1、第三章 导数及其应用2022年高考一轮数学单元复习一遍过（新高考专用）第I卷（选择题）一、单选题1已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为ABCD【答案】C【分析】先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立【详解】，即，（1）当时，当时，故当时，在上恒成立；若在上恒成立，即在上恒成立，令，则，当函数单增，当函数单减，故，所以当时，在上恒成立；综上可知，的取值范围是，故选C【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析2设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a= A0B1C2D3【答案】D【详解】D试题分
2、析：根据导数的几何意义，即f（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算解：，y（0）=a1=2，a=3故答案选D考点：利用导数研究曲线上某点切线方程3已知命题对任意，总有；是方程的根则下列命题为真命题的是ABCD【答案】A【详解】由绝对值的意义可知命题p为真命题；由于，所以命题q为假命题；因此为假命题，为真命题，“且”字联结的命题只有当两命题都真时才是真命题，所以答案选A4函数的图像大致为ABCD【答案】D【详解】分析：根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果.详解：函数过定点，排除，求得函数的导数，由得，得或，此时函数单调递增，排除，故选D.点睛
3、：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.5已知函数有唯一零点，则ABCD1【答案】C【详解】因为，设，则，因为，所以函数为偶函数，若函数有唯一零点，则函数有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当时，才满足题意，即是函数的唯一零点，所以，解得.故选：C.【点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：（1）利用零点存在性定理构建不等
4、式求解.（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.6若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是ABCD【答案】D【详解】试题分析：，函数在区间单调递增，在区间上恒成立，而在区间上单调递减，的取值范围是故选D考点：利用导数研究函数的单调性.7若函数有极值点，且，则关于的方程的不同实根个数是A3B4C5D6【答案】A【详解】，是方程的两根，由，则又两个使得等式成立，当，其函数图象如下：如图则有3个交点，当，其函数图象如下：以上两种情况都有三个交点，故选A.【考点定位】考查函数零点的概念，分类讨论的思想，以及对嵌套型函数的理
5、解.8已知函数连续，则常数的值是ABCD【答案】B【详解】由题得，故选择B.9已知，其中，则的值为A6BCD【答案】D【详解】10已知mN*，a，bR，若，则a·b=A-mBmC-1D1【答案】A【解析】易知，由洛必达法则有，所以第II卷（非选择题）二、填空题11函数在其极值点处的切线方程为_.【答案】【解析】，令，此时函数在其极值点处的切线方程为考点：导数的几何意义.12若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是_【答案】【解析】由题意该函数的定义域，由因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点解法1 （图像法）再将之转化为与存在交点当不符合题意，当时，
6、如图1，数形结合可得显然没有交点，当如图2，此时正好有一个交点，故有应填.解法2 （分离变量法）上述也可等价于方程在内有解，显然可得13若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为_【答案】.【详解】分析：先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.详解：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、
7、周期性等14曲线在点（1，2）处的切线方程为_【答案】【详解】设，则，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以为切点的切线方程是若曲线在点处的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为15已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是_【答案】【详解】因为，所以函数是奇函数，因为，所以数在上单调递增，又，即，所以，即，解得，故实数的取值范围为点睛:解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此
8、时要注意与的取值应在函数的定义域内16设，其中均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是_.（写出所有正确条件的编号） ；.【答案】1，3，4，5 【详解】令，求导得，当时，所以单调递增，且至少存在一个数使，至少存在一个数使，所以必有一个零点，即方程仅有一根，故正确；当时，若，则，易知，在上单调递增，在上单调递减，所以，要使方程仅有一根，则或者，解得或，故正确.所以使得三次方程仅有一个实 根的是.考点：1函数零点与方程的根之间的关系；2.函数的单调性及其极值.17已知为双曲线的左焦点，为上的点，若的长等于虚轴长的倍，点在线段上，则的周长为_.【答案】44【详解】由题意因为PQ过双曲线
9、的右焦点(5，0)，所以P，Q都在双曲线的右支上，则有，两式相加，利用双曲线的定义得，所以PQF的周长为=281644.故答案为44.18设a，bR，若x0时恒有0x4x3+ax+b（x21）2，则ab等于_【答案】1【详解】验证发现，当x=1时，将1代入不等式有0a+b0，所以a+b=0，当x=0时，可得0b1，结合a+b=0可得1a0令f（x）=x4x3+ax+b，即f（1）=a+b=0又f（x）=4x33x2+a，f（x）=12x26x，令f（x）0，可得x，则f（x）=4x33x2+a在0，上减，在，+）上增又1a0，所以f（0）=a0，f（1）=1+a0又x0时恒有0x4x3+ax+
10、b，结合f（1）=a+b=0知，1必为函数f（x）=x4x3+ax+b的极小值点，也是最小值点故有f（1）=1+a=0，由此得a=1，b=1故ab=1故答案为1三、解答题19已知函数f(x)ex(exa)a2x，其中参数a0.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)0，求a的取值范围.【答案】(1) f(x)在上单调递减，在区间上单调递增.【分析】(1)求f(x)的导函数为f(x)(2exa)(exa)，通过讨论a，求函数的单调区间即可. (2)因为f(x)0，所以即求f(x)的最小值大于等于0，由第(1)的结果求的f(x)的最小值，解关于a的不等式即可求出a的范围.【详解】(1)函数f(
11、x)的定义域为(，)，且a0.f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa).若a0，则f(x)e2x，在(，)上单调递增.若a<0，则由f(x)0，得xln.当x时，f(x)<0；当x时，f(x)>0.故f(x)在上单调递减，在区间上单调递增.(2)当a0时，f(x)e2x0恒成立.若a<0，则由(1)得，当xln时，f(x)取得最小值，最小值为fa2，故当且仅当a20，即0>a时，f(x)0.综上a的取值范围是，0.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，考查函数的恒成立问题，同时考查了分类讨论的思想和学生的计算能力，属于中档题.20设函数，为f（x）的导
12、函数（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若ab，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M【答案】（1）；（2）的极小值为（3）见解析.【分析】（1）由题意得到关于a的方程，解方程即可确定a的值；（2）由题意首先确定a,b,c的值从而确定函数的解析式，然后求解其导函数，由导函数即可确定函数的极小值.（3）由题意首先确定函数的极大值M的表达式，然后可用如下方法证明题中的不等式：解法一：由函数的解析式结合不等式的性质进行放缩即可证得题中的不等式；解法二：由题意构造函数，求得函数在定义域内的最大值，因为，所以当时，令，则令，得列
13、表如下：+0极大值所以当时，取得极大值，且是最大值，故所以当时，因此【详解】（1）因为，所以因为，所以，解得（2）因为，所以，从而令，得或因为，都在集合中，且，所以此时，令，得或列表如下：1+00+极大值极小值所以的极小值为（3）因为，所以，因为，所以，则有2个不同的零点，设为由，得列表如下： +00+极大值极小值所以的极大值解法一：因此解法二：因为，所以当时，令，则令，得列表如下：+0极大值所以当时，取得极大值，且是最大值，故所以当时，因此【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力21已知函数.（）求曲线的斜率为1的切线方程；（）当时，
14、求证：；（）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值【答案】（）和.（）见解析；（）.【分析】()首先求解导函数，然后利用导函数求得切点的横坐标，据此求得切点坐标即可确定切线方程；()由题意分别证得和即可证得题中的结论；()由题意结合()中的结论分类讨论即可求得a的值.【详解】（），令得或者.当时，此时切线方程为，即；当时，此时切线方程为，即；综上可得所求切线方程为和.（）设，令得或者，所以当时，为增函数；当时，为减函数；当时，为增函数；而，所以，即；同理令，可求其最小值为，所以，即，综上可得.（）由（）知，所以是中的较大者，若，即时，；若，即时，；所以当最小时，此时.【点
15、睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围.【答案】(1)见详解；(2) .【分析】(1)先求的导数，再根据的范围分情况讨论函数单调性；(2) 讨论的范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终求得的取值范围.【详解】(1)对求导得.所以有当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；当时，区间上单调递增；当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.(2)若，在区间单调递减，在区间单调递增
16、，所以区间上最小值为.而，故所以区间上最大值为. 所以，设函数，求导当时从而单调递减.而，所以.即的取值范围是.若，在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为而，故所以区间上最大值为. 所以，而，所以.即的取值范围是.综上得的取值范围是.【点睛】(1)这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少.考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算.思考量不大，由计算量补充.23已知函数.（1）讨论的单调性；（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.【答案】(1)见详解；(2) 或.【分析】(1)先求的导数，再根据的范围分
17、情况讨论函数单调性；(2) 根据的各种范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终得出,的值.【详解】(1)对求导得.所以有当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；当时，区间上单调递增；当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.(2)若在区间有最大值1和最小值-1，所以若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；此时在区间上单调递增，所以，代入解得，与矛盾，所以不成立.若，区间上单调递增；在区间.所以，代入解得 .若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为而，故所以区间上最大值为. 即相减得，
18、即，又因为，所以无解.若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为而，故所以区间上最大值为. 即相减得，解得，又因为，所以无解.若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.所以有区间上单调递减，所以区间上最大值为，最小值为即解得.综上得或.【点睛】这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算思考量不大，由计算量补充24设函数，其中.（）若，讨论的单调性；（）若，（i）证明恰有两个零点（ii）设为的极值点，为的零点，且，证明.【答案】（I）在内单调递增.；（II）
19、（i）见解析；（ii）见解析.【分析】（I）；首先写出函数的定义域，对函数求导，判断导数在对应区间上的符号，从而得到结果；（II）（i）对函数求导，确定函数的单调性，求得极值的符号，从而确定出函数的零点个数，得到结果；（ii）首先根据题意，列出方程组，借助于中介函数，证得结果.【详解】（I）解：由已知，的定义域为，且，因此当时，从而，所以在内单调递增.（II）证明：（i）由（I）知，令，由，可知在内单调递减，又，且，故在内有唯一解，从而在内有唯一解，不妨设为，则，当时，所以在内单调递增；当时，所以在内单调递减，因此是的唯一极值点.令，则当时，故在内单调递减，从而当时，所以，从而，又因为，所以在
20、内有唯一零点，又在内有唯一零点1，从而，在内恰有两个零点.（ii）由题意，即，从而，即，因为当时，又，故，两边取对数，得，于是，整理得，【点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想、化归与转化思想，考查综合分析问题和解决问题的能力.25已知实数，设函数 （1）当时，求函数的单调区间；（2）对任意均有 求的取值范围.注：为自然对数的底数.【答案】（1）的单调递增区间是,单调递减区间是；（2）.【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后结合函数的解析式确定函数的单调区间即可.(2)由题意首先由函数在特殊点的函数值得到a的取值范围，然后证明所得的
21、范围满足题意即可.【详解】(1)当时，函数的定义域为，且：，因此函数的单调递增区间是,单调递减区间是.(2)由，得，当时，等价于，令，则，设，则，（i）当时，则，记，则列表讨论： x （） 1 （1，+） p（x） 0+ P（x） p（）单调递减 极小值p（1）单调递增 （ii）当时，令，则，故在上单调递增，由（i）得，由（i）（ii）知对任意，即对任意，均有，综上所述，所求的a的取值范围是【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求
22、函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用26已知函数.证明：（1）存在唯一的极值点；（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）先对函数求导，根据导函数的单调性，得到存在唯一，使得，进而可得判断函数的单调性，即可确定其极值点个数，证明出结论成立；（2）先由（1）的结果，得到，得到在内存在唯一实根，记作，再求出，即可结合题意，说明结论成立.【详解】（1）由题意可得，的定义域为，由，得，显然单调递增；又，故存在唯一，使得；又当时，函数单调递增；当时，函数单调
23、递减；因此，存在唯一的极值点；（2）由（1）知，又，所以在内存在唯一实根，记作.由得，又，故是方程在内的唯一实根；综上，有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性、极值、以及函数零点的问题，属于常考题型.27已知函数f（x）=2sinxxcosxx，f（x）为f（x）的导数（1）证明：f（x）在区间（0，）存在唯一零点；（2）若x0，时，f（x）ax，求a的取值范围【答案】（1）见解析；（2）.【分析】（1）求导得到导函数后，设为进行再次求导，可判断出当时，当时，从而得到单调性，由零点存在定理可判断出唯一零点所处的位置
24、，证得结论；（2）构造函数，通过二次求导可判断出，；分别在，和的情况下根据导函数的符号判断单调性，从而确定恒成立时的取值范围.【详解】（1）令，则当时，令，解得：当时，；当时，在上单调递增；在上单调递减又，即当时，此时无零点，即无零点 ，使得又在上单调递减 为，即在上的唯一零点综上所述：在区间存在唯一零点（2）若时，即恒成立令则，由（1）可知，在上单调递增；在上单调递减且，当时，即在上恒成立在上单调递增，即，此时恒成立当时，使得在上单调递增，在上单调递减又，在上恒成立，即恒成立当时，使得在上单调递减，在上单调递增时，可知不恒成立当时，在上单调递减 可知不恒成立综上所述：【点睛】本题考查利用导数
25、讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.28已知函数.（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线的切线.【答案】（1）函数在和上是单调增函数，证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）对函数求导，结合定义域，判断函数的单调性；（2）先求出曲线在处的切线，然后求出当曲线切线的斜率与斜率相等时，证明曲线
26、切线在纵轴上的截距与在纵轴的截距相等即可.【详解】（1）函数的定义域为，因为函数的定义域为，所以，因此函数在和上是单调增函数；当，时，而，显然当，函数有零点，而函数在上单调递增，故当时，函数有唯一的零点；当时，因为，所以函数在必有一零点，而函数在上是单调递增，故当时，函数有唯一的零点综上所述，函数的定义域内有2个零点；（2）因为是的一个零点，所以，所以曲线在处的切线的斜率，故曲线在处的切线的方程为：而，所以的方程为，它在纵轴的截距为.设曲线的切点为，过切点为切线，所以在处的切线的斜率为，因此切线的方程为，当切线的斜率等于直线的斜率时，即，切线在纵轴的截距为，而，所以，直线的斜率相等，在纵轴上的
27、截距也相等，因此直线重合，故曲线在处的切线也是曲线的切线.【点睛】本题考查了利用导数求已知函数的单调性、考查了曲线的切线方程，考查了数学运算能力.29已知函数，为的导数证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）求得导函数后，可判断出导函数在上单调递减，根据零点存在定理可判断出，使得，进而得到导函数在上的单调性，从而可证得结论；（2）由（1）的结论可知为在上的唯一零点；当时，首先可判断出在上无零点，再利用零点存在定理得到在上的单调性，可知，不存在零点；当时，利用零点存在定理和单调性可判断出存在唯一一个零点；当，可证得；综合上述情况可
28、证得结论.【详解】（1）由题意知：定义域为：且令，在上单调递减，在上单调递减在上单调递减又，使得当时，；时，即在上单调递增；在上单调递减则为唯一的极大值点即：在区间上存在唯一的极大值点.（2）由（1）知：，当时，由（1）可知在上单调递增 在上单调递减又为在上的唯一零点当时，在上单调递增，在上单调递减又 在上单调递增，此时，不存在零点又，使得在上单调递增，在上单调递减又，在上恒成立，此时不存在零点当时，单调递减，单调递减在上单调递减又，即，又在上单调递减在上存在唯一零点当时，即在上不存在零点综上所述：有且仅有个零点【点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点
29、问题的关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.30函数f(x)=ax3+3x2+3x(a0).（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【详解】试题分析：（1）首先求出函数的导数，然后求出使或的解集即可.（2）分类讨论在区间（1，2）上使成立的条件，并求出参数a的取值范围即可试题解析：（1），的判别式=36（1-a）.（i）若a1，则，且当且仅当a=1，x=-1，故此时f（x）在R上是增函数.（ii）由于a0，故当a<1时，有两个根
30、：，若0<a<1,则当x（，x2）或x（x1，+）时，故f（x）在（，x2），（x1，+）上是增函数；当x（x2，x1）时，故f（x）在（x2，x1）上是减函数；若a<0，则当x（，x2）或x（x1，+）时，故f（x）在（，x2），（x1，+）上是减函数；当x（x2，x1）时，故f（x）在（x2，x1）上是增函数；（2）当a>0，x>0时,，所以当a>0时，f（x）在区间（1，2）是增函数.若a<0时，f（x）在区间（1,2）是增函数当且仅当且，解得.综上，a的取值范围是.考点：1.函数的导数；2.导数性质的应用.31已知函数，且（I）试用含的代数式表
31、示；（）求的单调区间；（）令，设函数在处取得极值，记点，证明：线段与曲线存在异于、的公共点【答案】（I）（）当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为R；当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为（）证明见解析【解析】试题分析：（）从导数出发，利用即得与的关系式：（）求函数单调区间，关键研究导函数零点分布情况：因为导函数有两个零点：， ，因此需分三种情况进行讨论，此时最容易遗漏相等的情况（）先根据极值求出、的坐标，再联立方程确定线段MN与曲线的交点，由易得，因此线段与曲线 存在异于、的公共点试题解析：解：（）依题意得 ，由得 2分（）由（）得 ，故 ，令 ，则 或 当时，
32、当 变化时， 的变化情况如下表可得函数 的单调增区间为和 ，单调减区间为 当 时，此时恒成立，且仅在 处 ，故函数的单调增区间为；当 时，函数的单调增区间为和 ，单调减区间为 （）当 时，由（）得的单调增区间为 和，单调减区间为 ，函数 在 处取得极值，故直线的方程为 由得 令，易得 的图像在 内是一条连续不断的曲线，故 在 内存在零点，这表明线段与曲线有异于的公共点考点：利用导数求函数单调区间，利用导数研究函数极值32已知函数f(x)=-ln(x+m).(1)设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；（2）当m2时，证明f(x)>0.【答案】(1)在上是减函数；在上是增
33、函数（2）见解析【详解】(1)由x=0是f(x)的极值点得f '(0)=0，所以m=1于是f(x)=exln(x+1)，定义域为(1，+)，函数在(1，+)上单调递增，且f '(0)=0，因此当x(1，0)时， f '(x)<0;当x(0，+)时， f '(x)>0所以f(x)在(1，0)上单调递减，在(0，+)上单调递增(2)当m2，x(m，+)时，ln(x+m)ln(x+2)，故只需证明当m=2时， f(x)>0当m=2时，函数在(2，+)上单调递增又f '(1)<0， f '(0)>0，故f '(x)=
34、0在(2，+)上有唯一实根，且当时， f '(x)<0;当时， f '(x)>0，从而当时，f(x)取得最小值由f '(x0)=0得=，故综上，当m2时， f(x)>033设函数.(1)若，求的单调区间；(2)若当时恒成立，求的取值范围【答案】(1) f(x)在(，0)单调减少，在(0，)单调增加;(2) a的取值范围为(，.【分析】(1)a0时，f(x)ex1x，f(x)ex1.分别令f(x)<0，f(x)>0可求的单调区间；(2求导得到)f(x)ex12ax.由(1)知ex1x，当且仅当x0时等号成立故问题转化为f(x)x2ax(12a
35、)x，从而对12a的符号进行讨论即可得出结果.【详解】(1)a0时，f(x)ex1x，f(x)ex1.当x(，0)时，f(x)<0；当x(0，)时，f(x)>0.故f(x)在(，0)单调减少，在(0，)单调增加(2)f(x)ex12ax.由(1)知ex1x，当且仅当x0时等号成立故f(x)x2ax(12a)x，从而当12a0，即a时，f(x)0(x0)，而f(0)0，于是当x0时，f(x)0.由ex>1x(x0)得ex>1x(x0)，从而当a>时，f(x)<ex12a(ex1)ex(ex1)(ex2a)，故当x(0，ln2a)时， f(x)<0，而f(
36、0)0，于是当x(0，ln2a)时，f(x)<0，综上可得a的取值范围为(，【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，属中档题.34记分别为函数的导函数若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”（1）证明：函数与不存在“点”；（2）若函数与存在“点”，求实数的值；（3）已知函数，对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“点”，并说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，使函数与在区间内存在“点”【详解】分析：（1）根据题中“S点”的定义列两个方程，根据方程组无解证得结论；（2）同（1）根据“S点”的定义列两个方程，解方程组可得a的值；（3）通过构造函数以及结合 “S点”的定义列
37、两个方程，再判断方程组是否有解即可证得结论.详解：解：（1）函数f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则f（x）=1，g（x）=2x+2由f（x）=g（x）且f（x）= g（x），得，此方程组无解，因此，f（x）与g（x）不存在“S”点（2）函数，则设x0为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x0）与g（x0）且f（x0）与g（x0），得，即，（*）得，即，则当时，满足方程组（*），即为f（x）与g（x）的“S”点因此，a的值为（3）对任意a>0，设因为，且h（x）的图象是不间断的，所以存在（0，1），使得，令，则b>0函数，则由f（x）与g（x）且f（x）与g（x），得，即（*
38、）此时，满足方程组（*），即是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+）内存在“S点”点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.35（2018年新课标I卷文）已知函数（1）设是的极值点求，并求的单调区间；（2）证明：当时，【答案】(1) a=；f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+）单
39、调递增(2)证明见解析.【详解】分析：(1)先确定函数的定义域，对函数求导，利用f （2）=0，求得a=，从而确定出函数的解析式，之后观察导函数的解析式，结合极值点的位置，从而得到函数的增区间和减区间；(2)结合指数函数的值域，可以确定当a时，f（x），之后构造新函数g（x）=，利用导数研究函数的单调性，从而求得g（x）g（1）=0，利用不等式的传递性，证得结果.详解：（1）f（x）的定义域为，f （x）=aex由题设知，f （2）=0，所以a=从而f（x）=，f （x）=当0<x<2时，f （x）<0；当x>2时，f （x）>0所以f（x）在（0，2）单调递减，
40、在（2，+）单调递增（2）当a时，f（x）设g（x）=，则 当0<x<1时，g（x）<0；当x>1时，g（x）>0所以x=1是g（x）的最小值点故当x>0时，g（x）g（1）=0因此，当时，点睛：该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题，在解题的过程中，首先要保证函数的生存权，先确定函数的定义域，之后根据导数与极值的关系求得参数值，之后利用极值的特点，确定出函数的单调区间，第二问在求解的时候构造新函数，应用不等式的传递性证得结果.36已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当
41、时，【答案】（1）切线方程是（2）证明见解析【分析】（1）求导，由导数的几何意义求出切线方程（2）当时，,令，只需证明即可【详解】（1），因此曲线在点处的切线方程是（2）当时，令，则，当时，单调递减；当时，单调递增；所以 因此【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，由导数的几何意义可求出切线方程，第二问构造很关键，本题有难度37已知函数（1）若，求的单调区间；（2）证明：只有一个零点【答案】（1）f（x）在（，），（，+）单调递增，在（，）单调递减（2）见解析.【详解】分析：（1）将代入，求导得，令求得增区间，令求得减区间；（2）令，即，则将问题转化为函数只有一个零点问题，研究函数单调性可得.详
42、解：（1）当a=3时，f（x）=，f （x）=令f （x）=0解得x=或x=当x（，）（，+）时，f （x）>0；当x（，）时，f （x）<0故f（x）在（，），（，+）单调递增，在（，）单调递减（2）由于，所以等价于设=，则g （x）=0，仅当x=0时g （x）=0，所以g（x）在（，+）单调递增故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点又f（3a1）=，f（3a+1）=，故f（x）有一个零点综上，f（x）只有一个零点点睛：（1）用导数求函数单调区间的步骤如下：确定函数的定义域；求导数；由（或）解出相应的的取值范围，当时，在相应区间上是增函数；当时，在相应区间上是减增函数.（2）本题第二问重在考查零点存在性问题，解题的关键在于将问题转化为求证函数有唯一零点，可先证明其单调，再结合零点存在性定理进行论证.38设函数有两个极值点，且（I）求的取值范围，并讨论的单调性；（II）证明：【答案】（）单调递增区间为和，单调递减区间，其中，且.（）见解析【分析】（）首先求出函数的导数，因为原函数有两个极值点，所以导函数有两个不同解，因为真数，所以两个根都要在定义域内，这样就转化为了一元二次方程根分布问题，求出的取值范围.利用求得函数的的单调递增区间，利用求出单间区间.一定注意单调区间在定义域内.（