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2022届高三数学(新课标Ⅲ卷)理科黄金试卷(1)含答案解析

1、2022届高三数学(新课标卷)理科黄金试卷(1)本卷满分150分,考试时间120分钟。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知集合,则( )。A、B、C、D、2复数( )。A、B、C、D、3函数的大致图像是( )。A、B、C、D、4现有人参加抽奖活动,每人依次从装有张奖票(其中张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张,直到张中奖票都被抽出时活动结束,则活动恰好在第人抽完后结束的概率为( )。A、B、C、D、5若函数的定义域为,则的单调递增区间为( )。A、B、C、D、6某商业区要进行“”信号测试,该商业区的形状近似为正六边形,

2、某电讯公司在正六边形的对角顶点、处各安装一个基站,达到信号强度要求的区城刚好是分别以、为圆心,正六边形的边长为半径的两个扇形区域,未达到倍号强度要求的区域为“”信号盲区。若一游客在该商业区域内购物,则他刚好在“”信号盲区内的概率约为( )。A、B、C、D、7执行如图所示的程序框图,若输出的,则输入的( )。A、B、C、D、8在中,且点为的中点,则( )。A、B、C、D、9双曲线(,)的右焦点为,过作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于、两点,若四边形(为坐标原点)存在外接圆,则双曲线的离心率为( )。A、B、C、D、10如图,点和点分别是函数(,)图像上的最低点和最高点,若、两点间

3、的距离为,则关于函数的说法正确的是( )。A、在区间上单调递增B、在区间上单调递增C、在区间上单调递减D、在区间上单调递减11已知边长为的菱形中,现沿对角线折起,使得二面角为,此时点、在同一个球面上,则该球的表面积为( )。A、B、C、D、12已知函数在处取得极大值,在处取得极小值,满足,则的取值范围是( )。A、B、C、D、二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13二项式的展开式中第项的系数为 。14设向量,若,则 。15抛物线的焦点为,过的直线与抛物线交于、两点,且满足,点为原点,则的面积为 。16在中,点是的中点,且,则 , 。(本题第一空2分,第二空3分)三、解答题(本大题共

4、6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)已知数列的前项和为,且满足,。(1)求数列的通项公式;(2)令,记数列的前项和为,证明。18(12分)自中央陆续提出东部率先、西部大开发、中部崛起发展战略以来,取得了令世界瞩目的辉煌成绩,以下是五年东部、西部、中部地区的人均可支配收入情况。农村按照东、西、中部地区分组的人均可支配收入(万元)年份东部地区西部地区中部地区(1)比较分析东、西、中部地区近五年的人均可支配收入情况;(2)根据西部地区年至年的数据(时间变量的值依次为、)进行线性回归分析,并预测年的西部地区人均可支配收入(精确到);(3)若两地区人均可支配收入差异大

5、于万元,就认为两地有级差异,则根据东部和中部地区的近五年人均可支配收人的数据,求从到五年间任取两年都是级差异的概率。附:,。19(12分)如左图,在边长为的菱形中,且。将梯形沿直线折起,使平面,如右图,是上的点,。(1)求证:直线平面;(2)求平面与平面所成角的余弦值。20(12分)已知椭圆:(),椭圆短轴的端点、与椭圆的左、右焦点、构成边长为的菱形,是经过椭圆右焦点的椭圆的任意一条弦,点是椭圆上一点,且(为坐标原点)。(1)求椭圆的标准方程;(2)求的最小值。21(12分)已知函数,。(1)当时,证明:有且仅有两个零点、,且存在,使,;(2)若函数有唯一零点,求正数的值。请考生在第22、23

6、两题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做的第一个题目计分。22选修4-4:坐标系与参数方程(10分)在极坐标系中,曲线的极坐标方程为。(1)以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,求曲线的直角坐标方程;(2)设、为曲线上不同两点(均不与重合),且满足,求面积的最大值。23选修4-5:不等式选讲(10分)已知函数。(1)求的解集;(2)若恒成立,求实数的最大值。2022届高三数学(新课标卷)理科黄金试卷(1)本卷满分150分,考试时间120分钟。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知集合,则(

7、 )。A、B、C、D、【答案】A【解析】,故选A。2复数( )。A、B、C、D、【答案】A【解析】,故选A。3函数的大致图像是( )。A、B、C、D、【答案】B【解析】由题意可知的定义域为,为奇函数,其图像关于原点中心对称,C不对,A不对,又,故选B。4现有人参加抽奖活动,每人依次从装有张奖票(其中张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张,直到张中奖票都被抽出时活动结束,则活动恰好在第人抽完后结束的概率为( )。A、B、C、D、【答案】C【解析】将张奖票不放回地依取出共有种不同的取法,若恰好在第次抽奖结束,则前三次共抽到张中奖票,第次抽到最后张中奖票,共有种不同的取法,概率,故选C。5若函数的

8、定义域为,则的单调递增区间为( )。A、B、C、D、【答案】D【解析】由题意可知的解集为,即和是方程的两个根,利用韦达定理得:,解得,设,则在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减,则在上单调递增,故选D。6某商业区要进行“”信号测试,该商业区的形状近似为正六边形,某电讯公司在正六边形的对角顶点、处各安装一个基站,达到信号强度要求的区城刚好是分别以、为圆心,正六边形的边长为半径的两个扇形区域,未达到倍号强度要求的区域为“”信号盲区。若一游客在该商业区域内购物,则他刚好在“”信号盲区内的概率约为( )。A、B、C、D、【答案】D【解析】如图,阴影部分为达到信号强度要求的区域,设正六边形的边长为,

9、则,则该游客刚好在“” 信号盲区内的概率约为:,故选D。7执行如图所示的程序框图,若输出的,则输入的( )。A、B、C、D、【答案】B【解析】,否,否,否,是,退出循环,则,故选B。8在中,且点为的中点,则( )。A、B、C、D、【答案】A【解析】点为的中点,且,在中,在中,由余弦定理得:,故选A。9双曲线(,)的右焦点为,过作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于、两点,若四边形(为坐标原点)存在外接圆,则双曲线的离心率为( )。A、B、C、D、【答案】A【解析】由题意得,不妨设直线的方程为,直线的方程为,则过点平行于的直线的方程为,平行于的直线的方程为,由得,于是线段与互相垂直平

10、分,则四边形(为坐标原点)为菱形,其外接圆圆心在、的交点处,则,得,双曲线的离心率,则,故选A。10如图,点和点分别是函数(,)图像上的最低点和最高点,若、两点间的距离为,则关于函数的说法正确的是( )。A、在区间上单调递增B、在区间上单调递增C、在区间上单调递减D、在区间上单调递减【答案】D【解析】如图,过点作轴的垂线,过点作轴的垂线,设两垂线的交点为,连接,可知为直角三角形,则,易知,解得,得,故,由函数的图像经过点可得,则,又,则,的单调递增区间为,得(),的单调递减区间为,得(),当时在区间上单调递减,选D。11已知边长为的菱形中,现沿对角线折起,使得二面角为,此时点、在同一个球面上,

11、则该球的表面积为( )。A、B、C、D、【答案】B【解析】如图分别取,的中点、,连,则容易算得,由图形的对称性可知球心必在的延长线上,设球心为,半径为,则由题设可得,解之得,则,球的表面积,故选B。12已知函数在处取得极大值,在处取得极小值,满足,则的取值范围是( )。A、B、C、D、【答案】D【解析】,函数在区间内取得极大值,在区间内取得极小值,在和内各有一个根,即,在坐标系中画出其表示的区域,令,其几何意义为区域中任意一点与点连线的斜率,分析可得,则,的取值范围是,故选D。二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13二项式的展开式中第项的系数为 。【答案】【解析】,则第项时,系数为

12、。14设向量,若,则 。【答案】【解析】由已知得,解得,则,故。15抛物线的焦点为,过的直线与抛物线交于、两点,且满足,点为原点,则的面积为 。【答案】【解析】如图,由题意可知,由得,又根据可得,即,即,解得,点的坐标为或,。16在中,点是的中点,且,则 , 。(本题第一空2分,第二空3分)【答案】【解析】,在和中,分别由正弦定理得,又,两式相比得,即,即,即,则或,又,故。三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)已知数列的前项和为,且满足,。(1)求数列的通项公式;(2)令,记数列的前项和为,证明。【解析】(1)当时,有,解得, 1分当时,

13、有,则:, 3分整理得:,数列是首项为、公比为的等比数列,; 5分(2)由(1)有, 6分设, 8分则数列的前项和:, 10分又,则恒成立,故。 12分18(12分)自中央陆续提出东部率先、西部大开发、中部崛起发展战略以来,取得了令世界瞩目的辉煌成绩,以下是五年东部、西部、中部地区的人均可支配收入情况。农村按照东、西、中部地区分组的人均可支配收入(万元)年份东部地区西部地区中部地区(1)比较分析东、西、中部地区近五年的人均可支配收入情况;(2)根据西部地区年至年的数据(时间变量的值依次为、)进行线性回归分析,并预测年的西部地区人均可支配收入(精确到);(3)若两地区人均可支配收入差异大于万元,

14、就认为两地有级差异,则根据东部和中部地区的近五年人均可支配收人的数据,求从到五年间任取两年都是级差异的概率。附:,。【解析】(1)东、西、中部的人均可支配收入均为增长的趋势,从到的五年间,东部的人均可支配收入最高,西部的人均可支配收入最低,从到的五年,东部增长万元,中部增长万元,西部增长万元,可以看出东部增长最多,西部增长最少; 3分(2)设西部地区五年的数据分别为、,可得,由可得, 5分由过可得,线性回归方程为, 7分将代入可得; 8分(3)由题意可知,该五年中年和年东中部地区达到级差异,其余三年均未达到级差异,设事件为从到五年间任取两年都是级差异,而五年中任意取两年共有种情况,事件包含种情

15、况, 10分根据古典概型可得所求概率。 12分19(12分)如左图,在边长为的菱形中,且。将梯形沿直线折起,使平面,如右图,是上的点,。(1)求证:直线平面;(2)求平面与平面所成角的余弦值。【解析】(1)证明:如图,连接,交于点,连接, 1分、, 2分, 3分平面,平面,平面; 4分(2)解:以点为原点,以、所在直线为、轴建立空回直角坐标系,如图所示,且,则, 5分又、,则、, 6分设平面的法向量为,则, 8分令,则,则, 9分又平面的法向量为, 10分设平面与平面所成角的平面角为, 11分则。 12分20(12分)已知椭圆:(),椭圆短轴的端点、与椭圆的左、右焦点、构成边长为的菱形,是经过

16、椭圆右焦点的椭圆的任意一条弦,点是椭圆上一点,且(为坐标原点)。(1)求椭圆的标准方程;(2)求的最小值。【解析】(1)椭圆短轴的端点、与椭圆的左、右焦点、构成边长为的菱形, 1分又椭圆的右焦点, 2分椭圆的标准方程为; 3分(2)当轴时,此时, 4分当不垂直于轴且斜率不为时,设直线的方程为(),联立并化简得,恒成立, 5分设、,则, 6分,直线的方程为,联立可解出, 7分,令,且, 9分当时,取最小值,且, 10分当的斜率为时,此时, 11分由可知,。 12分21(12分)已知函数,。(1)当时,证明:有且仅有两个零点、,且存在,使,;(2)若函数有唯一零点,求正数的值。【解析】(1)当时,

17、定义域为, 1分,易知在是增函数, 2分又,在上有且仅有一个解,设为,且, 3分极小值, 4分又, 5分有且只有两个零点、,且,; 6分(2)由已知得,其定义域为,则, 7分令,即,、,(舍去)、(取), 8分当时,在上单调递减,当时,在上单调递增,的最小值为,又函数有唯一零点, 9分由、得、,可得, 10分设函数,又当时该函数是增函数,至多有一解,当时, 11分方程的解为,即,解得。 12分请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做的第一个题目计分。22选修4-4:坐标系与参数方程(10分)在极坐标系中,曲线的极坐标方程为。(1)以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,求曲线的直角坐标方程;(2)设、为曲线上不同两点(均不与重合),且满足,求面积的最大值。【解析】(1)曲线方程两边同乘得,由、得,化标准方程为; 4分(2)设、,、都在圆上,有、, 6分 , 8分当时,面积取得最大值,最大值为。 10分23选修4-5:不等式选讲(10分)已知函数。(1)求的解集;(2)若恒成立,求实数的最大值。 【解析】(1)由得,解得, 3分的解集为; 4分(2)恒成立,即恒成立, 5分当时, 6分当时,原不等式可化为,设,即, 8分又(当且仅当即时等号成立),即实数的最大值为。 10分