1、考点 34 平面向量的概念与线性运算 【命题解读】【命题解读】 平面向量是高考考查的重点、热点.往往以选择题或填空题的形式出现.常以平面图形为载体，考查线性运算、数量积、夹角、垂直的条件等问题 【基础知识回顾基础知识回顾】 1. 向量的有关概念 (1)零向量：长度为 0 的向量叫零向量，其方向是不确定的 (2)平行(共线)向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量我们规定零向量与任一向量平行 (3)单位向量：长度等于 1 个单位长度的向量 (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量 (5)相反向量：与向量 a 长度相等，方向相反的向量叫做 a 的相反向量 2. 向量的线性运算 (1)向量加法满足
2、交换律 abba，结合律(ab)ca(bc) 向量加法可以使用三角形法则，平行四边形法则 (2)向量的数乘：实数 与向量 a 的积是一个向量，记作 a，它的长度和方向规定如下： |a|a|； 当 0 时，a 与 a 方向相同； 当 0 时，a 与 a 方向相反； 当 a0 时，a0； 当 0 时，a0 (3)实数与向量的运算律：设 ，R，a，b 是向量，则有： (a)()a； ()aaa； (ab)ab 3. 向量共线定理： 如果有一个实数 ，使 ba(a0)，那么 b 与 a 是共线向量；反之，如果 b 与 a(a0)是共线向量，那么有且只有一个实数 ，使 ba 1、 已知下列各式： ABB
3、CCA； ABMBBOOM； OAOBBOCO； ABACBDCD，其中结果为零向量的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2、设 a，b 是非零向量，则 a2b 是a|a|b|b|成立的( ) A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分又不必要条件 3、已知MP4e12e2，PQ2e1te2，若 M、P、Q 三点共线，则 t( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 1 4、 （2019 秋如皋市期末） （多选题）在梯形ABCD中，/ /ABCD，2ABCD，E，F分别是AB，CD的中点，AC与BD交于M，设ABauuu rr，ADbuuu rr，则下列结论正确的是(
4、 ) A12ACabuuu rrr B12BCab uuu rrr C1233BMab uuuu rrr D14EFab uuu rrr 5、 （多选题）设点 M 是 ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是( ) A若AM12AB12AC，则点 M 是边 BC 的中点 B若AM2ABAC，则点 M 在边 BC 的延长线上 C若AMBMCM，则点 M 是 ABC 的重心 D若AMxAByAC，且 xy12，则 MBC 的面积是 ABC 面积的12 6、在ABC 中，| |AB| |AC|ABAC，则BAC_ 考向一 平面向量的有关概念 例 1、（2019 年徐州开学初考试）给出下列四个命题：
5、 若|a|b|，则 ab； 若 A，B，C，D 是不共线的四点，则“ABDC”是“四边形 ABCD 为平行四边形”的充要条件； 若 ab，bc，则 ac； ab 的充要条件是|a|b|且 ab. 其中正确命题的序号是( ) A. B. C. D. 变式 1、 (多选)给出下列命题，不正确的有( ) A若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 B若 A，B，C，D 是不共线的四点，且ABDC，则 ABCD 为平行四边形 Cab 的充要条件是|a|b|且 ab D已知 ， 为实数，若 ab，则 a 与 b 共线 变式 2、给出下列命题： 两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； baOFEDCB
6、Aa a0( 为实数)，则 必为零； ， 为实数，若 a ab b，则 a a 与 b b 共线 其中错误的命题的个数为( ) A0 B1 C2 D3 变式 3、（山东泰安一中 2019 届高三模拟）给出下列命题： 两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； a0( 为实数)，则 必为零； ， 为实数，若 ab，则 a 与 b 共线 其中错误的命题的个数为( ) A0 B.1 C2 D3 变式 4、如图所示，已知正六边形 ABCDEF，O 是它的中心 （1）与ABuuu r相等的向量有 ； （2）与CBuuu r相等的向量有 ； （3）与BCuuu r共线的向量有 答案： （1）EDuuu r，
7、FOuuu r，uuu rOC； （2）OA, EF, DOuuu r uuu r uuu r； （3）,CB OA AO OD DO AD DA EF FEuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 方法总结：向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度 (2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制 (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等 (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度 (5)零向量的关键是长度是 0，规定零向量与任意向量共线 考向二 向量的线性运算 例 2、(1)(2019 安徽合肥二模)在A
8、BC 中，BD 13BC ，若 AB a a， AC b b，则AD ( ) A.23a a13b b B13a a23b b C.13a a23b b D.23a a13b b (2)(一题多解)(2020 广东一模)已知 A， B， C 三点不共线， 且点 O 满足 16OA 12OB 3OC 0， 则( ) A.OA 12 AB 3 AC BOA 12 AB 3 AC C.OA 12 AB 3 AC D.OA 12 AB 3 AC 变式 1、（山西平遥中学 2019 届期末）在ABC 中， ABc， ACb，若点 D 满足 BD2 DC，则 AD等于( ) A.23b13c B.53c2
9、3b C.23b13c D13b23c 变式 2、 (2019 衡水中学五调)如图所示， 在正方形 ABCD 中， E 为 BC 的中点， F 为 AE 的中点， 则DF( ) A. 12AB34AD B .12AB23AD B. 13AB12AD D .12AB34AD 变式 3、1在 ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则EB等于( ) A.34AB14AC B.14AB34AC C.34AB14AC D.14AB34AC 2如图，在等腰梯形 ABCD 中，DC12AB，BCCDDA，DEAC 于点 E，则DE等于( ) A.12AB12AC B.12AB12AC
10、 C.12AB14AC D.12AB14AC 变式 4、 （2019 无锡区期末）如图，在平行四边形ABCD中，下列计算错误的是( ) AABADACuuu ruuu ruuu r BACCDDOOAuuu ruuu ruuuruuu r CABACCDADuuu ruuu ruuu ruuu r D0ACBADAuuu ruuu ruuu rr 变式 5、（2019 宿迁期末） 如图所示， 四边形ABCD为梯形， 其中/ /ABCD，2ABCD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是( ) A12ACADABuuu ruuu ruuu r B1122MCACBCuuu u ruuu
11、 ruuu r C14MNADABuuuu ruuu ruuu r D12BCADABuuu ruuu ruuu r 方法总结：向量的线性运算，即用几个已知向量表示某个向量，基本技巧为：一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则 考向三 共线定理的应用 例 3、如图，在ABO 中，OC14OA，OD12OB，AD 与 BC 相交于点 M，设OAa，OBb.试用 a 和 b表示OM. 变式 1、(2019 河南郑州第一次质量预测)已知 A，B，C 是直线 l 上不同的三个点，点 O 不在直线 l 上，则使等式 x2OAxOBBC0 成立的实数 x 的取
12、值集合为( ) A.0 B. C.1 D.0，1 变式 2、 （2019 秋清远期末）等边三角形ABC中，BDDCuuu ruuu r，2ECAEuuu ruuu r，AD与BE交于F，则下列结论正确的是( ) A1()2ADABACuuu ruuu ruuu r B2133BEBCBAuuu ruuu ruuu r C12AFADuuu ruuu r D1123BFBABCuuu ruuu ruuu r 变式 3、设两个非零向量 a a 与 b b 不共线 (1) AB a ab b， BC 2a a8b b，CD 3(a ab b)，求证：A，B，D 三点共线； (2)试确定实数 k，使
13、ka ab b 和 a akb b 共线 方法总结：利用共线向量定理解题的方法 (1)abab(b0)是判断两个向量共线的主要依据注意待定系数法和方程思想的运用 (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线即 A，B，C 三点共线 AB， AC共线 (3)若 a 与 b 不共线且 ab，则 0. (4) OA OB OC (， 为实数)，若 A，B，C 三点共线，则 1. 1、在 ABC 中，点 G 满足GAGBGC0.若存在点 O，使得OG16BC，且OAmOBnOC，则 mn等于( ) A2 B2 C1 D1
14、 2、A，B，C 是圆 O 上不同的三点，线段 CO 与线段 AB 交于点 D(点 O 与点 D 不重合)，若OCOAOB(，R)，则 的取值范围是( ) A(0,1) B(1，) C(1， 2 D(1,0) 3、 【2018 年高考全国 I 卷理数】 在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的 中点，则EB uuu r A3144ABACuuu ruuu r B1344ABACuuu ruuu r C3144ABACuuu ruuu r D1344ABACuuu ruuu r 4、.在 ABC 中，下列命题正确的是( ) A.ABACBC B.ABBCCA0 C.若(ABAC) (ABAC
15、)0，则 ABC 为等腰三角形 D.若AC AB0，则 ABC 为锐角三角形 5、 （2020 届山东省泰安市高三上期末）如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，ABAD，AB=2AD=2DC，E 为BC 边上一点，且3BCECuuu ruuu r，F 为 AE 的中点，则（ ） A12BCABAD uuu ruuu ruuu r B1133AFABADuuu ruuu ruuu r C2133BFABAD uuu ruuu ruuu r D1263CFABADuuu ruuu ruuu r 6、 【江苏卷】在ABC中，43=90ABACBAC，D在边 BC上，延长 AD到 P，使得 AP=9，若3()2PAmPBm PCuuu ruuu ruuu r（m 为常数） ，则 CD的长度是_ 7、 在四边形 ABCD 中， ABDC(1,1)，1|BA| BA1|BC| BC3|BD| BD， 则四边形 ABCD 的面积为_. 8、已知向量 a2e13e2，b2e13e2，其中 e1，e2不共线，向量 c2e19e2，问是否存在这样的实数 ，使向量 dab 与 c 共线？