1、考点考点 18 18 函数模型及其运用函数模型及其运用 【命题解读】【命题解读】 函数模型做为考查内容之一，涉及到一些常见的函数如一元二次函数、指数函数、对数函数等，考查中常见小题的形式出现。 【基础知识回顾基础知识回顾】 1.指数、对数、幂函数模型性质比较 函数 性质 yax (a1) ylogax (a1) yxn (n0) 在(0，) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化 而各有不同 2.几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)axb
2、(a、b为常数，a0) 二次函数模型 f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0) 与指数函数 相关的模型 f(x)baxc(a，b，c为常数，a0 且a1，b0) 与对数函数 相关的模型 f(x)blogaxc(a，b，c为常数，a0 且a1，b0) 与幂函数 相关的模型 f(x)axnb(a，b，n为常数，a0) 3. 3. 解函数应用题的步骤 第一步：阅读理解题意读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题 第二步：引用数学符号，建立数学模型一般地，设自变量为 x，函数为 y，必要时引入其他相关辅助变量，
3、并用 x、y 和辅助变量表示各相关量，然后根据已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题，实现问题数学化，即所谓建立数学模型 第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果 第四步：将所得结果再转译成具体问题的解答 1、 某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质 20%，要使水中杂质减少到原来的 5%以下，则至少需要过滤的次数为(C ) (参考数据 lg20.301 0，lg50.699) A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】C 【解析】 由题意可得(120%)nl
4、og0.80.0513.42， 故至少过滤 14 次故选C. 2、 小孟进了一批水果，如果他以每千克 1.2 元的价格出售，那他就会赔 4 元，如果他以每千克 1.5 元的价格出售，一共可赚 8 元现在小孟想将这批水果尽快出手，以不赔不赚的价格卖出，那么每千克水果应定价为(B ) A. 1.1 元 B. 1.3 元 C. 1.5 元 D. 2.0 元 【答案】B 【解析】 设共有水果 x 千克，则 1.2x41.5x8，得 x40，不赔不赚的价格为401.24401.3 元 故选B. 3、下表是函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据，它最可能的函数模型是（ ） A一次函数模型 B幂函数模型
5、C指数函数模型 D对数函数模型 x 4 5 6 7 8 9 10 y 15 17 19 21 23 25 27 【答案】 ： A 【解析】 ： 根据已知数据可知，自变量每增加 1 函数值增加 2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型 4、某工厂 6 年来生产某种产品的情况是：前 3 年年产量的增长速度越来越快，后 3 年年产量保持不变，则该厂 6 年来这种产品的总产量 C 与时间 t(年)的函数关系图象正确的是（ ） A B C D 【答案】 ： A 【解析】 ： 前 3 年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有，图象符合要求，而后 3 年年产量保持不变，总产量增加，故正确，错误
6、 5、 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长 x 为（ ）m A400 B12 C20 D30 【答案】 ： C 【解析】 ： 设内接矩形另一边长为 y，则由相似三角形性质可得x4040y40，0 x40， 解得 y40 x，所以面积 Sx(40 x)x240 x(x20)2400(0 x40)， 当 x20 时，Smax400 6、一个容器装有细沙 a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为 yaebt(cm3)，经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过（ ）min，容器中的沙子只有开始时的
7、八分之一 A24 B12 C18 D16 【答案】 ： D 【解析】 ： 当 t0 时，ya，当 t8 时，yae8b12a， e8b12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时， 即 ybtae18a，btae18(e8b)3e24b， 则 t24，所以再经过 16 min 考向一 二次函数模型 例 1、A，B 两城相距 100 km，在两城之间距 A 城 x(km)处建一核电站给 A，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于 10km 已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的 0 25 倍，若 A 城供电量为每月 20 亿度，B 城供电量为每月 10 亿度 (
8、1)求 x 的取值范围； (2)把月供电总费用 y 表示成 x 的函数； (3)核电站建在距 A 城多远，才能使供电总费用 y 最少？ 【解析】 ：(1)由1010010100-100 xx得 x 的取值范围为 10 x90 (2)y5x252(100 x)2(10 x90) (3)因为 y5x252(100 x)2152x2500 x25 000152x1003250 0003，所以当 x1003时，ymin50 0003故核电站建在距 A 城1003km 处，能使供电总费用 y 最少 变式 1、某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元，每生产 x 千件，需另投入成本为 C(x)万元，当
9、年产量不足 80 千件时，C(x)13x210 x(万元)；当年产量不少于 80 千件时，C(x)51x10 000 x1 450(万元)通过市场分析，若每件售价为 500 元时，该厂年内生产的商品能全部销售完 (1)写出年利润 L(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 【解析】 (1)当 0 x80，xN*时， L(x)500 1 000 x10 00013x210 x250 13x240 x250； 当 x80，xN*时， L(x)500 1 000 x10 00051x10 000 x1 450250 1 200(x1
10、0 000 x)， L(x)2*140250,080,3100001200(),80,.xxxxNxxxNx (2)当 0 x950 综上所述，当 x100 时，L(x)取得最大值 1 000， 即年产量为 100 千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大 方法总结：在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域之间的位置关系讨论求解 考向二 指数函数、对数函数模型 例 2、诺贝尔奖发放方式为每年一发，把奖金总额平均分成 6 份，奖励给分别在 6 项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放
11、奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加假设基金平均年利率为 r624%资料显示：1999 年诺贝尔奖金发放后基金总额约为 19 800 万美元设 f(x)表示第 x(xN*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999 年记为 f(1)，2000 年记为 f(2)，依次类推) (1)用 f(1)表示 f(2)与 f(3)，并根据所求结果归纳出函数 f(x)的表达式； (2)试根据 f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009 年度诺贝尔奖各项奖金高达 150 万美元”是否为真，并说明理由(参考数据：1031 29132) 【解析】 ：(1)由题意知，f(2
12、)f(1)(1624%)12f(1) 624%f(1)(1312%)， f(3)f(2)(1624%)12f(2) 624% f(2)(1312%)f(1)(1312%)2， f(x)19 800(1312%)x1 (xN*) (2)2008 年诺贝尔奖发放后基金总额为 f(10)19 800(1312%)926 136， 故 2009 年度诺贝尔奖各项奖金为1612f(10) 624%136(万美元)，与 150 万美元相比少了约 14 万美元，是假新闻 变式 1、（2019 秋菏泽期末） 如图， 某湖泊的蓝藻的面积y（单位：2)m与时间t（单位： 月） 的关系满足tya，则下列说法正确的是
13、( ) A蓝藻面积每个月的增长率为100% B蓝藻每个月增加的面积都相等 C第 6 个月时，蓝藻面积就会超过260m D若蓝藻面积蔓延到22m，23m，26m所经过的时间分别是1t，2t，3t，则一定有123ttt 【答案】ACD 【解析】 ：由图可知，函数tya图象经过(1,2)，即12a ，则2a ，2ty； 1222ttt不是常数，则蓝藻每个月的面积是上个月的 2 倍，则每个月的增长率为100%，A对、B错； 当6t 时，626460y ，C对； 若蓝藻面积蔓延到22m，23m，26m所经过的时间分别是1t，2t，3t，则31222,23,26ttt，12122222 36tttt g，
14、则123ttt，D对； 故选：ACD 方法总结：此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型 yN(1p)x(其中 N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂函数模型 ya(1x)n(其中 a 为基础数，x 为增长率，n 为时间)的形式解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解 考向三 分段函数模型 例 3、提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度 v(单位：千米/小时)是车流密度 x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0 千米/小时；当车流密度不超过 20 辆/千米时，车流
15、速度为 60 千米/小时，研究表明：当20 x200 时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数 (1)当 0 x200 时，求函数 v(x)的表达式； (2)当车流密度 x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到 1 辆/小时) 【解析】 (1)由题意可知当 0 x20 时，v(x)60；当 20 x200 时，设 v(x)axb，显然 v(x)axb 在20，200上是减函数，由已知得200ab0，20ab0，解得a13，b2003， 故函数 v(x)的表达式为 v(x)60，0 x20，13（200 x
16、），20 x200. (2)依题意并由(1)可得 f(x)60 x，0 x20，13x（200 x），20 x200. 当 0 x20 时，f(x)为增函数，故当 x20 时，其最大值为 60201 200； 当 20 x200 时，f(x)13x(200 x)13x（200 x）2210 0003，当且仅当 x200 x，即 x100时，等号成立， 当 x100 时，f(x)在区间20，200上取得最大值10 0003. 综上，当 x100 时，f(x)在区间0，200上取得最大值10 00033 333，即当车流密度为 100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约 3 333 辆/小时
17、 变式 1、某旅游景点预计 2017 年 1 月份起前 x 个月的旅游人数的和 p(x)(单位：万人)与 x 的关系近似地满足p(x)12x(x1)(392x)(xN*，且 x12)已知第 x 个月的人均消费额 q(x)(单位：元)与 x 的近似关系是 q(x)352x （xN*，且1x6），160 x （xN*，且7x12）. (1)写出 2017 年第 x 个月的旅游人数 f(x)(单位：万人)与 x 的函数关系式； (2)试问 2017 年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？ 【解析】 ：(1)当 x1 时，f(1)p(1)37， 当 2x12，且 xN*时， f(x)
18、p(x)p(x1) 12x(x1)(392x)12(x1)x(412x)3x240 x， 验证 x1 也满足此式， 所以 f(x)3x240 x(xN*，且 1x12) (2)第 x 个月旅游消费总额为 g(x)2*2*( 340 )(352 )16160( 340 )712.xxxxNxxxxNxx ，且，且 即 g(x)32*61851400 ,164806400712.xxx xNxxxNx，且，且 当 1x6，且 xN*时， g(x)18x2370 x1 400， 令 g(x)0，解得 x5 或 x1409(舍去) 当 1x5 时，g(x)0， ( )g x 在1,5)上单调递增； 当
19、 5x6 时，g(x)0，( )g x 在(5,6上单调递减； 5( )( ).xg xg x ，取极大值，也是的最大值 g(x)maxg(5)3 125(万元) 当 7x12，且 xN*时，g(x)480 x6 400 是减函数，当 x7 时，g(x)maxg(7)3 040(万元)3125（万元） 综上，2017 年 5 月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为 3 125 万元 方法总结：(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型，如出租车的票价与路程的函数就是分段函数(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法在求分段函数的最
20、值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值 1、(2019 北京高考)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足 m2m152lg E1E2， 其中星等为 mk的星的亮度为 Ek(k1， 2) 已知太阳的星等是26.7， 天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A1010.1 B10.1 Clg 10.1 D1010.1 【答案】A 【解析】由题意知，m126.7，m21.45，代入所给公式得1.45(26.7)52lg E1E2，所以 lgE1E210.1，所以E1E21010.1.故选 A. 2、已知某种药物在血液中以每小时 20%
21、的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物 2500mg，设经过 x 个小时后，药物在病人血液中的量为 ymg （1）y 与 x 的关系式为 ； （2）当该药物在病人血液中的量保持在 1500mg 以上，才有疗效；而低于 500mg，病人就有危险，要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过 小时（精确到 0.1） （参考数据：0.20.30.6，0.82.30.6，0.87.20.2，0.89.90.1） 【答案】 （1）y25000.8x， （2）7.2 【解析】 （1）由题意知，该种药物在血液中以每小时 20%的比例衰减， 给某病人注射了该药物 2500mg，经过 x 个小时后， 药物在病
22、人血液中的量为 y2500（120%）x25000.8x（mg） ， 即 y 与 x 的关系式为 y25000.8x； （2）当该药物在病人血液中的量保持在 1500mg 以上，才有疗效；而低于 500mg，病人就有危险， 令 25000.8x500， 0.8x0.2， 0.87.20.2，y0.8x是单调减函数， x7.2， 所以要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过 7.2 小时 3、 （2020 届山东省潍坊市高三上期中）在经济学中，函数 f x的边际函数 Mf x定义为 1Mf xf xf x某医疗设备公司生产某医疗器材，已知每月生产x台xN的收益函数为 2300020R xx
23、x （单位：万元） ，成本函数 5004000C xx（单位：万元） ，该公司每月最多生产100台该医疗器材 （利润函数=收益函数成本函数） （1）求利润函数 P x及边际利润函数 MP x； （2）此公司每月生产多少台该医疗器材时每台的平均利润最大，最大值为多少?（精确到0.1） （3）求x为何值时利润函数 P x取得最大值，并解释边际利润函数 MP x的实际意义 【答案】 （1）( )P x 22025004000 xx；( )MP x2480 40 x； （2）14台，1934.3万元； （3）62x或63；( )MP x反映了产量与利润增量的关系，从第二台开始，每多生产一台医疗器材利润
24、增量在减少. 【解析】 （1）由题意知：1,100 x且*xN， 2( )( )( )300020(5004000)P xR xC xxxx220 x2500 x4000 ， 2( )(1)( )20(1)2500(1)4000MP xP xP xxx 22202500400048040 xxx. （2）每台医疗器材的平均利润( )4000202500P xxxx 400 22500，当且仅当10 2x 时等号成立. 因为*xN， 当每月生产14台机器时， 每台平均约为1934.3万元， 每月生产15台时， 每台平均约为1933.3万元，故每月生产14台时，每台医疗器材的平均利润最大为1934
25、.3万元. （3）22( )202500400020(62.5)74125P xxxx ， 由( )2480400MP xx，得62x，此时 P x随x增大而增大， 由 2480400MP xx得62x，此时 P x随x增大而减小， 62x 或63时， P x取得最大值. ( )MP x反映了产量与利润增量的关系，从第二台开始，每多生产一台医疗器材利润增量在减少. 4、 （2020 届山东师范大学附中高三月考） 已知某工厂每天固定成本是 4 万元， 每生产一件产品成本增加 100元，工厂每件产品的出厂价定为a元时，生产x件产品的销售收入是21( )5004R xxx （元） ，( )P x为每
26、天生产x件产品的平均利润（平均利润总利润/总产量）.销售商从工厂每件a元进货后又以每件b元销售， ()baca，其中c为最高限价()abc，为销售乐观系数，据市场调查，是由当ba是c b，ca的比例中项时来确定. （1）每天生产量x为多少时，平均利润( )P x取得最大值？并求( )P x的最大值； （2）求乐观系数的值； （3）若600c ，当厂家平均利润最大时，求a与b的值. 【答案】 （1）400,200； （2）512； （3）400，100( 53). 【解析】 试题分析： （1）先求出总利润21400400004xx，依据（平均利润总利润/总产量）可得 1400004004P xx
27、x ，利用均值不等式得最大利润； （2）由已知得baca，结合比例中项的概念可得2bacbca， 两边同时除以2ba将等式化为的方程， 解出方程即可；（3） 利用a平均成本40000100 x平均利润 p x，结合厂家平均利润最大时（由（1）的结果）可得a的值，利用baca可得b的值. 试题解析： （1）依题意总利润21500100400004xxx， 21400400004xx， 214004000014000044004xxP xxxx , 200 400200. 此时1400004xx,400 x, 即，每天生产量为 400 件时，平均利润最大，最大值为 200 元 . （2）由baca得baca，baQ是,cb ca的比例中项， 2bacbca， 两边除以2ba得 11caba cacacababababa， 1111 解得512. （3）厂家平均利润最大， 4000040000100100200400400aP xx元， 每件产品的毛利为ba，10051baca ， 10053b 元，400a （元） ，10053b 元.