1、考点 27 三角恒等变换（1） 【命题解读】【命题解读】 能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系 .能运用上述公式进行简单的恒等变换 【基础知识回顾基础知识回顾】 知识梳理 1. 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 sin()sincoscossin，简记作 S()； cos()coscossinsin，简记作 C()； tan()tantan1tantan，简记作 T() 2. 二倍角公式 sin22sincos； tan22tan1tan2； cos2cos2sin22cos2112sin2 3. 辅助角公式 yasinxb
2、cosx a2b2sin(x)，其中 为辅助角，且其中 cosaa2b2，sinba2b2，tanba. 4. 公式的逆用及有关变形 tantantan()(1tantan)； sincos 2sin(4)； sincos12sin2； 1sin2(sincos)2； 1sin2(sincos)2； sin21cos22； cos21cos22； tan21cos21cos2(降幂公式)； 1cos22sin2；1cos22cos2(升幂公式) 1、知 cos 45，32，则 sin4等于( ) A.210 B.210 C.7 210 D.7 210 【答案】 C 【解析】 ，32，且 cos
3、 45，sin 35， sin4352245227 210. 2、已知 tan42，则 tan ( ) A.13 B.13 C.43 D.43 【答案】 A 【解析】 tan41tan 1tan 2，解得 tan 13. 3、(多选)已知 f(x)12(1cos 2x)sin2x(xR)，则下面结论正确的是( ) Af(x)的最小正周期 T2 Bf(x)是偶函数 Cf(x)的最大值为14 Df(x)的最小正周期 T 【答案】ABC 【解析】因为 f(x)14(1cos 2x)(1cos 2x)14(1cos22x)14sin22x18(1cos 4x)，f(x)f(x)，T242，f(x)的最
4、大值为18214.故 D 错 4、 (多选)下列式子的运算结果为 3的是( ) Atan 25 tan 35 3tan 25 tan 35 B2(sin 35 cos 25 cos 35 cos 65 ) C.1tan 151tan 15 D.tan61tan26 【答案】ABC 【解析】 对于 A， tan 25 tan 35 3tan 25 tan 35 tan(25 35 )(1tan 25 tan 35 ) 3tan 25 tan 35 3 3tan 25 tan 35 3tan 25 tan 35 3； 对于 B， 2(sin 35 cos 25 cos 35 cos 65 )2(s
5、in 35 cos 25 cos 35 sin 25 )2sin 60 3；对于 C，1tan 151tan 15tan 45 tan 151tan 45 tan 15tan 60 3； 对于 D，tan61tan26122tan61tan2612tan332. 综上，式子的运算结果为 3的是 A、B、C. 5、 【2020 江苏南京三校联考】已知sin( +4) =35，则sin2_ 【答案】725 【解析】sin( +4) =35，sin2x=cos(2x+2)=2sin2(x+4) 1=18251=725，故答案为：725 6、(一题两空)已知 02，且 sin 35，则 tan54_，
6、sin2sin 2cos2cos 2_. 【答案】 ：7 3323 【解析】因为 02，且 sin 35，所以 cos 1sin245，所以 tan sin cos 34， 则 tan54tan4tan 11tan 7. sin2sin 2cos2cos 2sin22sin cos 2cos2sin2tan22tan 2tan29166429163323. 考向一 利用两角和(差)公式运用 例 1、已知 02，且 cos219， sin2 23，求 cos() 【解析】 02，422，42， cos2 1sin22 53， sin21cos224 59， cos2cos22 cos2cos2
7、sin2sin2 19534 59237 527，cos() 2cos22124957291239729. 变式 1、 （2020 江苏溧阳上学期期中考试）如图，在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边做两个锐角， 它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点， 已知A，B的横坐标分别为1010，55， 则sin()_ 【答案】22 【解析】由三角函数的定义得：510cos,cos105，所以53 10sin,sin102 5， 所以3 1010sin()sincoscossi52 5255n10102故答案为22 变式2、【2020届江苏省启东市高三下学期期初考】 已知是第二象限角， 且5sin5
8、，tan2，则tan_. 【答案】34 【解析】由是第二象限角，且5sin5，可得2 5cos5 ，1tan2 ， 由tan2，可得tantan21 tantan ，代入1tan2 ， 可得3tan4 ， 故答案为：34. 变式 3、在ABC 中，若 tan Atan Btan Atan B1，则 cos C_. 【答案】22 【解析】 (1)由 tan Atan Btan Atan B1， 可得tan Atan B1tan Atan B1， 即 tan(AB)1，又因为 AB(0，)， 所以 AB34，则 C4，cos C22. 方法总结：考查两角和差的三角函数公式的结构特征要记牢，在求值、
9、化简时，注意观察角度、函数名、所求角与已知角之间的差异， 再选择适当的三角公式恒等变形 求角问题的关键在于选择恰当的三角函数，选择的标准是，在角的范围内根据函数值，角有唯一解本题考查逻辑思维能力，考查转化与化归思想 考向二 二倍角公式的运用 例 2、(1) 已知cos()4x35，则 sin2x_ (2) 已知31sin()cos()444xx，则 cos4x 的值为_ 【答案】 ：(1) 725 (2) 1732 【解析】 ：(1) 因为 sin2xcos22x cos24x 2cos24x 1， 所以 sin2x2352118251725 (2) 由已知得 sin24xcosx414， c
10、os2x414 sin2xcos22x 2cos24x 112 cos4x12sin22x11212 变式 1、(1)sin 101 3tan 10_. (2)化简sin235 12cos 10 cos 80_. 【答案】(1)14 (2)1 【解析】(1)sin 101 3tan 10sin 10 cos 10cos 10 3sin 10 2sin 10 cos 10412cos 10 32sin 10sin 204sin30 10 14. (2)sin235 12cos 10 cos 801cos 70212cos 10 sin 1012cos 7012sin 201. 变式 2、已知 c
11、os6 cos3 14，3，2. (1)求 sin 2 的值； (2)求 tan 1tan 的值 【解析】(1)cos6 cos3 cos6 sin6 12sin2314， 即 sin2312. 3，2，23，43， cos2332， sin 2sin233 sin23cos3cos23sin3 1212323212. (2)3，2，223， ， 又由(1)知 sin 212，cos 232. tan 1tan sin cos cos sin sin2cos2sin cos 2cos 2sin 2232122 3. 方法总结：本题考查二倍角公式的简单应用三角函数式的化简要注意以下 3 点：看角
12、之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等本题考查运算求解能力，逻辑思维能力，考查转化与化归思想 考向三 公式的综合运用 例 3、化简：（1sincos）sin2cos222cos(0) 【解析】 ： 由 (0，)，得 020 因此 22cos4cos222cos2 又(1sincos)sin2cos22sin2cos22cos22sin2cos2 2cos2sin22cos222cos2cos 故原式2cos2cos2cos2cos 变式 1、 设
13、 是锐角，且 cos(6)45，则 sin(212)的值为_ 【答案】17 250 【解析】 是锐角，6623，cos(6)45，sin(6)35.sin2(6) 2sin(6)cos(6)2425，cos2(6)12sin2(6)725，sin(212) sin2（6）4sin2(6)cos4 cos2(6)sin42425227252217 250. 变式 2、计算2cos 10 2 3cos100 1sin 10_. 【答案】2 2 【解析】 2cos 10 2 3cos100 1sin 102cos 10 2 3sin 101sin 10 412cos 10 32sin 1012sin
14、 5 cos 54cos 50cos 5 sin 5 4cos 50222cos 5 22sin 5 4cos 502cos 502 2. 变式 3、已知 sin4210，2， . 求：(1)cos 的值； (2)sin24的值 【解析】(1)由 sin4210， 得 sin cos4cos sin4210， 化简得 sin cos 15， 又 sin2cos21，且 2， 由解得 cos 35. (2)2， ，cos 35，sin 45， cos 212sin2725，sin 22sin cos 245352425， sin24sin 2cos4cos 2sin422242572517 25
15、0. 方法总结：(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则： 一看角，二看名，三看式子结构与特征. (2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点. 1、（2020 全国理 9）已知 0, ，且3cos28cos5，则sin （ ） A53 B23 C13 D59 【答案】A 【解析】3cos28cos5，得26cos8cos80，即23cos4cos40，解得2cos3 或cos2（舍去） ，又250,sin1 cos3Q，故选 A 2、（2020 全国理 2）若为第四象限角，则 （ ） A02cos B02cos C02si
16、n D02sin 【答案】D 【解析】 当6 时，cos2cos03， 选项 B 错误； 当3 时，2cos2cos03，选项 A 错误；由在第四象限可得：sin0,cos0，则sin22sincos0，选项 C 错误，选项 D 正确，故选 D 3、（2020 全国文 5）已知sinsin13，则sin6 （ ） A12 B33 C23 D22 【答案】B 【解析】 由题意可得：13sinsincos122， 则：33sincos122，313sincos223，从而有：3sincoscos sin663，即3sin63故选 B 4、（2020 全国理 9）已知2tantan74，则tan （
17、 ） A2 B1 C1 D2 【答案】D 【解析】2tantan74Q，tan12tan71tan，令tan ,1tt，则1271ttt，整理得2440tt，解得2t ，即tan2故选 D 5、 （2019新课标，理 10）已知(0,)2，2sin2cos21，则sin( ) A15 B55 C33 D2 55 【答案】B 【解析】2sin2cos21Q，24sincos2cos，(0,)2Q，sin0，cos0，cos2sin，22222sincossin(2sin )5sin1Q，5sin5，故选B 6、 【2020 届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟】已知02，2，1cos3 ，7
18、sin9. （1）求sin的值； （2）求tan+2的值. 【答案】 （1）13（2）5 22 【解析】 （1）因为1,cos23 , 所以222 21sin1cos133 又0,2,故3,22, 所以2274 2cos()1 sin ()199 , 所以sinsin()sin()coscos()sin 714 22 2193933 （2）由（1）得,1sin3,0,2, 所以2212 2cos1 sin133, 所以sin2tancos4, 因为22222222cossin1tan222coscossin22cossin1tan222且1cos3 , 即221tan1231tan2 ,解得2
19、tan22, 因为,2,所以,24 2 ,所以tan02, 所以tan22, 所以2tantan25 224tan1221 tantan122 7、 【2020 届江苏省南通市如皋中学高三下学期 3 月线上模拟】已知, 为锐角，4sin5=，5cos()5 . （1）求cos的值； （2）求tan2的值. 【答案】 （1）55； （2）247 【解析】 （1）因为为锐角，4sin5=，所以22493cos1sin15255. 因为, 为锐角，所以0,，同理可得，2 5sin()5. 所以532 545coscoscoscossinsin55555 . 所以cos的值为5.5 （2）由4sin5
20、=，3cos5，得4sin45tan3cos35. 因为5cos5，为锐角，所以 2222sin1 cos11tan112coscoscos55 所以222tan224tan21tan123 . 所以44tantan22433tan2441tantan27133 . 所以tan2的值为24.7 8、 （2018 年高考江苏卷）已知, 为锐角，4tan3，5cos()5 （1）求cos2的值； （2）求tan()的值 【解析】 （1）因为4tan3，sintancos， 所以4sincos3 因为22sincos1， 所以29cos25， 因此，27cos22cos125 （2）因为, 为锐角，所以(0, ) 又因为5cos()5 ， 所以22 5sin()1 cos ()5， 因此tan()2 因为4tan3，所以22tan24tan21tan7 ， 因此，tan2tan()2tan()tan2()1tan2tan()11