1、人教版八年级上册人教版八年级上册动点及最值问题动点及最值问题期末压轴题期末压轴题 1如图， ABC， CDE 都是等边三角形 （1）写出 AE 与 BD 的大小关系. （2）若把 CDE 绕点 C 逆时针旋转到图的位置时，上述（1）的结论仍成立吗？请说明理由 （3） ABC 的边长为 5， CDE 的边长为 2，把 CDE 绕点 C 逆时针旋转一周后回到图位置，求出线段 AE 长的最大值和最小值 2已知：VABC 为等边三角形 （1）如图 1，点 D、E 分别为边 BC、AC 上的点，且 BDCE 求证：VABDVBCE； 求AFE 的度数； （2） 如图 2， 点 D 为VABC 外一点，
2、BA、 CD 的延长线交于点 E， 连接 AD， 已知BDC60 ， 且 AD2，CD5，求 BD 的长； （3）如图 3，线段 DB 的长为 3，线段 DC 的长为 2，连接 BC，以 BC 为边作等边VABC，连接 AD，直接写出当线段 AD 取最大值与最小值时BDC 的度数 3如图， ABC 为等边三角形，D、E 分别是边 AB、BC 所在直线上的两个动点，且满足 AD=BE，连接AE、CD，直线 AE、CD 交于点 P （1）如图（1） ，当点 D、E 在线段 AB、BC 上时，求APC 的度数； （2）如图（2） ，当点 D、E 分别是 AB、BC 延长线上的两个动点，连接 AE、C
3、D，DC 的延长线与 AE 交于点 P，求APC 的度数； （3）若等边三角形边长为2 3，当 D、E 在运动的过程中，连接 BP，直接写出线段 BP 的最小值和最大值. 图（1） 图（2） 4如图，在VABC 和VADE 中，ABAD8， BCDE， BD30 ，边 AD 与边 BC 交于点 P（不与点 B，C 重合） ，点 B，E 在 AD 异侧，I 是VAPC 内角PAC 与PCA 平分线的交点 （1）求证：ACBAED； （2）设 APx，请用含 x 的式子表示 PD，并求 PD 的最大值； （3）当BAC100 时，AIC 的取值范围是 m AICn ，分别直接写出 m，n 的值 5
4、 在ABCV中，ABAC，D是直线BC上一点 （不与点B、C重合） ， 以AD为一边在AD的右侧作ADEV，ADAE，DAEBAC，连接CE. （1）如图，当 D在线段BC上时，求证：BDCE. （2）如图，若点D在线段CB的延长线上，BCE，BAC.则、之间有怎样的数量关系？写出你的理由. （3）如图，当点D在线段BC上，90BAC，4BC ，求DCESV最大值. 6如图， ABC 和 ADE 中，AB=AD=6，BC=DE，B=D=30 ，边 AD 与边 BC 交于点 P（不与点 B，C 重合） ，点 B，E 在 AD 异侧，I 为 APC 的内心 （1）求证：BAD=CAE； （2）设
5、AP=x，请用含 x 的式子表示 PD，并求 PD 的最大值； （3）当 ABAC 时，AIC 的取值范围为 m AICn ，分别直接写出 m，n 的值 7如图，在ABCV中，ABAC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M （1）若70B ，则NMA的度数是 ； （2）连接MB，若8cmAB ，MBC的周长是14cm 求BC的长； 在直线MN上是否存在点P，使PB CP的值最小，若存在，标出点P的位置并直接写出PB CP的最小值；若不存在，说明理由 8在边长为 2 的等边三角形 ABC 中，P 是 BC 边上任意一点，过点 P 分别作 PMA B，PNAC，M、N分别为垂足 （1）求证：不论
6、点 P 在 BC 边的何处时都有 PM+PN 的长恰好等于三角形 ABC 一边上的高； （2）当 BP 的长为何值时，四边形 AMPN 的面积最大，并求出最大值 9如图，ABCV中，ABAC，30Bo，点O在BC边上运动（O不与B，C重合） ，点D在线段AB上，连结AO，OD点O运动时，始终满足AODB 1当/ /ODAC时，判断AOBV的形状并说明理由； 2当AO的最小值为2时，此时BD _； 3在点O的运动过程中，AOD的形状是等腰三角形时，请直接写出此时BDO的度数 10在 ABC 中，ABAC，D 是 BC 边的中点，E、F 分别是 AD、AC 边上的点 （1）如图，连接 BE、EF，
7、若ABEEFC，求证：BEEF； （2）如图，若 B、E、F 在一条直线上，且ABEBAC45 ，探究 BD 与 AE 的数量之间有何等量关系，并证明你的结论； （3）如图，若 AB13，BC10，AD12，连接 EC、EF，直接写出 EC+EF 的最小值 11如图，在ABCV中，已知,ABAC AB的垂直平分线交AB于点 N，交AC于点 M，连接BM （1）若65ABC，求AMN的度数 （2）若6ABcm，MBC的周长是11cm 求BC的长度； 若点 P 为直线MN上一点，请你求出PBCV周长的最小值 12如图，在Rt ABC中，90ACB，2BCAC，D为AB中点，E，F分别是AC，BC上
8、的动点，且满足90EDF （1）求证：DEDF； （2）求四边形CFDE的面积； （3）求CEF周长的最小值 13如图，在ABCV中，90ABC，AE 平分BAC，BDAC 于 D，E 为 BC 边上一点，AE、BD 交于点F，EG/BD （1）求证：AB=AG； （2）当302BAEBE，时，在EG上有一动点P， 求 APBP的最小值 14已知点 D 是等边 ABC 的边 BC 上一点，以 AD 为边向右作等边 ADF，DF 与 AC 交于点 N （1）如图，当 ADBC 时，请说明 DFAC 的理由； （2）如图，当点 D 在 BC 上移动时，以 AD 为边再向左作等边 ADE，DE 与
9、AB 交于点 M，试问线段AM 和 AN 有什么数量关系？请说明你的理由； （3）在（2）的基础上，若等边 ABC 的边长为 2，直接写出 DM+DN 的最小值 15如图，AD 是等边三角形 ABC 的高，点 E 是 AD 上的一个动点（点 E 不与点 A 重合） ，连接 CE，将线段 CE 绕点 E 顺时针旋转 60 得到 EF，连接 BF、CF （1）猜想： CEF 是 三角形； （2）求证：AEBF； （3）若 AB4，连接 DF，在点 E 运动的过程中，请直接写出 DF 的最小值 16如图，四边形 MNPO 中，MP 与 NQ 交于点 0，QMP=18 ，MNQ=42 ，MON=114
10、 ，MPN=78 （1）求证：MQ=NQ； （2）求MPQ 的度数； （3）若 PQ=10，V 是线段 MP 上的一动点，求 QV 的最小值 参考答案参考答案 1 （1）AEBD，理由： ABC， CDE 都是等边三角形， ACBC，CECD，ACBDCE60 ， ACEBCD（SAS） ， AEBD. （2）AEBD，理由： ABC， CDE 都是等边三角形， ACBC，CECD，ACBDCE60 ， ACB+BCEDCE+BCE， ACEBCD， ACEBCD（SAS） ， AEBD. （3）ABC 的边长为 5， CDE 的边长为 2， AC5，CE2， 在 ACE 中，AC+CEAE，
11、 当点 E 在 AC 的延长线上时，AE 达到最大，最大值为 AEAC+CE5+27， 在 ACE 中，ACCEAE， 当点 E 在线段 AC 上时，AE 达到最小 AEACCE523， 即：线段 AE 长的最大值为 7，最小值 3 2 （1）证明：ABC 是等边三角形， ABBC，ABDC60 ， BDCE， ABDBCE（SAS） 解：ABDBCE， BADCBE， AFEFBA+BADFBA+CBECBA60 （2）解：如图 2 中，在 DB 上取一点 J，使得 CJCD， CDJ60 ，CJCD， CDJ 是等边三角形， JCDACB60 ，DJDCCJ， BCJACD， CBCA，
12、BCJACD（SAS） ， BJAD， BDBJ+DJAD+DC2+57 （3）解：如图 3 中，以 CD 为边向外作等边 CDT，连接 BT CTCD，CBCA，TCDBCA60 ， TCBDCA， TCBDCA（SAS） ， BTAD， CTCD2，BD3， 32BT3+2， 1BT5， 1AD5 AD 的最小值为 1，最大值为 5 当 AD 取最小值时，点 T 落在线段 BD 上，BDC60 ，当 AD 取最大值时，点 T 落在 BD 的延长线上， BDC120 3 试题解析： （1） ABC 是等边三角形， BAC=ABC=ACB=60 ， AB=AC， AD=BE， ABECAD (
13、SAS)，BAE=ACD，EPC=ACD+EAC，EAC+BAE=BAC=60 ，EPC=60 ，APC=180 -EPC=120 ； （2）ABC 是等边三角形，BAC=ABC=ACB=60 ，AB=AC，DBC=120 ，AD=BE，ABECAD (SAS)，D=E，又BCD=PCE，CPE=DBC=120 ，APC=180 -CPE=60 （3）BP 的最小值为 2 BP 的最大值为 6. 4 证明：在 ABC 和 ADE 中， ABADBDACAE ， ABCADE（SAS） ， ACBAED； （2）解：AD8， PDADAP 8x 当 ADBC 时，AP 值最小，此时 PD 的值最
14、大， ADBC，B30 ， AP12AB12 84， PD844， PD 的最大值为 4； （3）解：设BAP，则PAC100 ， B30 ，BAC100 ， BCA180 30 100 50 ， AI、CI 分别平分PAC，PCA， IAC12PAC12（100 ）50 12，ICA12PCA25 ， AIC180 （IACICA）180 （50 1225 ）105 12， 0 100 ， 105 12105 155 ，即 105 AIC155 ， m105，n155 5 解： （1）BACDAE， BACDACDAEDAC， BADCAE， 在ABD和ACE中， ABACBADCAEADA
15、E ， ABDACE SAS， BDCE； （2）同（1）的方法得ABDACE SAS， ACE=ABD，BCE=， ACE= ACB+BCE=ACB+， 在ABCV中， AB= AC，BAC=， ACB=ABC =12(180 -)= 90-12， ABD= 180 -ABC= 90 +12， ACE=ACB += 90-12+， ACE=ABD = 90 +12， 90 -12+= 90+12， = ； （3）如图，过 A 做AHBC于点 H， ABAC，90BAC， 45ABC，122BHAHBC， 同（1）的方法得，ABDACE SAS， AECABDSS,AECADCABDADCSS
16、SS， 即142ABCADCESSBC AH四边形， DCEADEADCESSS四边形， 当ADES最小时，DCES最大， 当ADBC2AD，时最小，2122ADESAD， 422DCES最大 6 （1）如图 1在 ABC 和 ADE 中，ABADBDBCDE ，ABCADE（SAS） ，BAC=DAE，BAD=CAE （2）AD=6，AP=x，PD=6x 当 ADBC 时，AP12AB=3 最小，即 PD=63=3 为 PD 的最大值 （3）如图 2，设BAP=，则APC=+30 ABAC，BAC=90 ，PCA=60 ，PAC=90 I 为 APC 的内心， AI 平分PAC， CI 平分
17、PCA， IAC12PAC， ICA12PCA， AIC=180（IAC+ICA）=18012（PAC+PCA）=18012（90 +60）12+105 090 ，10512+105150 ，即 105 AIC150 ，m=105，n=150 7 解： （1）若B70 ， ABAC ABC=ACB=70 A=180 -70 -70 =40 AB的垂直平分线交AB于N， MNAB NMA=90 -A= 50 ， 故答案为：50 ； （2）如图：MN 垂直平分 AB MBMA， 又MBC 的周长是 14cm， ACBC14cm， BC6cm 当点 P 与点 M 重合时，PBCP=AP+PC=AC
18、的值最小，最小值是 8cm 故 P 点为所求，PB CP的最小值是 8cm 8 试题解析： （1）连接 AP，过 C 作 CDAB 于 D， ABC 是等边三角形， AB=AC， S ABC=S ABP+S ACP， 12 ABCD=12ABPM+12ACPN， PM+PN=CD，即不论点 P 在 BC 边的何处时都有 PM+PN 的长恰好等于三角形 ABC 一边上的高； （2）设 BP=x，则 CP=2x，ABC 是等边三角形，B=C=60 ，PMAB，PNAC，BM=12x，PM=32x，CN=12（2x） ，PN=32（2x） ，四边形 AMPN 的面积=12 （212x）32x+12
19、212（2x） 32（2x） =2333422xx =233 3144x， 当 BP=1 时， 四边形 AMPN 的面积最大，最大值是3 34 9 解： （1） AOBV为直角三角形， 理由如下： ABAC，30Bo， 30CBo， 1803030120BACoooo， / /ODAC，30AODBo， 30OACAODo， 1203090BAOooo， AOBV是直角三角形， （2）当 AO 的最小值为 2 时，AOBC， 180180309060BAOBAOB=，BA =2AO=4， 30AODB, 180180603090ADOBAOAOD， AD=12AO=1， BD=BA-AD=4-
20、1=3， （3）当DADO时，30OADAODo， 60BDOOADAODo； 当OAOD时，118030752ODAOADooo， 18075105BDOooo； 当ADAO时，30ADOAODo， 120OADBACo，此时O，C重合，故舍去， 故60BDOo或105o 10 解： （1）连接 CE， ， ABAC，D 是 BC 边的中点， AD 为线段 BC 的垂直平分线，AABCCB， BECE， EBCECB， ABCEBCACBECB， 即ABEACE， ABEEFC， ACEEFC， EFCE， BEEF； （2）连接 CE， 由（1）可得ABEACE， ABEBAC45 ， A
21、BFV和CEF都是等腰直角三角形， AFBF，CFEF， CBFEAFVV， BCAE， 2AEBD； （3）由（1）可知BECE， ECEFBEEF， 作BPAC于点 P，则 BP 为BEEF的最小值， 1122ABCSBC ADAC BPV， 解得12013BP ， EC+EF 的最小值为12013 11 解： （1）ABAC， 65CABC， 180656550A ， AB的垂直平分线交AB于点 N， 90ANM， 180180509040AMNAANM ； （2）MN是AB的垂直平分线， AMBM， MBC的周长BMCMBCAMCMBCACBC， 6cmAB ，MBC的周长是11cm，
22、 11 65 cmBC ； PBCV周长=BPPCBC最小，即+BM MC最小， 根据轴对称性质得,当点 P 与 M 重合时，即=AMMC AC最小， 此时 PBCV周长的值最小， PBCV周长的最小值6511 cmACBC 12 （1）证明：连结 CD 90ACBQ，BCAC，D为AB的中点 CDCB，90CDB，45ACDB 90EDFQ， CDEBDF 在DEC与DFB中， EDCBDFCDBDECDB ()DECDFB ASA EDFD； （2）解：由（1）知：DECDFB 12CEDCFDDBFCFDCBDABCCFDESSSSSSS四边形 2ABCSQ， 1CFDES四边形 （3）
23、由（1）知：DECDFB， ECFB 2ECCFFB CF 由（1）知：EDFD， 90EDFQ， 2EFFD 当FDCB时，FD最小，此时EF最小为2，从而CFE周长的最小值为22 13 （1）证明：AE 平分BAC， BAE=GAE， BDAC， BDC=90 ， EGBD， EGA=90 =EBA， AE=AE， ABEAGE（AAS） ， AB=AG； （2）解：连接 PC，如图所示： 302BAEBE， EAG=30 ，BAC=60 ，AE=2BE=4， ACB=30 ， AE=EC=4， 由（1）可得 EGAC， AG=GC， AP=PC， AP+PB=PC+PB， PBPCBC，
24、 当点 B、P、C 三点共线时，取最小值， AP+PB 的最小值即为 BC 的长， BC=BE+EC=6， AP+PB 的最小值为 6 14 （1）证明：ABC 是等边三角形，ADBC， CAD=12 60 =30 ， 又ADF 是等边三角形， DAF=60 ， DAN=FAN=30 ， ANDF， 即 DFAC； （2）AM=AN，理由如下： ADE， ADF 是等边三角形， ADE=F=60 ，AD=AF， DAM+CAD=60 ， FAN+CAD=60 ， DAM=FAN， 在 ADM 和 AFN 中， ,.DAMFANADAFADEF ADMAFN（ASA） ， AM=AN； （3）根
25、据垂线段最短，DMAB，DNAC 时，DM，DN 最短，设等边 ABC 的高线为 h， 则111222ABCSAC hAB DMAC DN， ABACQ， S ABC=12ACh=12AC（DM+DN） ， DM+DN 的最小值为3 15 （1）解：结论： CEF 是等边三角形 理由：由旋转可知，CEEF， CEEF，CEF60 ， CEF 是等边三角形， 故答案为：等边 （2）证明：ABC， CEF 都是等边三角形， CACB，CECF，ACBECF60 ， ACEBCF， ACEBCF（SAS） ， AEBF （3）解：ABC 是等边三角形， BAC60 ，ABBC4， ADBC， CAD
26、BAD30 ，BDCD2， ACEBCF， CAECBF30 ， 点 F 的运动轨迹是射线 BF（与 BC 的夹角为 30 ） ， 当 DFBF 时，DF 的值最小，最小值12BD1212， 故答案为：1 16 （1）QMON=114 ,MNQ=42 ， 24OMN QQMP=18 ， 42QMNQMPPMN ， QMNQNM ， QMQN， （2）QQMNQNM 42， 180424296MQN ， 如图，将QP绕点Q旋转96，得到QS，连接SN,SM， SQPQ 96MQPMQNNQPNQP Q，96NQSNQPPQSNQP ， MQPNQS ， 又QMQNQ， QMPQNS， QMPQNS 18，MPNS，QPMQSN ， 42QNMQ， 60MNSQNMQNS ， 24 ,78OMNMPN Q， 18078MNPOMNMPN， MNPMPN， MPMN， MPNSQ， NSMN， MSN是等边三角形， SMSN，MSN60， 在SQM和SQN中 SQSQSMSNQMQN SQMSQN， 1302QSNQSMMSN ， MPQNSQ 30， （3）如图，过点Q作QVMP， 当QVMP时，QV最小， PQV是直角三角形， 30MPQQ， 1110522QVPQ， QV 的最小值为5