1、2021 年河南省南阳市宛城区中考数学二模试卷年河南省南阳市宛城区中考数学二模试卷 一、选择题：（每小题一、选择题：（每小题 3 分，共分，共 30 分）（下列各小题只有一个答案是正确的）分）（下列各小题只有一个答案是正确的） 1下列各数最小的是（ ） A B C0 D 2芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用经测算，一粒芝麻的质量约为 0.00000201kg，将 0.00000201 用科学记数法表示为（ ） A2.01108 B0.201107 C2.01106 D20.1105 3 2021 年 5 月中旬， 习总书记南阳行引发热烈反响，
2、 某中学为了解本校学生对 “南水北调中线工程” 和 “医圣张仲景”的了解情况，分别进行了下列四种不同的抽样调查，你认为抽样比较合理的是（ ） A从八年级随机抽取 150 名学生 B从九年级每个班中各随机抽取 30 名学生 C从全校随机抽取 150 名学生 D从七、八、九年级各随机抽取 50 名学生 4如图是由一些相同的小正方体组合成的几何体的三视图，则小正方体的个数是（ ） A4 B5 C6 D7 5计算：（xx3）2x2（x3）2x2x6x8，其中，第一步运算的依据是（ ） A幂的乘方法则 B同底数幂的乘法法则 C乘法分配律 D积的乘方法则 6如图，将一根长 2m 的铁丝首尾相接围成矩形，则
3、围成的矩形的面积的最大值是（ ） A B C D1m2 7某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是（ ） A B C D 8如图，平行四边形 ABCD 中，ABBC2，ABC45，分别以点 A、B 为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧相交于点 E、F，作直线 EF 交 BC 于点 G，连接 DG，则线段 DG 的长为（ ） A B2 C2 D2 9对于实数 a、b，定义一种运算“”为：aba2+ab2，有下列命题：132；方程 x10的根为：x12，x21；不等式组的解集为：1x4；点（1，0）在函数 yx（1）的图象上，其中正确的是（ ）
4、A B C D 10如图，点 C 是以点 O 为圆心、AB 为直径的半圆上的一个动点（可以与点 A、B 重合），过点 C 作CDAB 于 D，连结 CA，设 CA 的长为 x，CD 的长为 y，图是点 C 运动过程中 y 与 x 之间的函数关系的图象，其中最高点 M 的坐标是（ ） A（2，2） B（2，2） C（2，3） D（2，3） 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11若（m1）00，则实数 m 应满足的条件是 12如图是利用直尺和三角板过直线 l 外一点 P 作直线 l 的平行线的方法，这样做的依据是 13如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD
5、的顶点 A，D 分别在 x 轴、y 轴上，对角线 BDx 轴，反比例函数 y （k0， x0） 的图象经过矩形对角线的交点 E， 若点 A （1， 0） ， D （0， 2） ， 则 k 的值为 14如图，在扇形 OAB 中，AOB90，点 C 是 OB 的中点，过点 C 作 CDOB 交于点 D，过点 D作DEOA于点E， 连接BE交CD于点F， 若OA2， 则图中阴影部分的面积为 15如图，在 RtABC 中，ACB90，BC2AC2，D 为 AB 的中点，P 是边 BC 上的一个动点，连接 PA、PD，将ADP 沿直线 DP 折叠，得到DPA，当以 A、B、D、P 为顶点的四边形是平行四
6、边形时，线段 BP 的长为 三、解答题（共三、解答题（共 8 个小题，满分个小题，满分 54 分）分） 16 复习备考时， 王老师在黑板上写了一道分式化简题的正确计算结果，随后用手遮住了原题目的一部分，如图： （a+1） （1）求被手遮住部分的代数式，并将其化简； （2）原代数式的值能等于 3 吗？请说明理由 17云课堂的最大优点是能够依托网络平台及时反锁学习效果，在一次数学习题课教学上，课前，雷老师让班上每位同学做 6 道与这节课内容相关的类似练习题，解题情况频数统计如图 1 所示课后，雷老师再让学生做 6 道与这节课内容相关的类似练习题，解题情况统计如表 2 所示，已知每位学生至少答对 1
7、题 答对题数 频数（人） 1 3 2 4 3 4 4 a 5 12 6 16 合计 b 根据以上信息，回答下列问题： （1）根据图表信息填空：a ，b ； （2）该班课前解题时答对题数的众数是 ，课后解题答对题数的中位数是 ； （3）请选择适当的统计量，从两个不同的角度评价这节数学习题课的教学效果 18如图，ABC 是O 的内接三角形，BAC75，ABC45，连接 AO 并延长交O 于点 D，连接 BD，过点 C 作O 的切线，与 BA 的延长线相交于点 E （1）求证：ADEC； （2）若 AB3，求线段 AE 的长 19 某班为参加学校的大课间活动比赛， 准备购进一批跳绳， 已知 2 根
8、A 型跳绳和 1 根 B 型跳绳共需 56 元，1 根 A 型跳绳和 2 根 B 型跳绳共需 82 元 （1）求一根 A 型跳绳和一根 B 型跳绳的售价各是多少元？ （2）学校准备购进这两种型号的跳绳共 50 根，并且 A 型跳绳的数量不多于 B 型跳绳数量的 3 倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由 20 如图， 为了测量河对岸古塔 AB 的高度， 在坡度 i1： 2.4 的斜坡底 C 处测得古塔顶端 A 的仰角为 60，沿斜坡上行 26 米到达 D 处，测得古塔顶端 A 的仰角为 37（已知 A、B、C、D 在同一竖直平面内），求古塔 AB 的高度 （结果精确到 0.1 米，参考数据：
9、sin370.6，cos370.8，tan370.75，1.73） 21已知一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y的图象交于点 A，与 x 轴交于点 B（5，0），若 OBAB，且 SOAB （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）若点 P 为 x 轴上一点，ABP 是等腰三角形，求点 P 的坐标 参考答案参考答案 一、选择题：（每小题一、选择题：（每小题 3 分，共分，共 30 分分.）（下列各小题只有一个答案是正确的）（下列各小题只有一个答案是正确的） 1下列各数最小的是（ ） A B C0 D 【分析】根据实数的大小关系解决此题 解：根据实数的大小关系，得 在、0、中最小的数
10、为 故选：A 2芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用经测算，一粒芝麻的质量约为 0.00000201kg，将 0.00000201 用科学记数法表示为（ ） A2.01108 B0.201107 C2.01106 D20.1105 【分析】绝对值小于 1 的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数 n 由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 解：0.000002012.01106 故选：C 3 2021 年 5 月中旬， 习总书记南阳行引发热烈反响， 某中学为了解
11、本校学生对 “南水北调中线工程” 和 “医圣张仲景”的了解情况，分别进行了下列四种不同的抽样调查，你认为抽样比较合理的是（ ） A从八年级随机抽取 150 名学生 B从九年级每个班中各随机抽取 30 名学生 C从全校随机抽取 150 名学生 D从七、八、九年级各随机抽取 50 名学生 【分析】如果抽取的样本得当，就能很好地反映总体的情况，否则抽样调查的结果会偏离总体情况 解：A、调查不具代表性，故 A 不合题意； B、调查不具广泛性，故 B 不合题意； C、调查不具代表性，故 C 不合题意； D、调查具有广泛性、代表性，故 D 符合题意； 故选：D 4如图是由一些相同的小正方体组合成的几何体的
12、三视图，则小正方体的个数是（ ） A4 B5 C6 D7 【分析】根据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有 2 行 3 列，故可得出该几何体的小正方体的个数 解：综合三视图，我们可得出， 这个几何体的底层应该有 4 个小正方体，第二层应该有 1 个小正方体， 因此搭成这个几何体的小正方体的个数为 4+15（个）， 故选：B 5计算：（xx3）2x2（x3）2x2x6x8，其中，第一步运算的依据是（ ） A幂的乘方法则 B同底数幂的乘法法则 C乘法分配律 D积的乘方法则 【分析】根据积的乘方解决此题 解：由题意得：（xx3）2x2（x3）2x2x6x8，第一步根据积的乘方法则进行
13、运算 故选：D 6如图，将一根长 2m 的铁丝首尾相接围成矩形，则围成的矩形的面积的最大值是（ ） A B C D1m2 【分析】先根据题意列出函数关系式，再求其最值即可 解：设矩形的一边长为 xm，所以另一边长为（1x）m，矩形的面积为 Sm2， 其面积为 Sx（1x）x2+x（x）2+， 周长为 2cm 的矩形的最大面积为m2 故选：A 7某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是（ ） A B C D 【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能情况数和恰好选中甲、乙两位选手的情况数，然后根据概率公式即可得出答案 解：根据题意画图如下： 共有
14、12 种等可能数，其中恰好选中甲、乙两位选手的有 2 种， 则恰好选中甲、乙两位选手的概率是 故选：B 8如图，平行四边形 ABCD 中，ABBC2，ABC45，分别以点 A、B 为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧相交于点 E、F，作直线 EF 交 BC 于点 G，连接 DG，则线段 DG 的长为（ ） A B2 C2 D2 【分析】连接 AG，如图，利用基本作图得到 EF 垂直平分 AB，则根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到GABB45，所以AGB90，AG2，接着根据平行四边形的性质和平行线的性质得到 ADBC2，DAGAGB90，然后利用勾股定理可计算出 DG 的长 解：
15、连接 AG，如图， 由作法得 EF 垂直平分 AB， GAGB， GABB45， ABG 为等腰直角三角形， AGB90，AGAB， 四边形 ABCD 为平行四边形， ADBC，ADBC2， DAGAGB90， 在 RtADG 中，DG 故选：A 9对于实数 a、b，定义一种运算“”为：aba2+ab2，有下列命题：132；方程 x10的根为：x12，x21；不等式组的解集为：1x4；点（1，0）在函数 yx（1）的图象上，其中正确的是（ ） A B C D 【分析】根据新定义计算得 131+1322，可对进行判断； 根据新定义先得到方程 x2+x20，再利用因式分解法解得 x12，x21，则
16、可对进行判断； 先根据新定义得到不等式组，然后解不等式组，则可对进行判断； 把 x1，y0 代入解答即可 解：131+1322，所以正确； 由 x10 得 x2+x20，解得 x12，x21，所以正确； 不等式组化为，解集为：1x4；，所以正确，； yx（1）x2x2， 把 x1，代入 yx2x21+120，故正确； 正确的， 故选：A 10如图，点 C 是以点 O 为圆心、AB 为直径的半圆上的一个动点（可以与点 A、B 重合），过点 C 作CDAB 于 D，连结 CA，设 CA 的长为 x，CD 的长为 y，图是点 C 运动过程中 y 与 x 之间的函数关系的图象，其中最高点 M 的坐标是
17、（ ） A（2，2） B（2，2） C（2，3） D（2，3） 【分析】先根据图象得出 AB 的长度，然后求出圆的半径，当点 C 到点 O 的正上方时，CD 最大，求出此时的 x 和 y 的值，即可确定点 M 的坐标 解：由图象得 AB4， 圆 O 的半径为 2， 当点 D 和点 O 重合时，CD 最大， 此时 CD 为圆 O 的半径， y2， 当 y2 时，x， 点 M 的坐标为（2，2）， 故选：B 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11若（m1）00，则实数 m 应满足的条件是 m1 【分析】根据二次根式和零指数幂的运算法则进行分析求解 解：（m1）
18、00， 1（m1）00， （m1）01， m10，即 m1， 故答案为：m1 12 如图是利用直尺和三角板过直线 l 外一点 P 作直线 l 的平行线的方法， 这样做的依据是 同位角相等，两直线平行 【分析】过直线外一点作已知直线的平行线，只有满足同位角相等，才能得到两直线平行 解：由图形得，有两个相等的同位角存在， 这样做的依据是：同位角相等，两直线平行 故答案为：同位角相等，两直线平行 13如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 A，D 分别在 x 轴、y 轴上，对角线 BDx 轴，反比例函数 y（k0，x0）的图象经过矩形对角线的交点 E，若点 A（1，0），D（0，2），则
19、k 的值为 5 【分析】根据平行于 x 轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设 B（x，2）利用矩形的性质得出 E 为 BD中点，DAB90根据线段中点坐标公式得出 E（x，2）由勾股定理得出 AD2+AB2BD2，列出方程 12+22+（x1）2+22x2，求出 x，得到 E 点坐标，利用待定系数法求出 k 解：BDx 轴，D（0，2）， B、D 两点纵坐标相同，都为 2， 可设 B（x，2） 矩形 ABCD 的对角线的交点为 E， E 为 BD 中点，DAB90 E（x，2） DAB90， AD2+AB2BD2， A（1，0），D（0，2），B（x，4）， 12+22+（x1）2+22x2，
20、解得 x5， E（，2） 反比例函数 y（k0，x0）的图象经过点 E， k25 故答案为 5 14如图，在扇形 OAB 中，AOB90，点 C 是 OB 的中点，过点 C 作 CDOB 交于点 D，过点 D作 DEOA 于点 E，连接 BE 交 CD 于点 F，若 OA2，则图中阴影部分的面积为 【分析】连接 OD、BD，先证得BOD 是等边三角形，得出BOD60，即可得出 CD，AOD30， 根据平行线分线段成比例定理证得DFCF， 根据S阴影S扇形AODSEOD+SEDF即可求得 解：连接 OD、BD， 点 C 是 OB 的中点，过点 C 作 CDOB 交于点 D， ODBD， ODOB
21、， BOD 是等边三角形， BOD60， AOB90， AOD30， CDOD， 由题意可知四边形 EOCD 是矩形， EDOC1，OECD， EDOB， 1， DFCFCD， S阴影S扇形AODSEOD+SEDF+， 故答案为： 15如图，在 RtABC 中，ACB90，BC2AC2，D 为 AB 的中点，P 是边 BC 上的一个动点，连接 PA、PD，将ADP 沿直线 DP 折叠，得到DPA，当以 A、B、D、P 为顶点的四边形是平行四边形时，线段 BP 的长为 或 【分析】分两种情况：当四边形 ABPD 是平行四边形时，可得 BPAD；当四边形 ABDP 是平行四边形时，设 BPx，则
22、CP2x，在 RtACP 中用勾股定理可得 BP 解：当四边形 ABPD 是平行四边形时，如图： ACB90，BC2AC2， AB， D 为 AB 的中点， ADAB， 将ADP 沿直线 DP 折叠，得到DPA， ADAD， 四边形 ABPD 是平行四边形， BPAD； 当四边形 ABDP 是平行四边形时，如图： 设 BPx，则 CP2x， 四边形 ABDP 是平行四边形， APBD， D 为 AB 的中点， APBDAB， 将ADP 沿直线 DP 折叠，得到DPA， APAP， 在 RtACP 中，CP2+AC2AP2， （2x）2+12（）2， 解得 x或 x（大于 BC，舍去）， BP，
23、 综上所述，BP 为或， 故答案为：或 三、解答题（共三、解答题（共 8 个小题，满分个小题，满分 54 分）分） 16 复习备考时， 王老师在黑板上写了一道分式化简题的正确计算结果，随后用手遮住了原题目的一部分，如图： （a+1） （1）求被手遮住部分的代数式，并将其化简； （2）原代数式的值能等于 3 吗？请说明理由 【分析】 （1） 根据被除式商除式， 其中的一个加式和另一个加式， 列出表示被遮挡部分的算式，然后根据分式混合运算的运算顺序和计算法则进行计算； （2）根据原式值为 3 列出分式方程求解，然后结合分式有意义的条件进行分析判断 解：（1）被遮挡部分可表示为： +a1 +a1 ，
24、 被遮挡部分的代数式为， （2）不能，理由如下： 当原式的值为 3 时， 3， 解得：a1， 经检验：a1 是分式方程的解， 又a+20，a+10， a2 且 a1， 原式的值不能为 3 17云课堂的最大优点是能够依托网络平台及时反锁学习效果，在一次数学习题课教学上，课前，雷老师让班上每位同学做 6 道与这节课内容相关的类似练习题，解题情况频数统计如图 1 所示课后，雷老师再让学生做 6 道与这节课内容相关的类似练习题，解题情况统计如表 2 所示，已知每位学生至少答对 1题 答对题数 频数（人） 1 3 2 4 3 4 4 a 5 12 6 16 合计 b 根据以上信息，回答下列问题： （1）
25、根据图表信息填空：a 11 ，b 50 ； （2）该班课前解题时答对题数的众数是 3 道 ，课后解题答对题数的中位数是 5 道 ； （3）请选择适当的统计量，从两个不同的角度评价这节数学习题课的教学效果 【分析】（1）由频数分布直方图可得总人数，再进一步求解可得 a 的值； （2）根据众数和中位数的概念求解即可； （3）可从平均数及中位数的角度分析求解即可 解：（1）由频数分布直方图知 b6+9+12+10+9+450， 则 a50（3+4+4+12+16）11， 故答案为：11、50； （2）该班课前解题时答对题数的众数是 3 道，课后解题答对题数的中位数是5（道）， 故答案为 3 道，5
26、道； （3）课前答对题数的平均数为（16+29+312+410+59+64）3.38（道）， 课后答对题数的平均数为（13+24+34+411+512+616）4.46（道）， 课前答对题数的中位数为3（道）， 课后答对题数的平均数量明显多于课前 从中位数看，课前答对题数的中位数为 3 题，课后答对题数的中位数为 5 题，即课前答对 3 题及以下的人数有一半以上，而课后有一半以上的人答对 5 题，这节课的教学效果明显 18如图，ABC 是O 的内接三角形，BAC75，ABC45，连接 AO 并延长交O 于点 D，连接 BD，过点 C 作O 的切线，与 BA 的延长线相交于点 E （1）求证：A
27、DEC； （2）若 AB3，求线段 AE 的长 【分析】（1）连接 OC，根据切线的性质得到OCE90，根据圆周角定理得到AOC90，根据平行线的判定定理证明结论； （2）过点 A 作 AFEC 交 EC 于 F，根据正弦的定义求出 AD，根据正方形的性质求出 AF，根据余弦的定义计算即可 【解答】（1）证明：如图，连接 OC， CE 是O 的切线， OCE90， ABC45， AOC2ABC90， AOC+OCE180， ADEC； （2）如图，过点 A 作 AFEC 交 EC 于 F， BAC75，ABC45， ACB60， DACB60， AD 是O 的直径， ABD90， sinADB
28、， AD2， OAOC， AFEC，OCE90，AOC90，OAOC， 四边形 OAFC 是正方形， CFAF， BAD90D30， EAF180903060， AE2 19 某班为参加学校的大课间活动比赛， 准备购进一批跳绳， 已知 2 根 A 型跳绳和 1 根 B 型跳绳共需 56 元，1 根 A 型跳绳和 2 根 B 型跳绳共需 82 元 （1）求一根 A 型跳绳和一根 B 型跳绳的售价各是多少元？ （2）学校准备购进这两种型号的跳绳共 50 根，并且 A 型跳绳的数量不多于 B 型跳绳数量的 3 倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由 【分析】（1）设一根 A 型跳绳售价是 x 元，
29、一根 B 型跳绳的售价是 y 元，根据：“2 根 A 型跳绳和 1 根B 型跳绳共需 56 元，1 根 A 型跳绳和 2 根 B 型跳绳共需 82 元”列方程组求解即可； （2）首先根据“A 型跳绳的数量不多于 B 型跳绳数量的 3 倍”确定自变量的取值范围，然后得到有关总费用和 A 型跳绳之间的关系得到函数解析式，确定函数的最值即可 解：（1）设一根 A 型跳绳售价是 x 元，一根 B 型跳绳的售价是 y 元， 根据题意，得： ， 解得：， 答：一根 A 型跳绳售价是 10 元，一根 B 型跳绳的售价是 36 元； （2）设购进 A 型跳绳 m 根，总费用为 W 元， 根据题意，得：W10m
30、+36（50m）26m+1800， 260， W 随 m 的增大而减小， 又m3（50m），解得：m37.5， 而 m 为正整数， 当 m37 时，W最小2637+1800838， 此时 503713， 答：当购买 A 型跳绳 37 只，B 型跳绳 13 只时，最省钱 20 如图， 为了测量河对岸古塔 AB 的高度， 在坡度 i1： 2.4 的斜坡底 C 处测得古塔顶端 A 的仰角为 60，沿斜坡上行 26 米到达 D 处，测得古塔顶端 A 的仰角为 37（已知 A、B、C、D 在同一竖直平面内），求古塔 AB 的高度 （结果精确到 0.1 米，参考数据：sin370.6，cos370.8，t
31、an370.75，1.73） 【分析】过 D 作 DEAB 于 E，DFBC 于 F，则 DEFB，BEFD，先由坡度的定义和勾股定理求出BEFD10 米，CF24 米，再由锐角三角函数定义求出 ABBC，设 BCa 米，则 ABa 米，AEABBE（a10）米，DEFBBC+CF（a+24）米，然后由锐角三角函数求出 a 的值，即可解决问题 解：过 D 作 DEAB 于 E，DFBC 于 F，如图所示： 则 DEFB，BEFD， CD 的坡度 i1：2.45：12， ， 设 FD5x（x0）米，则 CF12x 米， 由勾股定理得：（5x）2+（12x）2262， 解得：x2， BEFD10
32、米，CF24 米， ABC90，ACB60， tanACBtan60， ABBC， 设 BCa 米，则 ABa 米，AEABBE（a10）米，DEFBBC+CF（a+24）米， 在 RtADE 中，ADE37， tanADEtan370.75， ， 解得：a28.57， ABa49.4（米）， 答：古塔 AB 的高度约为 49.4 米 21已知一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y的图象交于点 A，与 x 轴交于点 B（5，0），若 OBAB，且 SOAB （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）若点 P 为 x 轴上一点，ABP 是等腰三角形，求点 P 的坐标 【分析】（1）先求
33、出 OB，进而求出 AD，得出点 A 坐标，最后用待定系数法即可得出结论； （2）分三种情况，当 ABPB 时，得出 PB5，即可得出结论； 当 ABAP 时，利用点 P 与点 B 关于 AD 对称，得出 DPBD4，即可得出结论； 当 PBAP 时，先表示出 AP2（9a）2+9，BP2（5a）2，进而建立方程求解即可得出结论 解：（1）如图 1，过点 A 作 ADx 轴于 D， B（5，0）， OB5， SOAB， 5AD， AD3， OBAB， AB5， 在 RtADB 中，BD4， ODOB+BD9， A（9，3）， 将点 A 坐标代入反比例函数 y中得，m9327， 反比例函数的解析
34、式为 y， 将点 A（9，3），B（5，0）代入直线 ykx+b 中， ， 直线 AB 的解析式为 yx； （2）由（1）知，AB5， ABP 是等腰三角形， 当 ABPB 时， PB5， P（0，0）或（10，0）， 当 ABAP 时，如图 2， 由（1）知，BD4， 易知，点 P 与点 B 关于 AD 对称， DPBD4， OP5+4+413，P（13，0）， 当 PBAP 时，设 P（a，0）， A（9，3），B（5，0）， AP2（9a）2+9，BP2（5a）2， （9a）2+9（5a）2 a， P（，0）， 即：满足条件的点 P 的坐标为（0，0）或（10，0）或（13，0）或（，0）