1、考点 25 弧度制及任意角的三角函数 【命题解读】【命题解读】 了解终边相同的角的意义；了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化 理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，会利用单位圆中的三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切，熟记特殊角的三角函数值，并能准确判断三角函数值的符号 【基础知识回顾基础知识回顾】 1. 角的概念的推广 (1)正角、负角和零角：一条射线绕顶点按逆时针方向旋转所形成的角叫作正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫作负角；如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫作零角 (2)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的
2、终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角终边落在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何象限 (3)终边相同的角：与角 的终边相同的角的集合为|k 360，kZ 2. 弧度制 1 弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|_lr_，l 是以角 作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径 弧度与角度的换算：360_2_rad；180_rad；1_180_rad；1 rad_180_度 弧长公式：_l|r_ 扇形面积公式：S扇形_12lr_12|r2_ 3. 任意角的三角函数 (1)定义：设 是一个任意角，它的终边与单位圆交
3、于点 P(x，y)，那么 sin_y_，cos_x_，tanyx()x0 (2)特殊角的三角函数值 角 0 30 45 60 90 180 270 弧 度数 _0_ _6_ _4_ _3_ _2_ _ _32_ sin _0_ _12_ _22_ _32_ _1_ _0_ _1_ cos _1_ _32_ _22_ _12_ _0_ _1_ _0_ tan _0_ _33_ _1_ _ 3_ _0_ （2）几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在 x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)如图中有向线段 MP，OM，AT 分别叫做角 的正弦线、余弦线和正
4、切线 1、 下列与角94的终边相同的角的表达式中正确的是 ( ) A2k45 (kZ) Bk 360 94(kZ) Ck 360 315 (kZ) Dk54(kZ) 2 设集合 Mx xk2 180 45 ，kZ，Nx xk4 180 45 ，kZ，那么( ) AMN BMN CNM DMN 3 若 是第四象限角，则 是第( )象限角 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 4 若扇形的面积为38、半径为 1，则扇形的圆心角为( ) A.32 B.34 C.38 D.316 5、 关于角度，下列说法正确的是( ) A时钟经过两个小时，时针转过的角度是 60 B钝角大于锐角 C三角形的内角必是第
5、一或第二象限角 D若 是第二象限角，则 2是第一或第三象限角 考向一 角的表示及象限角 例 1（1）集合 kk4，kZ 中的角所表示的范围(阴影部分)是( ) （2）若角 是第二象限角，则2是( ) A第一象限角 B第二象限角 C第一或第三象限角 D第二或第四象限角 变式 1、设角 是第三象限角，且sin2sin2，则角2是第_象限角 变式 2、若 是第三象限角，给出下列式子： sincos0； tansin0； tansin0； sin(cos )0 其中成立的是_(填序号) 方法总结：本题考查象限角、终边相同的角、三角函数值所在象限的符号利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是
6、先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需的角三角函数值象限的符号牢记：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”考查运算求解能力，逻辑思维能力，考查转化与化归思想 考向二 扇形的有关运算 例 2、已知一扇形的中心角是 ，所在圆的半径是 R (1) 若 60，R10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积； (2) 若扇形的周长是一定值 C(C0)，当 为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 变式 1、扇形 AOB 的周长为 8 cm. (1)若这个扇形的面积为 3 cm2，求圆心角的大小； (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长 AB. 变式 2、 已知
7、扇形的圆心角是 ，半径是 r，弧长为 l. (1)若 100 ，r2，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为 20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数 方法总结：有关弧长及扇形面积问题的注意点 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度 (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决 (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形 考向三 三角函数的定义及应用 例 3、已知角 的终边上一点 P( 3，m)(m0)， 且 sin 2m4，求 cos ，tan 的值 变式 1、 （1）已知角 的终边经过点 P
8、(x，6)，且 cos513，则1sin1tan_ （2）已知角 的终边与单位圆的交点为 P12，y ，则 sintan_ _ 变式 2、(1)函数 yloga(x3)2(a0 且 a1)的图象过定点 P，且角 的顶点在原点，始边与 x 轴非负半轴重合，终边过点 P，则 sin cos 的值为( ) A.75 B65 C.55 D.355 (2)已知角 的终边经过点 P(x，6)，且 cos 513，则1sin 1tan _. 方法总结：1明确用定义法求三角函数值的两种情况：(1)已知角 终边上一点 P 的坐标，则可先求出点 P到原点的距离 r，然后用三角函数的定义求解；(2)已知角 的终边所
9、在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解2三角函数值只与角的大小有关，与点P 在角的终边上的位置无关，由于 P 是除原点外的任意一点，故 r 恒为正，本题要注意对变量的讨论 考向四 三角函数值的符号及判定 例 4、已知 sin0，tan0 (1) 求 角的集合； (2) 求2终边所在的象限； (3) 试判断 tan2sin2cos2的符号 变式 1、(2020江西九江一模)若 sin x0，则角 x 是( ) A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 变式 2、(多选)在平面直角坐标系 xOy 中，角 以 Ox 为始边，终边经过点
10、 P(1，m)(m0)，则下列各式的值一定为负的是( ) Asin cos Bsin cos Csin cos D.sin tan 方法总结：(1)区域角也称为范围角，表示的是一定范围内角的全体，它是高考的考点之一表示区域角时要注意考虑问题的范围以及边界的虚实线情况(2)准确掌握三角函数在各象限的符号 1、 在平面直角坐标系中， 角的顶点在原点， 始边在x轴的正半轴上， 角的终边经过点Mcos 8，sin 8，且 02，则 ( ) A.8 B.38 C.58 D.78 2、已知角 的终边过点 P(8m，6sin 30 )，且 cos 45，则 m 的值为( ) A.12 B.32 C.12 D
11、.32 3、 （2014 新课标 I，文 2）若tan0，则 A. sin20 B cos0 C sin0 D cos20 4、（2011 全国课标理 5 文 7） 已知角的顶点与原点重合， 始边与x轴的正半轴重合， 终边在直线2yx上，则cos2= （A）45 (B)35 (C) 35 (D) 45 5、（2018新课标， 文 11） 已知角的顶点为坐标原点， 始边与x轴的非负半轴重合， 终边上有两点(1, )Aa，(2, )Bb，且2cos23，则| (ab ) A15 B55 C2 55 D1 6、若两个圆心角相同的扇形的面积之比为 14，则这两个扇形的周长之比为_ 7、 （2018 浙江）已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点34(,)55P (1)求sin()的值； (2)若角满足5sin()13，求cos的值