1、考点31 正弦定理、余弦定理【命题解读】高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等【基础知识回顾】 1正弦定理2R(R为ABC外接圆的半径)正弦定理的常见变形(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)sin A，sin B，sin C；(3)abcsin Asin Bsin C；(4). 2余弦定理a2b2c22
2、bccos A；b2c2a22cacos B；c2a2b22abcos C.余弦定理的常见变形(1)cos A；(2)cos B；(3)cos C.3三角形的面积公式 (1)SABCaha(ha为边a上的高)；(2)SABCabsin Cbcsin Aacsin B；(3)Sr(abc)(r为三角形的内切圆半径)1、 在ABC中，若AB，BC3，C120°，则AC等于()A1 B2 C3 D4【答案】：A【解析】：设在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a3，c，C120°，由余弦定理得139b23b，解得b1或b4(舍去)，即AC1.2、 已知ABC，a，b，
3、A30°，则c等于()A2 B.C2或 D均不正确【答案】：C【解析】：，sin B·sin 30°.b>a，B60°或120°.若B60°，则C90°，c2.若B120°，则C30°，ac.3、 在ABC中，A60°，AB2，且ABC的面积为，则BC的长为()A. B.C2 D2【答案】：B【解析】：因为SAB·ACsin A×2×AC，所以AC1，所以BC2AB2AC22AB·ACcos A3.所以BC.4、 在ABC中，cos ，BC1，AC5
4、，则AB等于()A4 B. C. D2【答案】：A【解析】：cos ，cos C2cos212×21.在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22AC·BC·cos C52122×5×1×32，AB4.故选A.5、 设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定【答案】：B【解析】：由正弦定理得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，sin(BC)sin2A，即sin(A)sin2A，sin Asin2A.A(
5、0，)，sin A>0，sin A1，即A，ABC为直角三角形6、在ABC中，cos2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为()A等边三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形【答案】：B【解析】：cos2，cos2，(1cos B)·cac，acos B·c，2a2a2c2b2，a2b2c2，ABC为直角三角形7、 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin Ccsin B4asin Bsin C，b2c2a28，则ABC的面积为 【答案】：【解析】：由bsin Ccsin B4asin Bsin C，得sin Bs
6、in Csin Csin B4sin Asin Bsin C，因为sin Bsin C0，所以sin A.因为b2c2a28，所以cos A>0，所以bc，所以SABC××.8、 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的值为_【答案】：3【解析】：由正弦定理，得，即(cosA3cosC)sinB(3sinCsinA)·cosB，化简可得sin(AB)3sin(BC)，又知ABC，所以sinC3sinA，因此3考向一运用正余弦定理解三角形例1、（2020届山东实验中学高三上期中）在中，若 ，则=（ ）A1B2 C3D4【答案】A【解析】余弦
7、定理将各值代入得解得或(舍去)选A.变式1、（2021·山东泰安市·高三三模）在中，则（ ）ABCD【答案】D【解析】由余弦定理可以求出，有可判断，进而可以求出.【解析】由余弦定理得：，所以，因为，所以，所以，故选：D变式2、【2020江苏淮阴中学期中考试】在中，如果，那么_【答案】【解析】sinA：sinB：sinC2：3：4，由正弦定理可得：a：b：c2：3：4，不妨设a2t，b3t，c4t，则cosC，C(0，)，tanC故答案为变式3、（2020届山东省泰安市高三上期末）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为，若，则_【答案】4【解析】，由正弦定理得，又，由余弦定理
8、得，为的内角，故答案为：4变式4、（2020届山东省潍坊市高三上期中）在中，内角，所对的边分别为，已知，（1）求，的值：（2）求的值【答案】（1），；（2）.【解析】（1）由，得，因为在中，得，由余弦定理，得，因为，所以，解得，所以.（2）由，得由正弦定理得.方法总结：本题考查正弦定理、余弦定理的公式在解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到考查基本运算能力和转化与化归思想考向二 利用正、余弦定理判定三角形形状 例2、已知a，b，c分别是ABC三个内角A，B，C的对
9、边，下列四个命题中正确的是()A若tan Atan Btan C>0，则ABC是锐角三角形B若acos Abcos B，则ABC是等腰三角形C若bcos Cccos Bb，则ABC是等腰三角形D若，则ABC是等边三角形【答案】：ACD【解析】：tan Atan Btan Ctan Atan Btan C>0，A，B，C均为锐角，选项A正确；由acos Abcos B及正弦定理，可得sin 2Asin 2B，AB或AB，ABC是等腰三角形或直角三角形，选项B错；由bcos Cccos Bb及正弦定理，可知sin Bcos Csin Ccos Bsin B，sin Asin B，AB，
10、选项C正确；由已知和正弦定理，易知tan Atan Btan C，选项D正确变式1、ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC. (1)求A的大小；(2)若sinBsinC1，试判断ABC的形状【解析】(1)由已知，根据正弦定理得：2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc，由余弦定理得：a2b2c22bccosA，故cosA，A120°.(2)由(1)得：sin2Asin2Bsin2CsinBsinC，A120°，sin2Bsin2CsinBsinC，与sinBsinC1联立方程组解得：sinBsinC，0
11、°B60°，0°C60°，故BC30°，ABC是等腰钝角三角形变式2、(1)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形 D不确定(2)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，(bca)(bca)3bc，则ABC的形状为()A直角三角形 B等腰非等边三角形C等边三角形 D钝角三角形【答案】(1)B(2)C【解析】(1)法一：因为bcos Cccos Basin A，由正弦定理知sin Bcos Csin Ccos Bsin Asin
12、 A，得sin(BC)sin Asin A.又sin(BC)sin A，得sin A1，即A，因此ABC是直角三角形法二：因为bcos Cccos Bb·c·a，所以asin Aa，即sin A1，故A，因此ABC是直角三角形(2)因为，所以，所以bc.又(bca)(bca)3bc，所以b2c2a2bc，所以cos A.因为A(0，)，所以A，所以ABC是等边三角形方法总结：判定三角形形状的途径：化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；化角为边，通过代数变形找出边之间的关系正(余)弦定理是转化的桥梁考查转化与化归思想考点三 运用正余弦定理研究三角形的面积考向三 运用正余弦定
13、理解决三角形的面积例3、在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知bcosCccosB2acosA(1) 求角A的大小；(2) 若·，求ABC的面积【解析】：(1) (解法1)在ABC中，由正弦定理，及bcosCccosB2acosA，得sinBcosCsinCcosB2sinAcosA，即sinA2sinAcosA因为A(0，)，所以sinA0，所以cosA，所以A(解法2)在ABC中，由余弦定理，及bcosCccosB2acosA，得bc2a，所以a2b2c2bc，所以cosA因为A(0，)，所以A(2) 由·cbcosA，得bc2，所以ABC的面积为Sbcsi
14、nA×2×sin60° 变式1、在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知ab，c，cos2Acos2Bsin Acos Asin Bcos B(1) 求角C的大小；(2) 若sin A，求ABC的面积【解析】：(1) 由题意得 sin 2Asin 2B，即sin 2Acos 2Asin 2Bcos 2B，sinsin由ab，得AB又AB(0，)，得2A2B，即AB，所以C(2) 由c，sin A，得a由a<c，得A<C，从而cos A，故sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，所以，ABC的面积为Sacsin B
15、变式2、（2020届山东实验中学高三上期中）在中，分别为内角的对边，若，且，则_【答案】4【解析】已知等式，利用正弦定理化简得：，可得，可解得，余弦定理可得，可解得，故答案为.变式3、【2020江苏溧阳上学期期中考试】在中，角，所对的边分别为，若，则的面积是_【答案】【解析】，由正弦定理可得，又，由余弦定理可得，解得，又，故答案为方法总结：1求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键2已
16、知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解考向三 结构不良题型例4、（2020届山东省烟台市高三上期末）在条件，中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.在中，角的对边分别为， .求的面积.【解析】若选：由正弦定理得， 即， 所以， 因为，所以. 又， ，所以， 所以. 若选：由正弦定理得. 因为，所以，化简得， 即，因为，所以. 又因为，所以，即， 所以. 若选：由正弦定理得， 因为，所以，所以，又因为，所以， 因为，所以，所以. 又， ，所以， 所以.变式1、（2020
17、届山东省德州市高三上期末）已知，分别为内角，的对边，若同时满足下列四个条件中的三个：；.（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应的面积.（若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）【解析】（1）由得，所以，由得，解得或（舍），所以，因为，且，所以，所以，矛盾.所以不能同时满足，.故满足，或，；（2）若满足，因为，所以，即.解得.所以的面积.若满足，由正弦定理，即，解得，所以，所以的面积.变式2、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在； 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，
18、c，且满足_，求的面积.【答案】横线处任填一个都可以，面积为【解析】由正弦定理，得.由，得.由，得.所以.又（若，则这与矛盾），所以.又，得.由余弦定理及，得，即.将代入，解得.所以.在横线上填写“”.解：由及正弦定理，得.又，所以有.因为，所以.从而有.又，所以由余弦定理及，得即.将代入，解得.所以.在横线上填写“”解：由正弦定理，得.由，得，所以由二倍角公式，得.由，得，所以.所以，即.由余弦定理及，得.即.将代入，解得.所以.1、【2020年高考全国III卷理数】在ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=ABCD【答案】A【解析】在中，根据余弦定理：，可得 ，即，由，故.故
19、选：A2、【2018年高考全国理数】在中，则ABC D【答案】A【解析】因为所以，故选A.3、【2018年高考全国理数】的内角的对边分别为，若的面积为，则ABCD【答案】C【解析】由题可知，所以，由余弦定理，得，因为，所以，故选C.4、【2019年高考全国卷理数】的内角的对边分别为.若，则的面积为_【答案】【解析】由余弦定理得，所以，即，解得（舍去），所以，5、【2019年高考浙江卷】在中，点在线段上，若，则_，_【答案】，【解析】如图，在中，由正弦定理有：，而，所以.6、【2018年高考浙江卷】在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若，b=2，A=60°，则sin B=_
20、，c=_【答案】，3【解析】由正弦定理得，所以由余弦定理得（负值舍去）.7、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）的内角A，B，C的对边分别为，已知.（I）求B；（II）若的周长为的面积.【解析】（）,，,，.,.()由余弦定理得，.8、（2020届山东省潍坊市高三上期中）在中，内角，所对的边分别为，已知，（1）求，的值：（2）求的值【解析】（1）由，得，因为在中，得，由余弦定理，得，因为，所以，解得，所以.（2）由，得由正弦定理得.9、【2020年新高考全国卷】在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，_?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【解析】方案一：选条件由和余弦定理得由及正弦定理得于是，由此可得由，解得因此，选条件时问题中的三角形存在，此时方案二：选条件由和余弦定理得由及正弦定理得于是，由此可得，由，所以因此，选条件时问题中的三角形存在，此时方案三：选条件由和余弦定理得由及正弦定理得于是，由此可得由，与矛盾因此，选条件时问题中的三角形不存在