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2022届高三数学一轮复习考点26:同角三角函数的基本关系及诱导公式(解析版)

1、考点 26 同角三角函数的基本关系及诱导公式 【命题解读】【命题解读】 理解正弦、余弦、正切的诱导公式2k(kZ),2能运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数,会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明 【基础知识回顾基础知识回顾】 1同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2cos21; (2)商数关系:tan sin cos . 平方关系对任意角都成立,而商数关系中 k2(kZ Z) 2诱导公式 一 二 三 四 五 六 2k (kZ Z) 2 2 sin sin sin sin_ cos_ cos_ cos cos cos cos_ sin_ sin_ tan

2、tan tan tan_ 3. 诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,转化的一般步骤如下: 即:去负脱周化锐的过程上述过程体现了转化与化归的思想方法 4、三角形中的三角函数关系式 sin(AB)sin(C)sinC; cos(AB)cos(C)cosC; tan(AB)tan(C)tanC; sinA2B2 sin2C2 cosC2; cosA2B2cos2C2sinC2. 1、是第三象限角,且3sin-2,则tan( ) A- 3 B3 C3-3 D33 【答案】B 【解析】因为是第三象限角,且3sin-2, 所以1cos2 ,所以sintan3cos,故选 B。 2、已知s

3、in22sin3cos5,则tan( ) A6 B6 C23 D23 【答案】B 【解析】化简sinsin22sin3cos2sin3cos235tantan 所以t6an,故选 B。 3、sin 600 tan 240 的值为( ) A.3 32 B. 32 C. 32 D. 3 32 【答案】 :C 【解析】 :sin 600 tan 240 sin(720 120 )tan(180 60 )sin 120 tan 60 32 332 4、已知 sin31213,则 cos6 等于( ) A.513 B.1213 C513 D1213 【答案】 :B 【解析】 :因为 sin31213,所

4、以 cos6 sin26sin31213. 5、化简:tan()cos(2)sin32cos()sin()的值为( ) A.2 B. 1 C. 1 D. 2 【答案】 :B 【解析】 :原式tan cos (cos )cos() sin()tan cos cos cos sin sin cos cos sin 1 6、 sin 43 cos 56 tan43的值为( ) A.3 34 B. 34 C. 34 D. 3 34 【答案】 : A 【解析】 :原式sin3 cos6 tan3sin 3cos 6tan 3 3232 ( 3)3 34. 考向一 三角函数的诱导公式 例 1、已知 是第三

5、象限角,且 f()sin() cos(2) tan()tan() sin() (1)若 cos3215,求 f()的值; (2)若 1 860 ,求 f()的值 【解析】 :f()sin cos tan(tan) sincos (1) cos32sin15, sin15 是第三象限的角, cos11522 65 f()cos256 (2) f()cos(1860)cos(60)12 变式 1、角的终边在直线2yx上,则sincossincos( ) A13 B1 C3 D1 【答案】C 【解析】因为角的终边在直线2yx上,tan2, 则sincossinsincossincoscsosinco

6、stan13sincostan1,故选 C。 变式 2、 已知 sin(3)13,则cos()coscos()1 cos()2sin32cos()sin32_ _ 【答案】18 【解析】 sin(3)sin13,sin13, 原式coscos()cos1 cos()2sin32 cos()cos11cos coscos2cos11cos11cos21cos22sin2213218. 变式 3、已知 f()2sin()cos()cos()1sin2cos32 sin22(sin 0 且 12sin 0),则 f236_. 【答案】 3 【解析】f()(2sin )(cos )cos 1sin2s

7、in cos2 2sin cos cos 2sin2sin cos (12sin )sin (12sin )1tan , f2361tan2361tan461tan 6 3. 方法总结:1、熟知将角合理转化的流程 也就是: “负化正,大化小,化到锐角就好了 ” 2明确三角函数式化简的原则和方向 (1)切化弦,统一名 (2)用诱导公式,统一角 (3)用因式分解将式子变形,化为最简 考向二 同角函数关系式的运用 例 2 (1)若 是三角形的内角,且 tan13,则 sincos的值为_ _ (2)已知 sincos18,且5432,则 cossin的值为_ _ 【答案】 (1)105.(2)32.

8、 【解析】 (1)由 tan13,得 sin13cos,将其代入 sin2cos21,得109cos21,cos2910,易知 cos0,cos3 1010,sin1010,故 sincos105. (2)5432,cos0,sin0 且 cossin,cossin0.又(cossin)212sincos121834,cossin32. 变式 1、若 3sincos0,则1cos22sincos _ 【答案】103. 【解析】 (1)3sincos0cos0tan13,1cos22sincoscos2sin2cos22sincos1tan212tan1132123103. 变式 2、(1)若

9、tan()12,则sin21cos2sin2( ) A.12 B.2 C.12 D.2 (2)已知 tan 2,则 sin2sin cos 2cos2 等于( ) A.43 B.54 C.34 D.45 【答案】 (1)D (2)D 【解析】(1)tan()tan()tan 12, sin21cos2sin22sin2cos2cos2sin22tan211tan22122111222. (2)sin2sin cos 2cos2sin2sin cos 2cos2sin2cos2tan2tan 2tan21, 又 tan 2,故原式4224145. 方法总结:本题考查同角三角函数的关系式利用 si

10、n2cos21 可以实现角 的正弦、余弦的互化,利用sincostan可以实现角 的弦切互化,如果没有给出角的范围,则要分类讨论应用公式时注意方程思想的应用:对于 sincos,sincos,sincos这三个式子,利用(sincos)21 2sincos,可以知一求二所求式是关于 sin,cos的齐次式时,分子分母同除以 cos,可化成 tan的函数式求值本题考查运算求解能力,考查函数与方程思想 考向三 同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用 例3、已知cos(75+)=13,且是第三象限角,求cos(15-)+sin(-15)的值 【解析】:因为cos(15-)=cos90-(75+)=s

11、in(75+), 由于是第三象限角,所以sin(75+)0, 所以sin(75+)=22 21cos (75)3 因为sin(-15)=sin-90+(75+)=-sin90- (75+)= -cos(75+)=-, 所以 cos(15-)+sin(-15)= 12 23 变式1、已知sin(3)=2cos3()2,3cos()=2cos(+),0,0,求,的值 【解析】:由已知等式可得sin =2sin , 3cos =2cos 两式平方相加,得sin2+3cos2=2sin2+2cos2=2,即sin2+3(1-sin2)=2,则sin = 又因为0,所以sin =,=或 当=时,由可得s

12、in =,cos =, 又0,所以=; 132222434412326当=时,由可得sin =,cos =-, 又0,所以=56 故46或3456 方法总结:1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形. 2.注意角的范围对三角函数值符号的影响. 1、 (2016 新课标卷 3,理 5)若 ,则 (A) (B) (C) 1 (D) 【答案】A 【解析】由,得或,所以 ,故选 A 2、 (2016 全国课标卷 3,文 6)若 ,则( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】D 3、(2012 江西)若,则 tan2=( ) A B C

13、D 3412323tan42cos2sin26425482516253tan434sin,cos5534sin,cos55 2161264cos2sin24252525 tan13cos245151545sincos1sincos234344343【答案】B 【解析】分子分母同除cos得:sincostan11,sincostan12tan3, 22tan3tan21tan4 4、在ABC 中,若 sin(2A) 2sin(B), 3cosA 2cos(B),求ABC 的三个内角 【解析】 由已知得sinA 2sinB,3cosA 2cosB, 22得 2cos2A1,即 cosA22. (1

14、)当 cosA22时,cosB32, 又 A、B 是三角形的内角,A4,B6, C(AB)712. (2)当 cosA22时,cosB32. 又 A、B 是三角形的内角, A34,B56,不合题意 综上知,A4,B6,C712. 5、已知关于 x 的方程 2x2( 31)xm0 的两根分别是 sin和 cos,(0,2),求: (1)sin2sincoscos1tan的值; (2)m 的值; (3)方程的两根及此时的值 【解析】 (1)原式sin2sincoscos1sincos sin2sincoscos2cossinsin2cos2sincossincos. 由条件知 sincos312,故sin2sincoscos1tan312. (2)由已知,得 sincos312,sincosm2, 又 12sincos(sincos)2,可得 m32. (3)由sincos312,sincos34,得sin32,cos12 或sin12,cos32.又 (0,2),故3或 6.