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2022届高三数学一轮复习考点22:利用导数研究函数的极值和最值(原卷版)

1、考点 22 利用导数研究函数的极值和最值 【命题解读】【命题解读】 从高考对导数的要求看,考查分三个层次,一是考查导数公式,求导法则与导数的几何意义;二是导数的简单应用,包括求函数的单调区间、极值、最值等;三是综合考查,如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.除压轴题,同时在小题中也加以考查,难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合,设计综合题,考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力 【基础知识回顾基础知识回顾】 1、函数的极值 (1)函数的极小值: 函数 yf(x)在点 xa 的函数值 f(a)比它在点 xa

2、 附近其他点的函数值都小,f(a)0;而且在点 xa附近的左侧 f(x)0,右侧 f(x)0,则点 a 叫做函数 yf(x)的极小值点,f(a)叫做函数 yf(x)的极小值 (2)函数的极大值: 函数 yf(x)在点 xb 的函数值 f(b)比它在点 xb 附近其他点的函数值都大,f(b)0;而且在点 xb附近的左侧 f(x)0,右侧 f(x)0,则点 b 叫做函数 yf(x)的极大值点,f(b)叫做函数 yf(x)的极大值 极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值 2、函数的最值 (1)在闭区间a,b上连续的函数 f(x)在a,b上必有最大值与最小值 (2)若函数 f(x)在

3、a,b上单调递增,则 f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数 f(x)在a,b上单调递减,则 f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值 3、常用结论 1若函数 f(x)的图象连续不断,则 f(x)在a,b上一定有最值 2若函数 f(x)在a,b上是单调函数,则 f(x)一定在区间端点处取得最值 3若函数 f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数的最值点 1、函数 f(x)x2ln x 的最小值为( ) A1ln 2 B1ln 2 C.1ln 22 D.1ln 22 2、函数 f (x)的定义域为 R,导函数 f(x)的图象如图所示,则函数 f (

4、x)( ) A无极大值点、有四个极小值点 B有三个极大值点、一个极小值点 C有两个极大值点、两个极小值点 D有四个极大值点、无极小值点 3、设函数 f (x)2xln x,则( ) Ax12为 f (x)的极大值点 Bx12为 f (x)的极小值点 Cx2 为 f (x)的极大值点 Dx2 为 f (x)的极小值点 4、已知 a 为函数 f (x)x312x 的极小值点,则 a 等于( ) A4 B2 C4 D2 5、函数 3230f xxa xa a的极大值是正数,极小值是负数,则a的取值范围是_ 考向一 利用导数研究函数的极值 例 1、已知函数 32331(R,0)f xaxxaaa ,求

5、函数 f x的极大值与极小值 变式 1、已知函数 f(x)1xlnx,求函数 f(x)的极值 方法总结:(1)求函数 f x极值的步骤: 确定函数的定义域; 求导数 fx; 解方程 0fx,求出函数定义域内的所有根; 列表检验在 0fx的根0 x左右两侧值的符号,如果左正右负,那么 f x在0 x处取极大值,如果左负右正,那么 f x在0 x处取极小值 (2)若函数 yf x在区间内有极值,那么 yf x在, a b内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值 考向二 利用导数研究函数的最值 例 2、 (2020 届山东省潍坊市高三上期中)已知函数 (1)当时,求曲线在点处的切线方程; (2

6、)若函数处有极小值,求函数在区间上的最大值 变式 1、已知aR,函数 ln1af xxx. 32112f xxxax2a yf x 0,0f 1f xx 在 f x32,2(1)当1a 时,求曲线 yf x在点 2,2f处的切线方程; (2)求 f x在区间0,e上的最小值 变式 2、已知函数 f(x)axln x,其中 a 为常数 (1)当 a1 时,求 f(x)的最大值; (2)若 f(x)在区间(0,e上的最大值为3,求 a 的值 考向三 极值(最值)的综合性问题 例 3、已知函数 323 ( ,)f xaxbxx a bR在1x处取得极大值为 2. (1) 求函数 f x的解析式; (

7、2) 若对于区间2,2上任意两个自变量的值12,x x都有 12f xf xc,求实数c的最小值 变式 1、已知函数 f(x)ax2bxcex(a0)的导函数 f(x)的两个零点为3 和 0. (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)的极小值为e3,求 f(x)在区间5,)上的最大值 变式 2、 (2020 届山东省枣庄市高三上学期统考)已知函数(是自然对数的底数). ()讨论极值点的个数; ()若是的一个极值点,且,证明:. 方法总结: 1. 当面对不等式恒成立(有解)问题时,往往是转化成函数利用导数求最值; 2. 当面对多次求导时,一定要清楚每次求导的目的是什么 1、(2017

8、年高考全国卷理数)若2x是函数21( )(1)exf xxax的极值点,则( )f x的极小值为 A1 B32e C35e D1 2、 【2019 年高考北京理数】设函数 eexxf xa(a 为常数)若 f(x)为奇函数,则 a=_;若 f(x)是 R 上的增函数,则 a 的取值范围是_ 211 e22xf xxaxaxe f x002xx f x22ef01f x3、 【2018 年高考全国卷理数】已知函数 2sinsin2f xxx,则 f x的最小值是_ 4、 (2020 届山东实验中学高三上期中)已知函数且 a0) (1)求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (2)若函数 f(x)的极小值为,试求 a 的值 5、(2020 全国理 21)已知函数 2exf xaxx (1)当1a 时,讨论 f x的单调性; (2)当0 x时, 3112f xx,求a的取值范围 6、(2020 全国文 21)已知函数 2ln1f xx (1)若 2f xxc,求c的取值范围; (2)设0a ,讨论函数 f xf ag xxa的单调性 22( )(24 )ln4 (f xaxxxaxx aR1a