF 的周长为 8 故选：D 二、 填空题 （本大题共有二、 填空题 （本大题共有 6 个小题， 每小题个小题， 每小题 3 分， 共分， 共 18 分， 只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内）分， 只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内） 9如果两个相似三角形的相似比为 1：4，那么它们的面积比为 1：16 【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解得 解：两个相似三角形的相似比为 1：4， 它们的面积比为 1：16 故答案为 1：16 10在 RtABC 中，C90，
17、AB10，tanA，则 BC 的长是 6 【分析】根据A 的正切值用 AC 表示出 BC，再利用勾股定理列方程求解即可 解：tanA， ， BCAC， 在ABC 中，根据勾股定理得，AC2+BC2AB2， 即 AC2+（AC）2102， 解得 AC8， BC86， 故答案为：6 11如图，在平面直角坐标系中，已知A 经过点 E、B、O、C，且点 O 为坐标原点，点 C 在 y 轴上，点 E在 x 轴上，A（3，2），则 tanOBC 【分析】连接 CE，如图，利用圆周角定理得到 CE 为A 的直径，再利用线段的中点坐标公式得到 E（6，0），C（0，4），即 OE6，OC4，利用正切的定义得到
18、 tanCEO，然后根据圆周角定理得到CBOCEO，从而得到 tanCBO 的值 解：连接 CE，如图， COE90， CE 为A 的直径， 即点 A 为 CE 的中点， A（3，2）， E（6，0），C（0，4）， OE6，OC4， 在 RtCOE 中，tanCEO， CBOCEO， tanCBO 故答案为 12将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是 【分析】由BACACD90，可得 ABCD，即可证得ABEDCE，然后由相似三角形的对应边成比例，可得：，然后利用三角函数，用 AC 表示出 AB 与 CD，即可求得答案 解：BACACD90， ABCD， ABEDCE， ， 在 RtACB
19、 中B45， ABAC， 在 RtACD 中，D30， CDAC， 故答案为： 13如图，矩形 ABCD 的边长 AB3cm，AC3cm，动点 M 从点 A 出发，沿 AB 以 1cm/s 的速度向点 B匀速运动， 同时动点 N 从点 D 出发， 沿 DA 以 2cm/s 的速度向点 A 匀速运动 若AMN 与ACD 相似，则运动的时间 t 为 2.4 或 1.5 s 【分析】先假设相似，利用相似中的比例线段列出方程，有解的且符合题意的 t 值即可说明存在，反之则不存在 解：由题意得 DN2t，AN62t，AMt， 矩形 ABCD 的边长 ABCD3cm，AC3cm，由 勾股定理得，AD6（c
20、m）， 若NMAACD， 则有，即， 解得 t1.5， 若MNAACD 则有，即， 解得 t2.4， 答：当 t1.5 秒或 2.4 秒时，AMN 与ACD 相似 故答案为：1.5 或 2.4 14如图，在半径为 6cm 的O 中，点 A 是劣弧的中点，点 D 是优弧上一点，且D30，下列四个结论： OABC；BC6cm；sinAOB；四边形 ABOC 是菱形 其中正确结论的序号是 【分析】分别根据垂径定理、菱形的判定定理、锐角三角函数的定义对各选项进行逐一判断即可 解：点 A 是劣弧的中点，OA 过圆心， OABC，故正确； D30， ABCD30， AOB60， 点 A 是劣弧的中点， B
21、C2CE， OAOB， OAOBAB6cm， BEABcos3063cm， BC2BE6cm，故正确； AOB60， sinAOBsin60， 故正确； AOB60， ABOB， 点 A 是劣弧的中点， ACAB， ABBOOCCA， 四边形 ABOC 是菱形， 故正确 故答案为： 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 78 分把解答和证明过程写在答题卡的相应区域内分把解答和证明过程写在答题卡的相应区域内 15计算：tan30sin60cos230+sin245tan45 【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案 解：原式（）2+（）21 + 16如图
22、，在ABCD 中，点 E 在 BC 上，CDEDAE （1）求证：ADEDEC； （2）若 AD6，DE4，求 CE 的长 【分析】 （1） 根据 ADBC， 可以证得ADEDEC， 又有CDEDAE 即可证得ADEDEC； （2）根据相似三角形对应边的比相等，即可求得 CE 的长 【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， ADEDEC， 又CDEDAE， ADEDEC； （2）解：ADEDEC， ， AD6，DE4， ， CE 17如图，在边长均为 1 的小正方形网格纸中，ABC 的顶点 A、B、C 均在格点上，O 为直角坐标系的原点，点 A（1，0）在 x 轴上 （
23、1）以 O 为位似中心，将ABC 放大，使得放大后的A1B1C1与ABC 的相似比为 2：1，要求所画A1B1C1与ABC 在原点两侧； （2）分别写出点 A1、B1、C1的坐标 【分析】（1）连接 OA 并延长，使 OA12OA，同法得到其余各点，顺次连接即可； （2）根据所得图形及网格图即可得出答案 解：（1）所画图形如下所示： （2）A1、B1、C1的坐标分别为：（2，0），（4，4），（6，2） 18如图，在ABC 中，DEBC，AD：DB2：1，ABC 的面积为 27，求ADE 的面积 【分析】由已知条件可证得ADEABC，则由相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可求解 解：AD：
24、DB2：1， DEBC， ADEABC （）2，即， 解得：SADE12， ADE 的面积为 12 19如图，AD 与O 相切于点 D，点 A 在直径 CB 的延长线上 （1）求证：DCBADB； （2）若DCB30，AC3，求 AD 的长 【分析】（1）连接 OD，根据切线的性质和圆周角定理即可证明； （2）证明ADBACD，对应边成比例，根据特殊角三角函数即可求出结果 【解答】（1）证明：如图，连接 OD， AD 与O 相切于点 D， ODAD， ODB+ADB90， CB 是直径， CDB90， ODB+ODC90， ODCADB， ODOC， ODCOCD， CADB； （2）解：DC
25、BADB，DACCAD， ADBACD， ， CB 是直径， CDB90，DCB30， tanDCB， ， AC3， AD3 20如图，在ABC 中，ACB90，D 为 AC 上一点，DEAB 于点 E，AC12，BC5 （1）求 cosADE 的值； （2）当 DEDC 时，求 AD 的长 【分析】 （1） 根据三角形的内角和得到A+ADE90， A+B90， 根据余角的性质得到ADEB，根据勾股定理得到 AB13，由三角函数的定义即可得到结论； （2）由（1）得，设 AD 为 x，则，由于 ACAD+CD12，列方程即可得到结论 解：（1）DEAB， DEA90， A+ADE90， ACB
26、90， A+B90， ADEB， 在 RtABC 中，AC12，BC5， AB13， ， ； （2）由（1）得， 设 AD 为 x，则， ACAD+CD12， ， 解得， 21如图，AD 是ABC 外角EAC 的平分线，AD 与ABC 的外接圆O 交于点 D （1）求证：DBDC； （2）若CAB30，BC4，求劣弧的长度 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质，圆周角定理得到DCBDBC，根据等腰三角形的判定定理证明； （2） 根据圆周角定理得到COB2CAB60， CDBCAB30， 得到COB 为等边三角形，求出 OC，COD，根据弧长公式计算 【解答】（1）证明：AD 平分EAC， EA
27、DCAD， A，D，C，B 四点共圆， EADDCB， 由圆周角定理得，CADCBD， DCBDBC， DBDC； （2）解：由圆周角定理得，COB2CAB60，CDBCAB30， COB 为等边三角形， OCBC4， DCDB，CDB30， DCB75， DCO15， COD150， 则劣弧的长 22如图，在斜坡 PA 的坡顶平台处有一座信号塔 BC，在坡顶 A 处测得该塔的塔顶 B 的仰角为 76，在坡底的点 P 处测得塔顶 B 的仰角为 45，已知斜坡长 PA26m，坡度为 1：2.4，点 A 与点 C 在同一水平面上，且 ACPQ，BCAC请解答以下问题： （1）求坡顶 A 到地面 P
28、Q 的距离； （2） 求信号塔 BC 的高度 （结果精确到 1m， 参考数据： sin760.97， cos760.24， tan764.00） 【分析】（1）过点 A 作 AHPQ，垂足为 H，根据斜坡 AP 的坡度为 1：2.4，利用勾股定理即可求出结果； （2）延长 BC 交 PQ 于点 D，根据题意可得四边形 AHDC 是矩形，设 BCx，则 x+1024+DHACDH（x14）m利用正切列出方程即可求解 解：（1）如图，过点 A 作 AHPQ，垂足为 H， 斜坡 AP 的坡度为 1：2.4， 设 AH5k，则 PH12k， 在 RtAHP 中，由勾股定理，得 13k26， 解得 k2
29、 AH10（m） 答：坡顶 A 到地面 PQ 的距离为 10m； （2）如图，延长 BC 交 PQ 于点 D， 由题意可知四边形 AHDC 是矩形， CDAH10m，ACDH BPD45，BDP90， PDBD PH12224（m）， 设 BCx，则 x+1024+DH ACDH（x14）m 在 RtABC 中， 即 解得 x19（m） 答：信号塔 BC 的高度约为 19m 23如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 分别与 BC，AC 交于点 D，E，过点 D 作 DFAC，垂足为点 F （1）求证：直线 DF 是O 的切线； （2）求证：BC24CFAC； （3）若O 的半径为
30、 4，CDF15，求阴影部分的面积 【分析】（1）如图所示，连接 OD，证明CDF+ODB90，即可求解； （2）证明CFDCDA，则 CD2CFAC，即 BC24CFAC； （3）S阴影部分S扇形OAESOAE即可求解 解：（1）如图所示，连接 OD， ABAC，ABCC，而 OBOD，ODBABCC， DFAC，CDF+C90，CDF+ODB90， ODF90， 直线 DF 是O 的切线； （2）连接 AD，则 ADBC，又 ABAC， 则 DBDC， CDF+C90，C+DAC90，CDFDAC， 而DFCADC90，CFDCDA， CD2CFAC，即 BC24CFAC； （3）连接 O
31、E， CDF15， C75， CFDCDA， CDFCAD， OAE30OEA， AOE120， SOAEAEOEsinOEA2OEcosOEAOEsinOEA4， S阴影部分S扇形OAESOAE4244 24（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目： 如图 1，在ABC 中，点 O 在线段 BC 上，BAO30，OAC75，AO，BO：CO1：3，求 AB 的长 经过社团成员讨论发现，过点 B 作 BDAC，交 AO 的延长线于点 D，通过构造ABD 就可以解决问题（如图 2） 请回答：ADB 75 ，AB 4 （2）请参考以上解决思路，解决问题： 如图 3， 在四边形 ABCD 中
32、， 对角线 AC 与 BD 相交于点 O， ACAD， AO， ABCACB75，BO：OD1：3，求 DC 的长 【分析】（1）根据平行线的性质可得出ADBOAC75，结合BODCOA 可得出BODCOA，利用相似三角形的性质可求出 OD 的值，进而可得出 AD 的值，由三角形内角和定理可得出ABD75ADB，由等角对等边可得出 ABAD4，此题得解； （2）过点 B 作 BEAD 交 AC 于点 E，同（1）可得出 AE4，在 RtAEB 中，利用勾股定理可求出BE 的长度，再在 RtCAD 中，利用勾股定理可求出 DC 的长，此题得解 解：（1）BDAC， ADBOAC75 BODCOA， BODCOA， 又AO， ODAO， ADAO+OD4 BAD30，ADB75， ABD180BADADB75ADB， ABAD4 故答案为：75；4 （2）过点 B 作 BEAD 交 AC 于点 E，如图所示 ACAD，BEAD， DACBEA90 AODEOB， AODEOB， BO：OD1：3， AO3， EO， AE4 ABCACB75， BAC30，ABAC， AB2BE 在 RtAEB 中，BE2+AE2AB2，即（4）2+BE2（2BE）2， 解得：BE4， ABAC8，AD12 在 RtCAD 中，AC2+AD2CD2，即 82+122CD2， 解得：CD4