1、2022 届届高三高三摸底考试文科数学试卷摸底考试文科数学试卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1已知集合21Axx， 2, 1,0,1,2B ，则ABI A B C D 2下列有关四边形ABCD的形状判断错误的是 A若ADBCuuu ruuu r，则四边形ABCD为平行四边形 B若13ADBCuuu ruuu r，则四边形ABCD为梯形 C若ABDCuuu ruuu r，且| |ABADuuu ruuu r，则四边形ABCD为菱形 D若ABDCuuu ruuu r，且ACBDuuu ruuu r，则四边形AB
2、CD为正方形 3复数5i2的共轭复数是 A2i Bi2 C2i D2i 4各项均为正数的等差数列na的满足213aa，则152423a aa aa A1 B2 C65 D139 5已知B是椭圆2222:1 (0)xyCabab的上顶点，2F是C的右焦点，直线2BF与椭圆C的另一个交点为A，若222BFF A，则椭圆C的离心率为 A12 B22 C13 D33 6四名同学各掷骰子 4 次，记录每次骰子出现的点数并分别对每位同学掷得的点数进行统计处理，在四名同学以下的统计结果中，可以判断该同学掷出的骰子一定没有出现点数 1的是 A平均数为 3，众数为 4 B平均数为 4，中位数为 3 C中位数为
3、3，方差为 2.5 D平均数为 3，方差为 2.5 1,17已知圆周率满足等式1111111143579111315 L 如图是计算的近似值的程序框图，图中空白框中应填入 A B C D 8已知正四棱锥的底面边长为 2，高为 2，若该正四棱锥所有顶点都在同一个球O的球面上，则球O的表面积为 A5 B6 C8 D9 9已知数列na满足：11a ，23a ，21nnnaaa，则数列na前 100 项的和为 A0 B1 C5 D4 10双曲线2222:1 (0,0)xyCabab的焦距为 4，圆224xy与双曲线C及C的一条渐近线在第一象限的交点分别为A，B，若点B的纵坐标是点A纵坐标的 2 倍，则
4、C的方程为 A2213xy B2213yx C22122xy D22162xy 11某商用无人机公司从 2016 年 1 月份开始投产，已知前 4 个月的产量分别为 1 万台，1.2万台，1.3 万台，1.35 万台，由于产品技术先进、质量可靠，前几个月的产品销售情况良好，为了方便营销人员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估测后几个月的产量，通过模拟多个函数模型，发现模拟函数xya bc比较接近客观实际，用该函数模型估计第 5 个月的产量是（单位：万台） A1.37 B1.375 C1.38 D1.385 ( 1)kSSk( 1)21kSSk开始输入是否输出结束4Sk = k + 1
5、k = 1 , S = 0Nk N12若函数( )sin()5f xx（0）在区间(,2)上是单调函数，则的取值可以是 A15 B25 C45 D2 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13若x，y满足约束条件210,0,60,xyxyxy 则2zxy 的最小值为 . 14已知向量a，b满足(1,2)a，ab，则满足条件的一个向量b 15若从正六边形的 6 个顶点中随机选出 3 个点，以选出的这 3 个点为顶点构成直角三角形的概率为 16已知函数( )eln1xf xax有两个不同的零点，则实数a的取值范围是 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演
6、算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17 （12 分） ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2b ，1c . （1）若45B ，求cosC； （2）若7a ，D是BC的中点，求AD的长. 18 （12 分） 某小区毗邻一条公路，为了解交通噪声，连续25天监测噪声值（单位：分贝） ，得到频率分布直方图（图 1）.发现噪声污染严重，经有关部门在公路旁加装隔声板等治理措施后，再连续25天监测噪声值，得到频率分布直方图（图 2）. 图 1 图 2 把同一组中的数据用该组区间的中点值作代表
7、，请解答下列问题： （1）根据上面两个频率分布直方图，估计治理后比治理前的平均噪声值降低了多少分贝？ （2）国家“城市区域环境噪声”规定：重度污染：65分贝；中度污染：6065分贝；轻度污染：5560分贝；较好：5055分贝；好：50分贝.把上述两个样本数据的频率视为概率，根据图 1 估算出该小区噪声治理前一年内（365 天）噪声中度污染以上的天数为 277 天，根据图 2 估计一年内（365 天）噪声中度污染以上的天数比治理前减少了多少天？（精确到 1） 19 （12 分） 如图， 在三棱锥ABCD中，BCD是边长为2的等边三角形，ABAC，O是BC的中点，OACD. （1）证明：平面ABC
8、 平面BCD； （2）若，求点到平面ABD的距离. O 67 65 63 61 59 57 55 0.20 0.08 0.12 0.04 0.02 噪声值 组距 频率 O 55 57 59 61 63 65 53 0.02 0.04 0.06 0.12 0.08 0.18 组距 频率 噪声值 DOBAC 20 （12 分） 已知点0(,2)M x在抛物线2:2(0)C ypx p上，C的焦点为F，2MF . （1）求抛物线C的方程及0 x； （2） 经过点(2, 2)的直线l与C交于A，B两点， 且A，B异于点M， 若直线MA与MB的斜率存在且不为零，证明：直线MA与MB的斜率之积为定值. 2
9、1 （12 分） 已知函数( )sinf xxx，(0,)x （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：2e( )cose1xxf xx （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。并用 2B 铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 已知点、的极坐标为、，直线 经过、两点，曲线的极坐标方程为，直线 与曲线相交于、两点. 以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系. （1）求直线l的极坐标方程和曲线C的参数方程； AB(1,)A2 3(,)24BlABC6coslCMN（2）
10、求MN. 23选修 45：不等式选讲（10 分） 已知函数( )1f xx，( )31g xxx. （1）在直角坐标系中画出( )yf x和( )yg x的图象； （2）若( )( )f xag x恒成立，求a的取值范围. 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D A C D B A D C A B B 二、填空题 131 14( 2,1)（只要( , )m n满足20mn都可以） 1535 161(0, )e 三、解答题 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x y 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 1
11、7解： （1）由已知及正弦定理得：21sin45sinC，解得2sin4C ， 3 分 因为cb，所以045C ，所以14cos4C . 6 分 （2）解：在ABC中，由余弦定理得： 2227142cos22 77acbBac ，8 分 在ABD中，由余弦定理得： 22277232cos12 14247ADABBDAB BDB ， 10 分 所以32AD . 12 分 18 （1）解：设治理前、后样本的平均值分别为x、y，则 2(0.02 560.04 580.12 600.2 620.08 640.04 66)61.6x ， 04.59)6402. 06208. 06018. 05812.
12、05606. 05404. 0(2y， 所以56. 204.596 .61 yx分贝， 所以治理后比治理前的平均噪声值降低了 2.56 分贝. 6 分 （2）由题意知样本中度污染以上的噪声值在60,65， 其频率为38. 0)218. 008. 002. 0(2， 9 分 所以1397 .13836538. 0天，故138139277. 所以一年内噪声中度污染以上的天数比治理前减少了138天. 12 分 19解： （1）证明：因为，是的中点，所以，又因为， 所以平面，因为平面，所以平面平面. 6 分 （2）连接，由已知得，由（1）知平面， 所以，又， 所以，. 8 分 所以等腰的面积为. 10
13、 分 因为，设点到平面的距离为， 则，解得. 所以点到平面的距离为. 12 分 20解： （1）由抛物线方程知(,0)2pF，点0(,2)M x在C上，则02xp， 2 分 又2MF ，所以22()422pp，解得2p ，2p （舍去） ，所以01x . 所求抛物线C的方程为24yx，01x . 5分 （2）设11( ,)A x y，22(,)B xy，则直线MA与MB的斜率分别为1121yx，2221yx， 设直线AB的方程为2(2)yk x， 将24yx代入直线AB的方程得22(2)4yyk， 整理得22204kyyk， 因为2112()022k ， 所以124yyk，1288y yk .
14、 所以121222121212121222(2)(2)161611(2)(2)2()4(1)(1)44yyyyyyxxyyy yyy， 所以121222164881184yyxxkk ， ABACOOABCOACDOA BCDOAABCABC BCDOD3OD OA BCDAODOAOBO1AO 2AD 2AB ABD72A BCDCABDVVCABDd1173 1332d 2 217d CABD2 217DOBAC所以直线MA与MB的斜率之积为定值4. 12 分 21解： （1）( )1cosfxx ，( )12f ，( )122f， 故曲线在点处的切线方程为. 5 分 （2）设( )(22
15、sincos )exg xxxx， 则( )(22sincos )e(22cossin )exxg xxxxxx 2(sin )22sin()e4xxxx 由（1）知sinxx，又22sin()04x， 所以( )0g x，所以( )g x在(0,)上单调递增，故( )(0)1g xg， 所以，(0,)x ，2e( )cose1xxf xx12 分 22解： （1）在平面直角坐标系下，点、的直角坐标分别为、， 所以直线l的直角坐标方程为10 xy ， 则直线l的极坐标方程为cossin10 . 3 分 曲线C化为22(3)9xy， 则曲线C的参数方程为33cos ,3sinxy（为参数）. 6
16、 分 （2）曲线C的圆心3,0（）到直线:10l xy 的距离为223012 21( 1)d ， 所以222 3(2 2)2CD . 10 分 23解： （1）函数1,1,( ) |1|1,1.xxf xxxx , 1. 1, 43, 22, 3, 413)(xxxxxxxg 10 xy xOyAB( 1,0)A 1 1(, )2 2B 画出( )yf x和( )yg x的图象如右图； （2）( )( )f xag x，说明把函数( )f x的图象 向上或向下平移|a单位以后， ( )f x的图象在( )g x的上方， 由图象观察可得：4a ， 所以a的取值范围为4,) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x y 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4