1、2022届高三数学（新课标卷）理科黄金试卷（1）本卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，则( )。A、B、C、D、2复数( )。A、B、C、D、3函数的大致图像是( )。A、B、C、D、4现有人参加抽奖活动，每人依次从装有张奖票(其中张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第人抽完后结束的概率为( )。A、B、C、D、5若函数的定义域为，则的单调递增区间为( )。A、B、C、D、6某商业区要进行“”信号测试，该商业区的形状近似为正六边形，
2、某电讯公司在正六边形的对角顶点、处各安装一个基站，达到信号强度要求的区城刚好是分别以、为圆心，正六边形的边长为半径的两个扇形区域，未达到倍号强度要求的区域为“”信号盲区。若一游客在该商业区域内购物，则他刚好在“”信号盲区内的概率约为( )。A、B、C、D、7执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的( )。A、B、C、D、8在中，且点为的中点，则( )。A、B、C、D、9双曲线(，)的右焦点为，过作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于、两点，若四边形(为坐标原点)存在外接圆，则双曲线的离心率为( )。A、B、C、D、10如图，点和点分别是函数(，)图像上的最低点和最高点，若、两点间
3、的距离为，则关于函数的说法正确的是( )。A、在区间上单调递增B、在区间上单调递增C、在区间上单调递减D、在区间上单调递减11已知边长为的菱形中，现沿对角线折起，使得二面角为，此时点、在同一个球面上，则该球的表面积为( )。A、B、C、D、12已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，满足，则的取值范围是( )。A、B、C、D、二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13二项式的展开式中第项的系数为 。14设向量，若，则 。15抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于、两点，且满足，点为原点，则的面积为 。16在中，点是的中点，且，则 ， 。(本题第一空2分，第二空3分)三、解答题（本大题共
4、6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（12分）已知数列的前项和为，且满足，。(1)求数列的通项公式；(2)令，记数列的前项和为，证明。18（12分）自中央陆续提出东部率先、西部大开发、中部崛起发展战略以来，取得了令世界瞩目的辉煌成绩，以下是五年东部、西部、中部地区的人均可支配收入情况。农村按照东、西、中部地区分组的人均可支配收入(万元)年份东部地区西部地区中部地区(1)比较分析东、西、中部地区近五年的人均可支配收入情况；(2)根据西部地区年至年的数据(时间变量的值依次为、)进行线性回归分析，并预测年的西部地区人均可支配收入(精确到)；(3)若两地区人均可支配收入差异大
5、于万元，就认为两地有级差异，则根据东部和中部地区的近五年人均可支配收人的数据，求从到五年间任取两年都是级差异的概率。附：，。19（12分）如左图，在边长为的菱形中，且。将梯形沿直线折起，使平面，如右图，是上的点，。(1)求证：直线平面；(2)求平面与平面所成角的余弦值。20（12分）已知椭圆：()，椭圆短轴的端点、与椭圆的左、右焦点、构成边长为的菱形，是经过椭圆右焦点的椭圆的任意一条弦，点是椭圆上一点，且(为坐标原点)。(1)求椭圆的标准方程；(2)求的最小值。21（12分）已知函数，。(1)当时，证明：有且仅有两个零点、，且存在，使，；(2)若函数有唯一零点，求正数的值。请考生在第22、23
6、两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在极坐标系中，曲线的极坐标方程为。(1)以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线的直角坐标方程；(2)设、为曲线上不同两点(均不与重合)，且满足，求面积的最大值。23选修4-5：不等式选讲（10分）已知函数。(1)求的解集；(2)若恒成立，求实数的最大值。2022届高三数学（新课标卷）理科黄金试卷（1）本卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，则(
7、 )。A、B、C、D、【答案】A【解析】，故选A。2复数( )。A、B、C、D、【答案】A【解析】，故选A。3函数的大致图像是( )。A、B、C、D、【答案】B【解析】由题意可知的定义域为，为奇函数，其图像关于原点中心对称，C不对，A不对，又，故选B。4现有人参加抽奖活动，每人依次从装有张奖票(其中张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第人抽完后结束的概率为( )。A、B、C、D、【答案】C【解析】将张奖票不放回地依取出共有种不同的取法，若恰好在第次抽奖结束，则前三次共抽到张中奖票，第次抽到最后张中奖票，共有种不同的取法，概率，故选C。5若函数的
8、定义域为，则的单调递增区间为( )。A、B、C、D、【答案】D【解析】由题意可知的解集为，即和是方程的两个根，利用韦达定理得：，解得，设，则在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递增，故选D。6某商业区要进行“”信号测试，该商业区的形状近似为正六边形，某电讯公司在正六边形的对角顶点、处各安装一个基站，达到信号强度要求的区城刚好是分别以、为圆心，正六边形的边长为半径的两个扇形区域，未达到倍号强度要求的区域为“”信号盲区。若一游客在该商业区域内购物，则他刚好在“”信号盲区内的概率约为( )。A、B、C、D、【答案】D【解析】如图，阴影部分为达到信号强度要求的区域，设正六边形的边长为，
9、则，则该游客刚好在“” 信号盲区内的概率约为：，故选D。7执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的( )。A、B、C、D、【答案】B【解析】，否，否，否，是，退出循环，则，故选B。8在中，且点为的中点，则( )。A、B、C、D、【答案】A【解析】点为的中点，且，在中，在中，由余弦定理得：，故选A。9双曲线(，)的右焦点为，过作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于、两点，若四边形(为坐标原点)存在外接圆，则双曲线的离心率为( )。A、B、C、D、【答案】A【解析】由题意得，不妨设直线的方程为，直线的方程为，则过点平行于的直线的方程为，平行于的直线的方程为，由得，于是线段与互相垂直平
10、分，则四边形(为坐标原点)为菱形，其外接圆圆心在、的交点处，则，得，双曲线的离心率，则，故选A。10如图，点和点分别是函数(，)图像上的最低点和最高点，若、两点间的距离为，则关于函数的说法正确的是( )。A、在区间上单调递增B、在区间上单调递增C、在区间上单调递减D、在区间上单调递减【答案】D【解析】如图，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，设两垂线的交点为，连接，可知为直角三角形，则，易知，解得，得，故，由函数的图像经过点可得，则，又，则，的单调递增区间为，得()，的单调递减区间为，得()，当时在区间上单调递减，选D。11已知边长为的菱形中，现沿对角线折起，使得二面角为，此时点、在同一个球面上，
11、则该球的表面积为( )。A、B、C、D、【答案】B【解析】如图分别取，的中点、，连，则容易算得，由图形的对称性可知球心必在的延长线上，设球心为，半径为，则由题设可得，解之得，则，球的表面积，故选B。12已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，满足，则的取值范围是( )。A、B、C、D、【答案】D【解析】，函数在区间内取得极大值，在区间内取得极小值，在和内各有一个根，即，在坐标系中画出其表示的区域，令，其几何意义为区域中任意一点与点连线的斜率，分析可得，则，的取值范围是，故选D。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13二项式的展开式中第项的系数为 。【答案】【解析】，则第项时，系数为
12、。14设向量，若，则 。【答案】【解析】由已知得，解得，则，故。15抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于、两点，且满足，点为原点，则的面积为 。【答案】【解析】如图，由题意可知，由得，又根据可得，即，即，解得，点的坐标为或，。16在中，点是的中点，且，则 ， 。(本题第一空2分，第二空3分)【答案】【解析】，在和中，分别由正弦定理得，又，两式相比得，即，即，即，则或，又，故。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（12分）已知数列的前项和为，且满足，。(1)求数列的通项公式；(2)令，记数列的前项和为，证明。【解析】(1)当时，有，解得， 1分当时，
13、有，则：， 3分整理得：，数列是首项为、公比为的等比数列，； 5分(2)由(1)有， 6分设， 8分则数列的前项和：， 10分又，则恒成立，故。 12分18（12分）自中央陆续提出东部率先、西部大开发、中部崛起发展战略以来，取得了令世界瞩目的辉煌成绩，以下是五年东部、西部、中部地区的人均可支配收入情况。农村按照东、西、中部地区分组的人均可支配收入(万元)年份东部地区西部地区中部地区(1)比较分析东、西、中部地区近五年的人均可支配收入情况；(2)根据西部地区年至年的数据(时间变量的值依次为、)进行线性回归分析，并预测年的西部地区人均可支配收入(精确到)；(3)若两地区人均可支配收入差异大于万元，
14、就认为两地有级差异，则根据东部和中部地区的近五年人均可支配收人的数据，求从到五年间任取两年都是级差异的概率。附：，。【解析】(1)东、西、中部的人均可支配收入均为增长的趋势，从到的五年间，东部的人均可支配收入最高，西部的人均可支配收入最低，从到的五年，东部增长万元，中部增长万元，西部增长万元，可以看出东部增长最多，西部增长最少； 3分(2)设西部地区五年的数据分别为、，可得，由可得， 5分由过可得，线性回归方程为， 7分将代入可得； 8分(3)由题意可知，该五年中年和年东中部地区达到级差异，其余三年均未达到级差异，设事件为从到五年间任取两年都是级差异，而五年中任意取两年共有种情况，事件包含种情
15、况， 10分根据古典概型可得所求概率。 12分19（12分）如左图，在边长为的菱形中，且。将梯形沿直线折起，使平面，如右图，是上的点，。(1)求证：直线平面；(2)求平面与平面所成角的余弦值。【解析】(1)证明：如图，连接，交于点，连接， 1分、， 2分， 3分平面，平面，平面； 4分(2)解：以点为原点，以、所在直线为、轴建立空回直角坐标系，如图所示，且，则， 5分又、，则、， 6分设平面的法向量为，则， 8分令，则，则， 9分又平面的法向量为， 10分设平面与平面所成角的平面角为， 11分则。 12分20（12分）已知椭圆：()，椭圆短轴的端点、与椭圆的左、右焦点、构成边长为的菱形，是经过
16、椭圆右焦点的椭圆的任意一条弦，点是椭圆上一点，且(为坐标原点)。(1)求椭圆的标准方程；(2)求的最小值。【解析】(1)椭圆短轴的端点、与椭圆的左、右焦点、构成边长为的菱形， 1分又椭圆的右焦点， 2分椭圆的标准方程为； 3分(2)当轴时，此时， 4分当不垂直于轴且斜率不为时，设直线的方程为()，联立并化简得，恒成立， 5分设、，则， 6分，直线的方程为，联立可解出， 7分，令，且， 9分当时，取最小值，且， 10分当的斜率为时，此时， 11分由可知，。 12分21（12分）已知函数，。(1)当时，证明：有且仅有两个零点、，且存在，使，；(2)若函数有唯一零点，求正数的值。【解析】(1)当时，
17、定义域为， 1分，易知在是增函数， 2分又，在上有且仅有一个解，设为，且， 3分极小值， 4分又， 5分有且只有两个零点、，且，； 6分(2)由已知得，其定义域为，则， 7分令，即，、，(舍去)、(取)， 8分当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，的最小值为，又函数有唯一零点， 9分由、得、，可得， 10分设函数，又当时该函数是增函数，至多有一解，当时， 11分方程的解为，即，解得。 12分请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在极坐标系中，曲线的极坐标方程为。(1)以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线的直角坐标方程；(2)设、为曲线上不同两点(均不与重合)，且满足，求面积的最大值。【解析】(1)曲线方程两边同乘得，由、得，化标准方程为； 4分(2)设、，、都在圆上，有、， 6分 ， 8分当时，面积取得最大值，最大值为。 10分23选修4-5：不等式选讲（10分）已知函数。(1)求的解集；(2)若恒成立，求实数的最大值。 【解析】(1)由得，解得， 3分的解集为； 4分(2)恒成立，即恒成立， 5分当时， 6分当时，原不等式可化为，设，即， 8分又(当且仅当即时等号成立)，即实数的最大值为。 10分