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2022届高三数学一轮复习考点32:正弦定理余弦定理的应用(原卷版)

1、考点 32 正弦定理、余弦定理的应用 【命题解读】【命题解读】 高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活,题型多变,往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理,以解答题的形式综合考查定理的综合应用,多与三角形周长、面积有关;有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查,试题难度控制在中等或以下,主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等 【基础知识回顾基础知识回顾】 1仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图) 2方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位角为 (如图) 3方向角:相对于某

2、一正方向的水平角 (1)北偏东 ,即由指北方向顺时针旋转 到达目标方向(如图) (2)北偏西 ,即由指北方向逆时针旋转 到达目标方向 (3)南偏西等其他方向角类似 区分两种角 (1)方位角:从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角 (2)方向角:正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角 4坡角与坡度 (1)坡角:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图,角 为坡角) (2)坡度:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图,i 为坡度)坡度又称为坡比 1 为了在一条河上建一座桥,施工前在河两岸打上两个桥位桩 A,B(如图),要测量 A,B 两点的距离,测量人员在岸边定出基线 BC,测得 BC50 m,

3、ABC105 ,BCA45 就可以计算出 A,B 两点的距离为_ A20 2 m B30 2 m C40 2 m D50 2 m 2 如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为 120 的扇形 AOB,C 是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于 AO 的小路 CD已知某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2 min,从 D 沿着 DC 走到 C 用了 3 min若此人步行的速度为每分钟 50 m,则该扇形的半径为_m A50 3 B50 5 C50 7 D50 11 3 如图,一艘船上午 9:30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30 处,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午 10:00 到达

4、 B 处,此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75 处,且与它相距 8 2 n mile此船的航速是_n mile/h A16 B32 C64 D128 4 某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼叫信号,我海军舰艇在 A 处获悉后,立即测出该渔轮在方位角为 45距离为 10 海里的 C 处,并测得渔轮正沿方位角为 105 的方向,以 9 海里/小时的速度向小岛靠拢,我海军舰艇立即以 21 海里/小时的速度前去营救,则舰艇靠近渔轮所需的时间为_小时 A12 B23 C34 D1 考向一 利用正弦、余弦定理解决距离及角度问题 例 1、 某市电力部门需要在 A, B 两地之间架设高压电线, 因地理条件限制,

5、不能直接测量 A, B 两地距离 现测量人员在相距 3 km 的 C, D 两地(假设 A, B, C, D 在同一平面上), 测得ACB75, BCD45,ADC30,ADB45(如图),假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因,实际所须电线长度大约应该是 A,B 距离的43倍,问施工单位至少应该准备多长的电线? 变式 1、如图,有一段河流,河的一侧是以 O 为圆心,半径为 10 3 m 的扇形区域 OCD,河的另一侧是一段笔直的河岸 l,岸边有一烟囱 AB(不计 B 离河岸的距离),且 OB 的连线恰好与河岸 l 垂直,设 OB 与圆弧的交点为 E经测量,扇形区域和河岸处于同一水平面,在点

6、 C,点 O 和点 E 处测得烟囱 AB 的仰角分别为45,30和 60 (1) 求烟囱 AB 的高度; (2) 如果要在 CE 间修一条直路,求 CE 的长 变式 2、在海岸 A 处,发现北偏东 45方向,距离 A 为( 31) nmile 的 B 处有一艘走私船,在 A 处北偏西75的方向,距离 A 为 2 nmile 的 C 处的缉私船奉命以 10 3 nmile/h 的速度追截走私船此时,走私船正以 10 nmile/h 的速度从 B 处向北偏东 30方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船? 变式 3、如图,渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60方向的 B 处,且与岛屿 A 相距 1

7、2 海里,渔船乙以 10 海里/小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东 的方向追赶渔船乙,刚好用 2 h 追上,此时到达 C 处 (1) 求渔船甲的速度; (2) 求 sin 的值 方法总结:(1)选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接求解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解 (2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理 考向二 正余弦定理在三角形中的运用 例 2、(2015 南京、盐城、徐州二模)如图,在ABC 中,D 是 BC 上的一点已知B60 ,AD2,AC 10,DC 2,则

8、AB_. 变式 1、(2015 南通、扬州、淮安、连云港二调)如图,在ABC 中,AB3,AC2,BC4,点 D 在边BC 上,BAD45 ,则 tanCAD 的值为_ 变式 2、 (2017 徐州、 连云港、 宿迁三检) 如图, 在ABC中, 已知点D在边AB上,3ADDB,4cos5A,5cos13ACB,13BC (1)求cosB的值; (2)求CD的长 A B C D (第 15 题) 变式 3、(2016 徐州、连云港、宿迁三检)如图,在梯形 ABCD 中,已知 ADBC,AD1,BD2 10,CAD4,tanADC2. (1) 求 CD 的长; (2) 求BCD 的面积 变式 4、

9、 (2017 年苏北四市模拟)如图,在四边形 ABCD 中,已知 AB13,AC10,AD5,CD 65,AB AC50. (1) 求 cosBAC 的值; (2) 求 sinCAD 的值; (3) 求BAD 的面积 方法总结:正余弦定理主要就是研究三角形综合的边与角的问题,许多题目中往往给出多边形,因此,就要根据题目所给的条件,标出边和角,合理的选择三角形,尽量选择边和角都比较多的条件的三角形,然后运用正余弦定理解决。 1、 (2020 届山东师范大学附中高三月考)泉城广场上矗立着的“泉标”,成为泉城济南的标志和象征为了测量“泉标”高度, 某同学在“泉标”的正西方向的点 A 处测得“泉标”顶

10、端的仰角为45, 沿点 A 向北偏东30前进 100 m 到达点 B,在点 B 处测得“泉标”顶端的仰角为30,则“泉标”的高度为( ) A50 m B100 m C120 m D150 m 2、某小区有一个四边形草坪 ABCD,BC120 ,AB40 m,BCCD20 m,则该四边形 ABCD 的面积等于_m2 3、 某同学骑电动车以 24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶,在点 A 处测得电视塔 S 在电动车的北偏东30 方向上,15 min 后到点 B 处,测得电视塔 S 在电动车的北偏东 75 方向上,则点 B 与电视塔的距离是_km 4、 如图,一栋建筑物的高为(3010 3)m

11、,在该建筑物的正东方向有一个通信塔 CD在它们之间的地面点 M(B,M,D 三点共线)处测得楼顶 A,塔顶 C 的仰角分别为 15 和 60 ,在楼顶 A 处测得塔顶 C 的仰角为 30 ,则通信塔 CD 的高为_ m 5、如图,航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的飞行高度为 10 000 m,速度为 50 m/s某一时刻飞机看山顶的俯角为 15 ,经过 420 s 后看山顶的俯角为 45 ,则山顶的海拔高度为_m(取 21.4, 31.7) 6、如图,甲船从 A 处以每小时 30 海里的速度沿正北方向航行,乙船在 B 处沿固定方向匀速航行,B 在 A北偏西 105 方向且与

12、 A 相距 10 2海里处当甲船航行 20 分钟到达 C 处时,乙船航行到甲船的北偏西120 方向的 D 处,此时两船相距 10 海里 (1) 求乙船每小时航行多少海里? (2) 在 C 处北偏西 30 方向且与 C 相距8 33海里处有一个暗礁 E,暗礁 E 周围 2海里范围内为航行危险区域问:甲、乙两船按原航向和速度航行有无危险?如有危险,从有危险开始多少小时后能脱离危险;如无危险,请说明理由 7、 【2020 年江苏卷】在ABC中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知3,2,45acB (1)求sinC的值; (2)在边 BC 上取一点 D,使得4cos5ADC ,求tanDAC的值