1、考点 31 正弦定理、余弦定理 【命题解读】【命题解读】 高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等 【基础知识回顾基础知识回顾】 1正弦定理 asin Absin Bcsin C2R(R 为ABC 外接圆的半径) 正弦定 理的常 见变形 (1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C； (2)sin Aa2R，sin Bb
2、2R，sin Cc2R； (3)abcsin Asin Bsin C； (4)abcsin Asin Bsin Casin A. 2余弦定理 a2b2c22bccos A； b2c2a22cacos B； c2a2b22abcos C. 余弦定理的常见变形 (1)cos Ab2c2a22bc； (2)cos Bc2a2b22ca； (3)cos Ca2b2c22ab. 3三角形的面积公式 (1)SABC12aha(ha为边 a 上的高)； (2)SABC12absin C12bcsin A12acsin B； (3)S12r(abc)(r 为三角形的内切圆半径) 1、 在ABC 中，若 AB
3、13，BC3，C120 ，则 AC 等于( ) A1 B2 C3 D4 2、 已知ABC，a 5，b 15，A30 ，则 c 等于( ) A2 5 B. 5 C2 5或 5 D均不正确 3、 在ABC 中，A60 ，AB2，且ABC 的面积为32，则 BC 的长为( ) A.32 B. 3 C2 3 D2 4、 在ABC 中，cos C255，BC1，AC5，则 AB 等于( ) A4 2 B. 30 C. 29 D2 5 5、 设ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 若 bcos Cccos Basin A， 则ABC 的形状为( ) A锐角三角形 B直角三角形
4、C钝角三角形 D不确定 6、在ABC 中，cos2B2ac2c(a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边)，则ABC 的形状为( ) A等边三角形 B直角三角形 C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形 7、 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.已知 bsin Ccsin B4asin Bsin C， b2c2a28， 则ABC的面积为 8、 在ABC 中， 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 已知cosA3cosCcosB3cab， 则sinCsinA的值为_ 考向一 运用正余弦定理解三角形 例 1、 （2020 届山东实验中学高三上期中）在AB
5、C中，若 13,3,120ABBCCo，则AC=（ ） A1 B2 C3 D4 变式 1、 （2021 山东泰安市 高三三模）在中，则（ ） A B C D 变式 2、 【2020 江苏淮阴中学期中考试】在ABCV中，如果sin:sin:sin2:3:4ABC ，那么tanC _ 变式 3、 （2020 届山东省泰安市高三上期末）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为, ,a b c，若coscossinABCabc，22265bcabc，则tanB _ 变式 4、 （2020 届山东省潍坊市高三上期中）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知10ab，5c ，sin2si
6、n0BB （1）求a，b的值： （2）求sinC的值 方法总结：本题考查正弦定理、余弦定理的公式在解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到考查基本运算能力和转化与化归思想 考向二 利用正、余弦定理判定三角形形状 例 2、 （多选题）已知 a，b，c 分别是ABC 三个内角 A，B，C 的对边，下列四个命题中正确的是( ) ABCV3AC 2BC 3cos4C tan A56765373A若 tan Atan Btan C0，则ABC 是锐角三角形 B若 acos A
7、bcos B，则ABC 是等腰三角形 C若 bcos Cccos Bb，则ABC 是等腰三角形 D若acos Abcos Bccos C，则ABC 是等边三角形 变式 1、ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC. (1)求 A 的大小； (2)若 sinBsinC1，试判断ABC 的形状 变式 2、(1)设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 bcos Cccos Basin A，则ABC 的形状为( ) A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不确定 (2)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分
8、别为 a，b，c，若sin Asin Bac，(bca)(bca)3bc，则ABC的形状为( ) A直角三角形 B等腰非等边三角形 C等边三角形 D钝角三角形 方法总结： 判定三角形形状的途径：化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；化角为边，通过代数变形找出边之间的关系正(余)弦定理是转化的桥梁考查转化与化归思想 考点三 运用正余弦定理研究三角形的面积 考向三 运用正余弦定理解决三角形的面积 例 3、在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 bcosCccosB2acosA (1) 求角 A 的大小； (2) 若AB AC 3，求ABC 的面积 变式 1、在ABC 中，内角
9、 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知 ab，c 3，cos2Acos2B 3sin Acos A 3sin Bcos B (1) 求角 C 的大小； (2) 若 sin A45，求ABC 的面积 变式 2、 （2020 届山东实验中学高三上期中）在ABC中，, ,a b c分别为内角, ,A B C的对边，若32sinsinsin,cos5BACB，且6ABCS，则b_ 变式 3、 【2020 江苏溧阳上学期期中考试】 在ABC中， 角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 若3b，222sinsin3sinABC，1cos3A ，则ABC的面积是_ 方法总结：1求三角形面积的方法 (1
10、)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、 余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积 (2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键 2已知三角形面积求边、角的方法 (1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解 (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解 考向三 结构不良题型 例 4、 （2020 届山东省烟台市高三上期末）在条件()(sinsin)()sinabABcbC，sincos()6aBbA，sinsin2BCbaB中任选一个，补充到下
11、面问题中，并给出问题解答. 在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，6b c ，2 6a ， . 求ABC的面积. 变式 1、 （2020 届山东省德州市高三上期末） 已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边， 若ABC同时满足下列四个条件中的三个： 2 633()baaccab； 2cos22cos12AA； 6a ； 2 2b. （1）满足有解三角形的序号组合有哪些？ （2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应ABC的面积. （若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分） 变式 2、 （2020 届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在3( cos)sinbCac
12、B；22 cosacbC ；sin3 sin2ACbAa 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题. 在ABC中， 内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足_，2 3,b 4ac ， 求ABC的面积. 1、 【2020 年高考全国 III 卷理数】在ABC 中，cosC=23，AC=4，BC=3，则 cosB= A19 B13 C12 D23 2、【2018 年高考全国理数】在ABC中，5cos25C，1BC ，5AC ，则AB A4 2 B30 C29 D2 5 3、 【2018 年高考全国理数】ABC的内角ABC， ，的对边分别为a，b，c，若ABC的面积
13、为2224abc，则C A2 B3 C4 D6 4、 【2019 年高考全国卷理数】ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c.若6,2 ,3bac B，则ABC的面积为_ 5、 【2019 年高考浙江卷】在ABC中，90ABC，4AB ，3BC ，点D在线段AC上，若45BDC，则BD _，cosABD_ 6、 【2018 年高考浙江卷】在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c若7a ，b=2，A=60，则sin B=_，c=_ 7、 （2020 届山东省枣庄市高三上学期统考）ABC的内角 A，B，C 的对边分别为, ,a b c，已知2coscos0acBbA. （I）求 B； （II）若3,bABC的周长为32 3ABC，求的面积. 8、（2020 届山东省潍坊市高三上期中） 在ABC中， 内角A，B，C所对的边分别为a，b，c 已知10ab，5c ，sin2sin0BB （1）求a，b的值： （2）求sinC的值 9、 【2020 年新高考全国卷】在3ac ，sin3cA，3cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由 问题：是否存在ABC，它的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，且sin3sinAB，6C，_? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分