1、考点 25 弧度制及任意角的三角函数 【命题解读】【命题解读】 了解终边相同的角的意义；了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化 理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，会利用单位圆中的三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切，熟记特殊角的三角函数值，并能准确判断三角函数值的符号 【基础知识回顾基础知识回顾】 1. 角的概念的推广 (1)正角、负角和零角：一条射线绕顶点按逆时针方向旋转所形成的角叫作正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫作负角；如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫作零角 (2)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的
2、终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角终边落在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何象限 (3)终边相同的角：与角 的终边相同的角的集合为|k 360，kZ 2. 弧度制 1 弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|_lr_，l 是以角 作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径 弧度与角度的换算：360_2_rad；180_rad；1_180_rad；1 rad_180_度 弧长公式：_l|r_ 扇形面积公式：S扇形_12lr_12|r2_ 3. 任意角的三角函数 (1)定义：设 是一个任意角，它的终边与单位圆交
3、于点 P(x，y)，那么 sin_y_，cos_x_，tanyx()x0 (2)特殊角的三角函数值 角 0 30 45 60 90 180 270 弧 度数 _0_ _6_ _4_ _3_ _2_ _ _32_ sin _0_ _12_ _22_ _32_ _1_ _0_ _1_ cos _1_ _32_ _22_ _12_ _0_ _1_ _0_ tan _0_ _33_ _1_ _ 3_ _0_ （2）几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在 x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)如图中有向线段 MP，OM，AT 分别叫做角 的正弦线、余弦线和正
4、切线 1、 下列与角94的终边相同的角的表达式中正确的是 ( ) A2k45 (kZ) Bk 360 94(kZ) Ck 360 315 (kZ) Dk54(kZ) 【答案】 ：C 【解析】 ：与角94的终边相同的角可以写成 2k94(kZ)或 k 360 45 (kZ)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案 C 正确 2 设集合 Mx xk2 180 45 ，kZ，Nx xk4 180 45 ，kZ，那么( ) AMN BMN CNM DMN 【答案】 ：B 【解析】 ：由于 M 中，xk2 180 45 k 90 45 (2k1) 45 ，2k1 是奇数；而 N 中，xk4 18045
5、 k 45 45 (k1) 45 ，k1 是整数，因此必有 MN，故选 B. 3 若 是第四象限角，则 是第( )象限角 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】 ：C 【解析】 ： 是第四象限角，22k2k，kZ，2k2k2，kZ， 2k2k32，kZ，故 是第三象限角 4 若扇形的面积为38、半径为 1，则扇形的圆心角为( ) A.32 B.34 C.38 D.316 【答案】 ：B 【解析】 ：设扇形的圆心角为 ，扇形的面积为38、半径为 1，3812 12，34. 5、 关于角度，下列说法正确的是( ) A时钟经过两个小时，时针转过的角度是 60 B钝角大于锐角 C三角形的内角
6、必是第一或第二象限角 D若 是第二象限角，则 2是第一或第三象限角 【答案】 ： BD 【解析】 ： 对于 A，时钟经过两个小时，时针转过的角是60 ，故错误； 对于 B，钝角一定大于锐角，显然正确； 对于 C，若三角形的内角为 90 ，则是终边在 y 轴正半轴上的角，故错误； 对于 D，角 的终边在第二象限， 2k22k，kZ， k4 2k2，kZ. 当 k2n，nZ 时，2n4 22n2，nZ，得 2是第一象限角； 当 k2n1，nZ 时，(2n1)4 2(2n1)2，nZ，得 2是第三象限角，故正确 考向一 角的表示及象限角 例 1（1）集合 kk4，kZ 中的角所表示的范围(阴影部分)
7、是( ) （2）若角 是第二象限角，则2是( ) A第一象限角 B第二象限角 C第一或第三象限角 D第二或第四象限角 【答案】 （1）B （2）C. 【解析】 （1）当k2n(nZ Z)时，2n2n4(nZ Z)，此时的终边和 04的终边一样，当k2n1(nZ Z)时，2n2n4(nZ Z)，此时的终边和4的终边一样 （2） 是第二象限角， 22k2k，kZ Z， 4k22k，kZ Z. 当k为偶数时，2是第一象限角； 当k为奇数时，2是第三象限角故选 C. 变式 1、设角 是第三象限角，且sin2sin2，则角2是第_象限角 【答案】 ：四 【解析】 ：由 是第三象限角，知 2k2k32(k
8、Z)，k22k34(kZ)，所以2是第二或第四象限角，再由sin 2sin2知 sin20)，当 为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 【解析】 ：(1) 设弧长为 l，弓形面积为 S弓 60 3，R10， l103(cm) S弓S扇S121031012 102 sin60 50332 cm2 (2) 扇形周长 C2Rl2RR， RC2， S扇12 R212C22C22442C22144C216， 当且仅当 4，即 2(2 舍去)时，扇形面积有最大值C216 变式 1、扇形 AOB 的周长为 8 cm. (1)若这个扇形的面积为 3 cm2，求圆心角的大小； (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心
9、角的大小和弦长 AB. 【解析】 设扇形 AOB 的半径为 r，弧长为 l，圆心角为 ， (1)由题意可得2rl8，12lr3，解得r3，l2或r1，l6， lr23或 6. (2)2rl8，S扇12lr14l 2r14l2r22148224， 当且仅当 2rl，即 lr2 时，扇形面积取得最大值，r2 cm，弦长 AB22sin14sin1(cm) 变式 2、 已知扇形的圆心角是 ，半径是 r，弧长为 l. (1)若 100 ，r2，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为 20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数 【解析】 (1)因为 100 10018059， 所以 S扇形12l
10、r12r212594109. (2)由题意知，l2r20，即 l202r， 故 S扇形12l r12(202r) r(r5)225， 当 r5 时，S 的最大值为 25，此时 l10，则 lr2 方法总结：有关弧长及扇形面积问题的注意点 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度 (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决 (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形 考向三 三角函数的定义及应用 例 3、已知角 的终边上一点 P( 3，m)(m0)， 且 sin 2m4，求 cos ，tan 的值 【解析】
11、 ：由题设知 x 3，ym， r2|OP|2() 32m2(O 为原点)，r 3m2 sin mr2m4m2 2，因为 m0 r 3m22 2， 即 3m28，解得 m 5 当 m 5时，r2 2，x 3，y 5， cos 32 264， tan 153； 当 m 5时，r2 2，x 3，y 5， cos 32 264， tan 153 变式 1、 （1）已知角 的终边经过点 P(x，6)，且 cos513，则1sin1tan_ （2）已知角 的终边与单位圆的交点为 P12，y ，则 sintan_ _ 【答案】 （1）23.（2）32 【解析】 （1） 角 的终边经过点 P(x，6)，且 c
12、os513，cosxx236513，解得 x52或x52(舍去)，P52，6 ，sin1213，tanyx125，则1sin1tan131251223. （2） 由 OP214y21，得 y234，y32. 当 y32时，sin32，tan 3，此时 sintan32. 当 y32时，sin32，tan 3，此时 sintan32. 变式 2、(1)函数 yloga(x3)2(a0 且 a1)的图象过定点 P，且角 的顶点在原点，始边与 x 轴非负半轴重合，终边过点 P，则 sin cos 的值为( ) A.75 B65 C.55 D.355 (2)已知角 的终边经过点 P(x，6)，且 co
13、s 513，则1sin 1tan _. 【答案】 （1）D （2）23 【解析】(1)因为函数 yloga(x3)2 的图象过定点 P(4,2)，且角 的终边过点 P，所以 x4，y2，r2 5，所以 sin 55，cos 2 55，所以 sin cos 552 55355.故选 D. (2)因为角 的终边经过点 P(x，6)，且 cos 513，所以 cos xx236513，即 x52或 x52(舍)所以 P52，6 ，r132，所以 sin 1213.所以 tan sin cos 125，则1sin 1tan 131251223. 方法总结：1明确用定义法求三角函数值的两种情况：(1)已
14、知角 终边上一点 P 的坐标，则可先求出点 P到原点的距离 r，然后用三角函数的定义求解；(2)已知角 的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解2三角函数值只与角的大小有关，与点P 在角的终边上的位置无关，由于 P 是除原点外的任意一点，故 r 恒为正，本题要注意对变量的讨论 考向四 三角函数值的符号及判定 例 4、已知 sin0，tan0 (1) 求 角的集合； (2) 求2终边所在的象限； (3) 试判断 tan2sin2cos2的符号 【解析】 ：(1) 由 sin 0，知 的终边在第三、四象限或 y 轴的负半轴上；由 tan 0
15、，知 在第一、三象限，故 角在第三象限，其集合为|(2k1)2k32，kZ (2) 由(2k1)2k32，得 k22k34，kZ，故2终边在第二、四象限 (3) 当2在第二象限时，tan20，sin20，cos20， 所以 tan2sin2cos2取正号； 当2在第四象限时，tan20，sin20，cos20， 所以 tan2sin2cos2也取正号因此，tan2sin2cos2取正号 变式 1、(2020江西九江一模)若 sin x0，则角 x 是( ) A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 【答案】 D 【解析】 1cos x1，且 sin(cos x)0，0cos x1
16、，又 sin x0)，则下列各式的值一定为负的是( ) Asin cos Bsin cos Csin cos D.sin tan 【答案】CD 【解析】由已知得 r|OP| m21，则 sin mm21 0，cos 1m210，tan m0，sin cos 0，sin tan cos 0.故选 C、D. 方法总结：(1)区域角也称为范围角，表示的是一定范围内角的全体，它是高考的考点之一表示区域角时要注意考虑问题的范围以及边界的虚实线情况(2)准确掌握三角函数在各象限的符号 1、 在平面直角坐标系中， 角的顶点在原点， 始边在x轴的正半轴上， 角的终边经过点Mcos 8，sin 8，且 02，则
17、 ( ) A.8 B.38 C.58 D.78 【答案】D 【解析】(1)因为角 的终边经过点 Mcos 8，sin 8，且 00，解得 m12. 3、 （2014 新课标 I，文 2）若tan0，则 A. sin20 B cos0 C sin0 D cos20 【答案】A 【解析】由tan0知，在第一、第三象限，即2kk（kZ） ，222kk，即2在第一、第二象限，故只有sin20，故选 A 4、（2011 全国课标理 5 文 7） 已知角的顶点与原点重合， 始边与x轴的正半轴重合， 终边在直线2yx上，则cos2= （A）45 (B)35 (C) 35 (D) 45 【答案】B 【解析】在
18、直线2yx取一点 P（1，2） ，则r=5，则sin=yr=2 55， cos2=212sin=35，故选 B 5、（2018新课标， 文 11） 已知角的顶点为坐标原点， 始边与x轴的非负半轴重合， 终边上有两点(1, )Aa，(2, )Bb，且2cos23，则| (ab ) A15 B55 C2 55 D1 【答案】B 【解析】Q角的顶点为坐标原点， 始边与x轴的非负半轴重合， 终边上有两点(1, )Aa，(2, )Bb， 且2c o s 23，22cos22cos13 ，解得25cos6，30|cos|6，306|sin|1366，6|sin|56| tan| | |21|cos|530
19、6baab，故选B 6、若两个圆心角相同的扇形的面积之比为 14，则这两个扇形的周长之比为_ 【答案】12 【解析】设两个扇形的圆心角的弧度数为 ，半径分别为 r，R(其中 rR)，则12r212R214， 所以 rR12，两个扇形的周长之比为2rr2RR12. 7、 （2018 浙江）已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点34(,)55P (1)求sin()的值； (2)若角满足5sin()13，求cos的值 【解析】(1)由角的终边过点34(,)55P 得4sin5 ， 所以4sin()sin5 (2)由角的终边过点34(,)55P 得3cos5 ， 由5sin()13得12cos()13 由()得coscos()cossin()sin， 所以56cos65 或16cos65