1、2021-2022 学年湖北省武汉市青山区九年级（上）期中数学试卷学年湖北省武汉市青山区九年级（上）期中数学试卷 一、你一定能选对！ （本大题共有一、你一定能选对！ （本大题共有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）下列各题均有四个备答案，分）下列各题均有四个备答案，其中有且只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡上将对应的答案标号涂黑其中有且只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡上将对应的答案标号涂黑 1. 一元二次方程 3x224x 化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 3，4 B. 3，0 C. 3，4 D. 3，2 2. 下列四幅图
2、案是四所大学校徽的主体标识，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A x24x3 B. x2+10 C. x24x0 D. x2+44x 4. 将抛物线 y3x2向右平移 2个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到新抛物线的解析式为（ ） A. y3（x2）2+1 B. y3（x+2）2+1 C y3（x+2）21 D. y3（x2）21 5. 用配方法解一元二次方程 x28x20，此方程可化为（ ） A. （x4）218 B. （x4）214 C. （x8）264 D. （x+4）21 6. 如图，BC 是O 的直径，AB 是
3、O的弦，若AOC58，则OAB 的度数是（ ） A. 20 B. 25 C. 29 D. 30 7. 随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降两年前生产一吨药的成本是 5000元，现在生产一吨药的成本是 4050元设生产成本的年平均下降率为x，下面所列方程正确的是（ ） A. 25000 14050 x B. 24050 15000 x C. 25000 14050 x D. 24050 15000 x 8. 从底面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球运动时间 t（单位：s）之间的关系式是：h30t5t2，这个函数图象如图所示，则小球从第 3s 到第 5s的运动路径长为（
4、） A. 15m B. 20m C. 25m D. 30m 9. 如图， 四边形 ABCD内接于O， ABAD， BCD120， E、 F 分别为 BC、 CD 上一点， EAF30，EF3，DF1则 BE的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 已知一元二次方程 x23x+10 的两根分别为 x1，x2，则 2x136x12+x225x2+7 的值为（ ） A. 0 B. 7 C. 13 D. 6 二、填空题（本大题共有二、填空题（本大题共有 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）下列各题不需要写出解答过程，请分）下列各题不需要写出解答过程，请将结论直
5、接填写在答题卷的指定位置将结论直接填写在答题卷的指定位置 11. 点（4，3）关于原点对称的点的坐标是_ 12. 已知点 A（1，y1） ，点 B（2，y2）抛物线 y=2x2-3 上，则 y1_y2（填“”或“”） 13. 如图， 在 RtABC中， ACB90， A32， 将ABC 绕着点 C 顺时针方向旋转后得到EDC 点D 落在 AB 边上，则旋转角的大小为 _ 14. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给_个人. 15. 二次函数 yax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，对称轴为直线 x12，且经过点（1，0） 下列说法：abc0；2
6、b+c0；点（t32，y1） ， （t+32，y2）在抛物线上，则当 t13时，y1y2；14b+cm（am+b）+c（m 为任意实数） 其中一定正确的是 _ 16. 如图，在矩形 ABCD中，AB7，BC73，点 P在线段 BC上运动（含 B、C两点） ，连接 AP，将线段 AP绕着点 A 逆时针旋转 60得到 AQ，连接 DQ，则线段 DQ的最小值为 _ 三、解下列各题（本大题共三、解下列各题（本大题共 8 小题，共小题，共 72 分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形明、证明过程、演算步骤或画出图形 17.
7、 解方程：x22x1=0 18. 抛物线 yax2+bx3（a0，a、b为常数）上部分点的横坐标 x，纵坐标 y的对应值如表： x 1 0 1 2 3 y 0 3 4 3 m （1）求抛物线的解析式； （2）直接写出方程 ax2+bx30 的解 19. 如图，用一段长为 30m篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，墙长为 18m，设这个苗圃园垂直于墙的一边 AB 的长为 xm （1）用含有 x式子表示 BC，并直接写出 x的取值范围； （2）若苗圃园的面积为 72m2，求 AB 的长 20. 在 66 的网格中建立如图的平面直角坐标系，ABC 三个顶点的坐标分别为 A（0，2） ，B（4，0） ，
8、C（5，2） ，Q是 ABC的外接圆，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按要求完成下列问题： （1）画圆心 Q； （2）画弦 BD，使 BD平分ABC； （3）画弦 DP，使 DPAB； （4）弦 BD的长为 21. 如图，四边形 ABCD为O 的内接四边形，AC为O 的直径，ACD与BCD 互余 （1）求证：CDBD； （2）若 CD45，BC8，求 AD的长 22. 某商家购进一批产品， 成本为每件 10 元，采取线上和线下两种方式进行销售 调查发现： 线下销售时，售价为 12 可以销售 1200件，每涨价 1 元则少售出 100 件设线下的月销售量
9、为 y件，线下售价为每件 x 元（12x24且 x为整数） （1）直接写出 y与 x的函数关系式； （2）若线上每件售价始终比线下便宜 2元，且线上的月销售量固定为 400件试问：当 x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润； （3）若月利润总和不低于 6900元，则线下售价 x的取值范围为 23. 已知，在菱形 ABCD中，BCD60，将边 CD 绕点 C 顺时针旋转 （0120） ，得到线段 CE，连接 ED、ED 或其延长线交BCE的角平分线于点 F （1）如图 1，若 20，直接写出E与CFE 的度数； （2）如图 2，若 60120求证：EFDFCF； （3）如
10、图 3，若 AB6，点 G 为 AF 的中点，连接 BG，则 DC旋转过程中，BG 的最大值为 24. 已知，直线 ykx1与抛物线 y21322x 交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） （1）当 k34时，求 A，B两点的坐标； （2）点 P 是直线 AB 下方的抛物线上一点，点 Q 在 y 轴上，且四边形 APBQ是平行四边形 如图 1，在（1）的条件下，求 APBQ的面积； 当 k 变化时，Q 点是否是 y轴上的一个定点？若是，请求出点 Q的坐标，若不是，请说明理由 2021-2022 学年湖北省武汉市青山区九年级（上）期中数学试卷学年湖北省武汉市青山区九年级（上）期中数学试卷
11、 一、你一定能选对！ （本大题共有一、你一定能选对！ （本大题共有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）下列各题均有四个备答案，分）下列各题均有四个备答案，其中有且只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡上将对应的答案标号涂黑其中有且只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡上将对应的答案标号涂黑 1. 一元二次方程 3x224x 化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 3，4 B. 3，0 C. 3，4 D. 3，2 【答案】C 【解析】 【分析】方程整理为一般形式，找出二次项系数与一次项系数即可 【详解】化为一般式，得 3x2-4x20， 二
12、次项系数和一次项系数分别是 3，-4， 故选 C 【点睛】 本题考查的知识点是二元一次方程的一般形式， 解题关键是熟记其一般形式为 ax2+bx+c=0 （a0） 2. 下列四幅图案是四所大学校徽主体标识，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、是中心对称图形，故本选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项
13、不合题意 故选：C 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心 3. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. x24x3 B. x2+10 C. x24x0 D. x2+44x 【答案】D 【解析】 【分析】根据根的判别式逐项分析即可 【详解】A.原方程化为 x24x-3=0，2( 4)4 1 ( 3)16 12280 ，则原方程有两个不相等实数根，不符合题意； B. x2+10，40 ，则原方程没有实数根，不符合题意； C. x24x0，=160，则原方程有两个不相等实数
14、根，不符合题意； D. 原方程化为 x2+4-4x=0，2( 4)4 40 ，则原方程有两个相等实数根，符合题意； 故选 D 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键 4. 将抛物线 y3x2向右平移 2个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到新抛物线的解析式为（ ） A. y3（x2）2+1 B. y3（x+2）2+1 C. y3（x+2）21 D. y3（x2）21 【答案】D 【解析】 【分析】只要把抛物线 y3x2的顶点(0，0)向右平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度得到新抛物线的顶点为(2，-1)，从而可得新抛物线的解析式 【
15、详解】抛物线 y3x2的顶点为(0，0) 抛物线 y3x2的顶点(0，0)右平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度的新抛物线的顶点为(2，-1) 平移不改变图形的大小 新抛物线的解析式 y3（x2）21 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，抛物线的平移关键是抓住抛物线顶点的平移问题即迎刃而解 5. 用配方法解一元二次方程 x28x20，此方程可化为（ ） A. （x4）218 B. （x4）214 C. （x8）264 D. （x+4）21 【答案】A 【解析】 【分析】先移项，再方程两边都加上 16，即可得出答案 【详解】解：原方程可化为282xx， 配方得28162
16、16xx， 即（x-4）2=18 故选 A 【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方 6. 如图，BC 是O 的直径，AB 是O的弦，若AOC58，则OAB 的度数是（ ） A. 20 B. 25 C. 29 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质及圆周角定理即可求得结果 【详解】OA=OB OAB=OBA OBA、AOC对着同一段弧 11582922OBAAOC OAB=29 故选：C 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，掌握圆周角定理是关键 7. 随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降两年前生产一吨药的成本是 500
17、0元，现在生产一吨药的成本是 4050元设生产成本的年平均下降率为x，下面所列方程正确的是（ ） A. 25000 14050 x B. 24050 15000 x C. 25000 14050 x D. 24050 15000 x 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意找到对应的等量关系：2年前的生产成本（1-下降率）=现在的生产成本，把相关的数据带入计算即可. 【详解】设这种药品的成本的年平均下降率为 x，根据题意得： 25000-x=40501 故选：C. 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能从题意中找到对应的等量关系. 8. 从底面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位
18、：m）与小球运动时间 t（单位：s）之间的关系式是：h30t5t2，这个函数图象如图所示，则小球从第 3s 到第 5s的运动路径长为（ ） A. 15m B. 20m C. 25m D. 30m 【答案】B 【解析】 【分析】根据小球的高度 h（单位：m）与小球运动时间 t（单位：s）之间的关系式求出 t=3，t=5 时的函数值，求其差即可 【详解】解：小球的高度 h（单位：m）与小球运动时间 t（单位：s）之间的关系式是：h30t5t2， 当 t=3 时，h303532=90-45=45m， 当 t=5 时，h305552=150-125=25m， 小球从第 3s到第 5s 的运动路径长为
19、45m-25m=20m 故选 B 【点睛】本题考查求函数值，有理数减法，掌握求函数值的方法是解题关键 9. 如图， 四边形 ABCD内接于O， ABAD， BCD120， E、 F 分别为 BC、 CD 上一点， EAF30，EF3，DF1则 BE的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】延长 CB到 H，使 BH=DF=1，连接 AH，则可证得ABHADF，从而 AH=AF，BAH=DAF，易证AHEAFE，可得 HE=EF=3，则可求得 BE 的长 【详解】延长 CB 到 H，使 BH=DF=1，连接 AH，如图 四边形 ABCD内接于O ABC+
20、ADC=180 ABH+ABC=180 ABH=ADF 在ABH和ADF 中 ABADABHADFBHDF ABHADF AH=AF，BAH=DAF BAD+BCD=180，BCD=120 BAD=180-BCD=60 EAF=30 BAE+DAF=BAD-EAF=30 EAH=BAE+BAH=30 在AHE和AFE中 AHADEAHEAFAEAE AHEAFE HE=EF=3 BE=HE-BH=3-1=2 故选：B 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，构造辅助线得到全等三角形的问题的关键与难点 10. 已知一元二次方程 x23x+10 的两根分别为 x1，x2，则
21、2x136x12+x225x2+7 的值为（ ） A. 0 B. 7 C. 13 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由方程解的含义及一元二次方程根与系数的关系即可求得结果 【详解】一元二次方程 x23 x+10 的两根分别为 x1，x2 123xx，211310 xx ，222310 xx 32211222657xxxx 2211122122 (31)(31)226x xxxxxx 122()6xx 236 0 故选：A 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概念及一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，涉及整体代入思想，关键是变形 二、填空题（本大题共有二、填空题（本大题共有 6 小题
22、，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）下列各题不需要写出解答过程，请分）下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卷的指定位置将结论直接填写在答题卷的指定位置 11. 点（4，3）关于原点对称的点的坐标是_ 【答案】 （4，3） 【解析】 【分析】平面直角坐标系中任意一点 P（x，y），关于原点的对称点是（x，y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数 【详解】点（4，3）关于原点对称的点的坐标是（4，3） 故答案为（4，3） 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中任意一点 P（x，y），关于原点的对称点是（x，y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，比较简单 12
23、. 已知点 A（1，y1） ，点 B（2，y2）在抛物线 y=2x2-3 上，则 y1_y2（填“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】将点 A（-1，y1） ，点 B（2，y2）分别代入 y=2x2-3，求出相应的 y1、y2，即可比较大小 【详解】解：点 A（-1，y1） ，点 B（2，y2）在抛物线 y=2x2-3 上， y1=2 1-3=-1， y2=2 4-3=5， y1y2， 故答案为： 【点睛】本题考查二次函数的图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键 13. 如图， 在 RtABC中， ACB90， A32， 将ABC 绕着点 C 顺时针方向旋转后得到EDC
24、点D 落在 AB 边上，则旋转角的大小为 _ 【答案】64 【解析】 【分析】由在 RtABC 中，ACB=90 ，A=32 ，可求B，由旋转的性质可得：CB=CD，根据等边对等角的性质可得CDB=B=58 ，然后由三角形内角和定理求即可 【详解】解：在 RtABC中，ACB=90 ，A=32 ， B=90 32 =58 ， 由旋转的性质可得：CB=CD， CDB=B=58 ， BCD=180 BCDB=64 ， 旋转角的大小为 64 故答案为 64 【点睛】本题考查直角三角形旋转问题，掌握旋转图形的性质，等腰三角形判定与性质，三角形内角和是解题关键 14. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有
25、64人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给_个人. 【答案】7 【解析】 【详解】试题分析：设每轮传染中平均一个人传染给 x 个人，则根据题意可知：2x164，解得：x=7或 x=-9(舍去)，故每轮传染中平均一个人传染给 7 个人 15. 二次函数 yax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，对称轴为直线 x12，且经过点（1，0） 下列说法：abc0；2b+c0；点（t32，y1） ， （t+32，y2）在抛物线上，则当 t13时，y1y2；14b+cm（am+b）+c（m 为任意实数） 其中一定正确的是 _ 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数开口向上，与 y轴的交点在 y 轴
26、负半轴，二次函数的对称轴为直线12x ，即可判断二次函数三个系数的符号， 从而判断； 根据二次函数经过点 （-1， 0） ， 即可得到0a bc 即20bc ，从而判断；根据二次函数开口向上，则离对称轴越远函数值越小即可判断；根据二次函数开口向上，对称轴为直线12x ，当12x 时，二次函数有最小值，111424yabcbc，由此即可判断 【详解】解：由函数图像可知，二次函数开口向上，与 y 轴的交点在 y 轴负半轴， 0a，0c， 二次函数的对称轴为直线12x ， 122ba即0ba ， 0abc，故正确； 二次函数经过点（-1，0） ， 0a bc 即20bc ，故正确； 点13,2ty，
27、23,2ty在抛物线上， 当3312222tt 即12t 时，12yy（此处可以这样理解，这两个点的中点更靠近点13,2ty，则点23,2ty离对称轴近） ，故不正确； 抛物线开口向上，对称轴为直线12x ， 当12x 时，二次函数有最小值，111424yabcbc， 214bcambmcm ambc，故正确； 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系，根据二次函数图像判断式子符号，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图像的性质 16. 如图，在矩形 ABCD中，AB7，BC73，点 P在线段 BC上运动（含 B、C两点） ，连接 AP，将线段 AP绕着点 A 逆时针旋转 60
28、得到 AQ，连接 DQ，则线段 DQ的最小值为 _ 【答案】72#132#3.5 【解析】 【分析】以 AB 为边作等边ABE，过点 D 作 DHQE 于 H，利用 SAS 证明ABPAEQ，得AEQ=ABP=90 ，则点 Q在射线 EQ上运动，即求 DH 的长度，再运用含 30 角的直角三角形的性质进行解题 【详解】解：如图，以 AB为边作等边ABE，过点 D作 DHQE 于 H， AB=AE，BAE=60 ， 将线段 AP 绕着点 A逆时针旋转 60 得到 AQ， AP=AQ，PAQ=60 ， BAP=EAQ， 在ABP和AEQ中， ABAEBAPEAQAPAQ ， ABPAEQ（SAS）
29、 ， AEQ=ABP=90 ， 点 Q在射线 EQ上运动， 当 Q 与 H重合时，DQ最小， 在 RtAEF中，EAF=30 ， EF=33AE=7 33， AF=2EF=14 33， DF=AD-AF=7 3-14 33=7 33， DH=32DF=327 33=72， DQ的最小值为72， 故答案为：72 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含 30 角的直角三角形的性质，判断出点 Q 的运动路径是解题的关键 三、解下列各题（本大题共三、解下列各题（本大题共 8 小题，共小题，共 72 分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说分）下列各题需要在答
30、题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形明、证明过程、演算步骤或画出图形 17. 解方程：x22x1=0 【答案】1212,12xx . 【解析】 【分析】方法一：确定 a、b、c的值，判断的值，最后根据求根公式求解； 方法二：运用配方法解题. 【详解】解法一： 121,abcQ， 244 4 118 0,bac （） 242812,22 1bbacxa 1212,12;xx 解法二:212,x 12,x 1212,12;xx 故答案是1212,12.xx 【点睛】本题考查的是解一元二次方程的能力，能够根据题目特点灵活采取合适的方法解题. 18. 抛物线 yax2+bx3（a0
31、，a、b为常数）上部分点的横坐标 x，纵坐标 y的对应值如表： x 1 0 1 2 3 y 0 3 4 3 m （1）求抛物线的解析式； （2）直接写出方程 ax2+bx30 的解 【答案】 （1）y=x2-2x-3； （2）x=-1 或 x=3 【解析】 【分析】 （1）将（-1，0） ， （1，-4）代入 y=ax2+bx-3求解； （2）由表格可得抛物线对称轴为直线 x=1，再由 x=-1 时 y=0 可得 x=3时 y=0 【详解】解： （1）将（-1，0） ， （1，-4）代入 y=ax2+bx-3 得 0343abab ， 解得12ab ， y=x2-2x-3； （2）由表格可得抛
32、物线对称轴直线 x=1，且 x=-1 时 y=0， 由抛物线对称性可得 x=3时，y=0， 方程 ax2+bx-3=0的解为 x=-1 或 x=3 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象的性质，掌握二次函数与一元二次方程的关系 19. 如图，用一段长为 30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，墙长为 18m，设这个苗圃园垂直于墙的一边 AB的长为 xm （1）用含有 x的式子表示 BC，并直接写出 x 的取值范围； （2）若苗圃园的面积为 72m2，求 AB 的长 【答案】 （1）302m 615xx； （2）AB 的长为 12m 【解析】 【分析】（1） 根据这个苗圃园
33、垂直于墙的一边 AB 的长为 xm， 得到mCDABx， 再由篱笆的总长为 30m，即可得到30302mBCABCDx，根据墙的长度即可确定 x 的取值范围； （2）苗圃园的面积为 S，根据302SAB BCxx列出方程求解即可 【详解】解： （1）这个苗圃园垂直于墙的一边 AB的长为 xm， mCDABx， 篱笆的总长为 30m， 30302m 615BCABCDxx ； （2）设苗圃园的面积为 S， 由题意得：30272SAB BCxx， 215360 xx即3120 xx， 解得12x 或3x （舍去） ， AB 的长为 12m 【点睛】本题主要考查了列关系式和一元二次方程的应用，解题的
34、关键在于准确表示出 BC的长 20. 在 66 的网格中建立如图的平面直角坐标系，ABC 三个顶点的坐标分别为 A（0，2） ，B（4，0） ，C（5，2） ，Q是 ABC的外接圆，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按要求完成下列问题： （1）画圆心 Q； （2）画弦 BD，使 BD平分ABC； （3）画弦 DP，使 DPAB； （4）弦 BD的长为 【答案】 （1）见解析； （2）见解析； （3）见解析； （4）3 102 【解析】 【分析】 （1）易得 ABC 是直角三角形，取点 E(1，2)，分别连接 AE、CE、BE，易得BCE=90,则 BE与
35、 AC的交点便是圆心 Q； （2）取点 F(3，3)，连接 AF，AF与圆的交点为 D，连接 BD，则 BD平分ABC； （3）取点 G(2，-1)，连接 CG 交Q于点 P，连接 DQ并延长交 x 轴于点 H，交圆于点 M，连接 CM，则可得 DH:BH=3，1tantan3MDBACG，易知 DP=AB； （4）判断出点 D与点 B的坐标，可得结论 详解】 （1）22242 5AB ，22125BC ，AC=5 22220525ABBCAC 即ABC 是直角三角形 取点 E(1，2)，分别连接 AE、CE、BE，则由勾股定理得：AE=BC，CE=AB ABCCEA AEC=ABC=90，B
36、AC=ECA BCE=ECA+ACB=BAC+ACB=90 BE 为圆的直径 AC与 BE的交点 Q就是圆的圆心 所画的圆心 Q 如图所示： （2）取点 F(3,3)，连接 AF 交圆于点 D，连接 BD，则所画的平分ABC的弦 BD如图所示： （3）取点 G(2，-1)，连接 CG 交Q于点 P，连接 DQ并延长交 x轴于点 H，交Q于点 M，连接 CM 由图可知 BH:DH=1:3 1tantan3MDBACG MDB=ACG DCA=DBA=45 ACB=ACM+MCB=45+MDB=45+ACG=DCP 则 DP=AB （4）由作图知，5 9,2 2D，(4,0)B 22593 104
37、222BD 故答案为：3 102 【点睛】本题考查了作图，角平分线性质，三角形的外接圆，圆周角定理，三角形函数等知识，关键是数形结合，灵活运用这些知识 21. 如图，四边形 ABCD为O 的内接四边形，AC为O 的直径，ACD与BCD 互余 （1）求证：CDBD； （2）若 CD45，BC8，求 AD的长 【答案】 （1）见详解； （2）2 5AD 【解析】 【分析】 （1）连接 BD，根据 AC 为直径，可得ADC=90 ，得出BCD=DAC，由DAC=DBC，可得BCD=DBC，根据等角对等边可得 DB=DC即可； （2）过 D作 DEBC于 E，延长线交O于 F，可得 BD=CD，DEB
38、C，根据垂径定理可得 BE=CE，DF为O的直径，先求出 CE=142BC ，根据勾股定理求出22224 548DEDCCE，设OC=x，根据勾股定理在 RtOCE中，222OCOECE即22284xx解方程求出半径，再根据勾股定理求解即可 【详解】解： （1）连接 BD， AC为直径， ADC=90 ， DAC+ACD=90 ， ACD+BCD=90 ， BCD=DAC， DAC=DBC， BCD=DBC， DB=DC， BDCD； （2）过 D作 DEBC于 E，延长线交O于 F， BD=CD，DEBC， BE=CE，DF 为O 的直径， BC=8，CD45， CE=142BC ， 在 R
39、tDCE中， 22224 548DEDCCE， 设 OC=x， OD=OC= x，OE=8- x， 在 RtOCE中，222OCOECE即22284xx， 解得5x ， AC=2OC=10， 在 RtADC中，2222104 52 5ADACDC 【点睛】本题考查直径所对圆周角性质，弦与弧关系，垂径定理，等腰三角形判定与性质，勾股定理，解拓展一元一次方程，通过辅助线作出准确图形，掌握以上知识解题关键 22. 某商家购进一批产品， 成本为每件 10 元，采取线上和线下两种方式进行销售 调查发现： 线下销售时，售价为 12 可以销售 1200件，每涨价 1 元则少售出 100 件设线下的月销售量为
40、 y件，线下售价为每件 x 元（12x24且 x为整数） （1）直接写出 y与 x的函数关系式； （2）若线上每件售价始终比线下便宜 2元，且线上的月销售量固定为 400件试问：当 x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润； （3）若月利润总和不低于 6900元，则线下售价 x的取值范围为 【答案】 （1）1002400yx （12x24且 x为整数） ； （2）当 x=19 时，线上和线下月利润总和有最大值，最大值为 7300 元； （3）1721x 【解析】 【分析】 （1）由 1200减去减少的件数即可； （2）分别求出线下和线上的利润 w 与 x 的函数解析式，再
41、根据二次函数的性质求出最大值； （3）解方程21003800288006900 xx，求出 x 值，由此得到答案 【详解】解： （1）1200 100(12)1002400yxx （12x24且 x 为整数） ； （2）w线下=（x-10）y =(10)( 1002400)xx =2100340024000 xx， w线上=400（x-2-10）=4004800 x， 线上和线下月利润总和 w= w线下+ w线上 =21003400240004004800 xxx =2100380028800 xx =2100(19)7300 x -1000，12x24 且 x为整数， 当 x=19 时，线上
42、和线下月利润总和 w 有最大值，最大值为 7300 元； （3）当21003800288006900 xx时， 解得1221,17xx， 月利润总和不低于 6900元，则线下售价 x的取值范围为1721x 故答案为：1721x 【点睛】此题考查二次函数的实际应用，求函数解析式及二次函数的最大值，解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键 23. 已知，在菱形 ABCD中，BCD60，将边 CD 绕点 C 顺时针旋转 （0120） ，得到线段 CE，连接 ED、ED 或其延长线交BCE的角平分线于点 F （1）如图 1，若 20，直接写出E与CFE 的度数； （2）如图 2，若 60120求证：E
43、FDFCF； （3）如图 3，若 AB6，点 G 为 AF 的中点，连接 BG，则 DC旋转过程中，BG 的最大值为 【答案】 （1）E=80，CFE=60； （2）见解析； （3）3 3 【解析】 【分析】 （1）由旋转的性质及等腰三角形的性质即可求得E 的度数；再由 CF 平分BCE 及菱形的性质即可求得CFE的度数； （2）在 EF上取点 H，且使 EH=DF，连接 CH，可证明CEHCDF，则易证CFH 是等边三角形，从而问题得以证明； （3） 连接 AC、 BD、 BF， 作BCD 的外接圆O， 设O交 AC于点 M， 连接 GM、 BM， OF， 易得 AM=MO=OC，则1,2G
44、MOF MBAM，从而 BGMB+GM，因此可求得 BG 的最大值 【详解】 （1）CE由 CD绕点 C顺时针旋转 而得到 CE=CD，DCE= 11(180)9022ED ，BCE=BCD+DCE=60+ 当 =20时，19020802E CF平分BCE 111(60)30222ECFBCE 在CFE中，11180180(30)(90)6022CFEECFE （2） ）如图，在 EF上取点 H，且使 EH=DF，连接 CH 在CEH 和CDF 中 CECDECDEEHDF CEHCDF CH=CF 由（1）知，CFE=60 CFH 是等边三角形 CF=FH EFDFEFEHFHCF （3）连
45、接 AC、BD、BF，作BCD的外接圆O，设O 交 AC于点 M，连接 GM、BM，OF 四边形 ABCD是菱形，BCD=60 BC=BD， BCD是等边三角形 CF平分BCE BCF=ECF CB=CD=CE，CF=CF BCFECF BFC=CFE=60 点 F在O上 AC垂直平分 BD O 点在 AC上 等边三角形外接圆的半径为33等边三角形的边长 OC=2 3 菱形 ABCD的对角线222 636 3AC AM=MO=OC=2 3 132GMOF BMC=BDC=60，BAM=30 在AMB中，ABM=30 2 3MBAM 2 333 3BGMBGM BG的最大值为3 3 故答案为：3
46、 3 【点睛】本题是四边形的综合，考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作BDC的外接圆并证明点 F在圆上是关键和难点 24. 已知，直线 ykx1与抛物线 y21322x 交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） （1）当 k34时，求 A，B两点的坐标； （2）点 P 是直线 AB 下方的抛物线上一点，点 Q 在 y 轴上，且四边形 APBQ是平行四边形 如图 1，在（1）的条件下，求 APBQ的面积； 当 k 变化时，Q 点是否是 y轴上的一个定点？若是，请求出点 Q的坐标，若不是，请说明理由 【答案】 （1）111,28A，12,2B；
47、 （2）54； （3）是定点，10,2Q 【解析】 【分析】 （1）解由一次函数与二次函数解析式组成的方程组即可； （2）设点 Q的坐标为(0，q)，根据平行四边形的性质可求得点 Q的坐标；设直线 AB与 y轴交于点 C，则ABQAQCQCSSSVVdV ,2ABQAPBQSSV平行四边形 ，从而可求得结果； Q 点是 y轴上的一个定点，设点11( ,)A x y 及22(,)B xy，由一次函数与二次函数解析式组成的方程组消去 y，由根与系数的关系，可得12xx的关系，从而可得12yy，根据平行四边形的性质可求得点 Q 的坐标是与 q无关的数，从而是定点 【详解】 （1）解方程组231413
48、22yxyx 消去 y 并整理得：22320 xx 解得：121,22xx 把上述两个值分别代入314yx中，得12111,82yy 111,28A，12,2B （2）设点 Q的坐标为(0，q) 四边形 APBQ 是平行四边形 QABP，QA=BP Q 点向下平移118q个单位长度再向左平移12个单位长度得到点 A B点向下平移118q个单位长度再向左平移12个单位长度得到点 P 点 P的坐标为3 111,()2 28q 点 P在抛物线 y21322x 上 19311124228q 解得：12q 设直线 AB与 y轴交于点 C，在 y34x1中，令 x=0，得 y=1，则 C(0，1) 11(
49、 1)22QC 设点 A、点 B 到 y 轴距离分别为 m、n，则122mn， 11111115222222228ABQAQCBQCSSSQC mQC nVVV 552284ABQAPBQSSV平行四边形 Q 点是 y轴上的一个定点 设点11( ,)A x y 及22(,)B xy，则10 x ，20 x 解方程组211322ykxyx 消去 y 并整理得：2210 xkx 由题意12,x x是上述方程的两个根，由根与系数的关系得：122xxk 212121211()222yykxkxk xxk 四边形 APBQ 是平行四边形 QABP，QA=BP Q 点向下平移1qy个单位长度再向左平移1x
50、个单位长度得到点 A B点向下平移1qy个单位长度再向左平移1x个单位长度得到点 P 点 P的坐标为1221,()xxyqy 点 P在抛物线 y21322x 上 2122113()()22xxyqy 即2122113()22xxyyq 122xxk，21222yyk 221342222kkq 12q 即点 Q的坐标为10,2，从而点 Q为 y轴上的一个定点 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了求直线与抛物线的交点，平行四边形的性质，三角形的面积，一元二次方程根与系数的关系，平移关系等知识，综合性强；特别是第（2）题的，虽然设了点 A 与点 B的坐标，但没有求出其坐标，这是一种设而不求的方法