1、考点 14 指数函数 【命题解读】【命题解读】 在高考中指数函数部分往往与其他知识点交汇考查，也常与函数的图像结合考查。重点考查与此有关的性质。 【基础知识回顾基础知识回顾】 指数函数及其性质 (1)概念：函数 yax(a0 且 a1)叫做指数函数，其中指数 x 是变量，函数的定义域是 R，a 是底数 (2)指数函数的图象与性质 a1 0a1 图象 定义域 (1)R 值域 (2)(0，) 性质 (3)过定点(0，1)，即 x0 时，y1 (4)当 x0 时，y1； 当 x0 时，0y1 (5)当 x0 时，y1；当 x0 时，0y1 (6)在(，)上是增函数 (7)在(，)上是减函数 常用结论
2、 1指数函数图象的画法 画指数函数 yax(a0，且 a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，1，1a. 2.指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的图象，底数 a，b，c，d 与 1 之间的大小关系为 cd1ab0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数 yax(a0，a1)的图象越高，底数越大 3指数函数 yax(a0，a1)的图象和性质跟 a 的取值有关，要特别注意应分 a1 与 0a1 来研究 1、 设 a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则 a，b，c 的大小关系是( ) Aabc Ba
3、cb Cbac Dbca 【答案】C 【解析】因为函数 y0.6x在 R 上单调递减，所以 b0.61.5a0.60.61.又 c1.50.61，所以 bac. 2、函数f(x)axb的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( ) A.a1，b1，b0 C.0a0 D.0a1，b0 【答案】D 【解析】由f(x)axb的图象可以观察出，函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以 0a1. 函数f(x)axb的图象是在f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以b0. 3、若函数 y(a21)x是 R 上的减函数，则实数 a 的取值范围是( ) A. 1a 2 B. 2a1 C. 1a
4、2，或 2a1 D. 22a1，或 1a 2 【答案】C 【解析】 由y(a21)x在(，)上为减函数，得 0a211，1a22，即 1a 2或 2a1.数a的取值范围是 1a 2或 2a0，且 a1，函数 ya2x2ax1 在1，1上的最大值是 14，则实数 a 的值为_ 【答案】 （1） (，1 （2）(1，) f(4)f(1)（3）13或 3 【解析】 （1）设ux22x1，y12a在 R R 上为减函数，函数f(x)22112xx的减区间即为函数ux22x1 的增区间又ux22x1 的增区间为(，1，f(x)的减区间为(，1 （2）因为|x1|0，函数f(x)a|x1|(a0，且a1)
5、的值域为1，)，所以a1.由于函数f(x)a|x1|在(1，)上是增函数，且它的图象关于直线x1 对称，则函数f(x)在(，1)上是减函数，故f(1)f(3)，f(4)f(1) （3）令 tax(a0，且 a1)， 则原函数化为 yf(t)(t1)22(t0) 当 0a1 时，x1，1，tax1a，a ， 此时 f(t)在1a，a 上是增函数所以 f(t)maxf(a)(a1)2214，解得 a3 或 a5(舍去)综上得a13或 3. 变式 2、 （江苏省南通市通州区 2019-2020 学年高三第一次调研抽测】不等式23122xx 的解集为_. 【答案】(1，2) 【解析】由题23122xx
6、 则2311222xx ，故23112xxx 故填(1，2) 变式 3、设函数 f(x)12x7，x0，x，x0，若 f(a)1，则实数 a 的取值范围是 ； 【答案】(3，1) 【解析】当 a0 时，不等式 f(a)1 可化为12a71，即12a8，即12a3. 又 a0，3a0.当 a0 时，不等式 f(a)1 可化为 a1.0a1， 综上，a 的取值范围为(3，1) 变式 4、(2020包头模拟)已知实数 a1，函数 f(x)4x，x0，2ax，x0，若 f(1a)f(a1)，则 a 的值为_. 【答案】12. 【解析】(1)当 a1 时，代入不成立.故 a 的值为12. 方法总结： 指
7、数函数的性质有着广泛的应用，常见的有：比较大小，解不等式，求函数的单调区间和值域、最值等等 (1)比较两个幂值的大小问题是常见问题，解决这类问题首先要分清底数是否相同；若底数相同，则可利用函数的单调性解决；若底数不同，则要利用中间变量进行比较 (2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性问题，常常需要借助换元等手段将其化归于指数函数来解，体现化归与转化思想的运用 (3)在利用指数函数的性质解决与指数函数相关的问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时须分底数 0a1 两种情形进行分类讨论，防止错解 考向二 指数函数的图像与性质 例 2、如图，过原点 O 的直线与函
8、数 y2x的图像交于 A，B 两点，过点 B 作 y 轴的垂线交函数 y4x的图像于点 C，若 AC 平行于 y 轴，则点 A 的坐标是_ 【答案】(1,2) 【解析】设 C(a,4a)，则 A(a,2a)，B(2a,4a)又 O，A，B 三点共线，所以2aa4a2a，故 4a2 2a，所以 2a0(舍去)或 2a2，即 a1，所以点 A 的坐标是(1,2) 变式 1、 （2020 届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟）已知过点O的直线与函数3xy 的图象交于A、B两点，点A在线段OB上，过A作y轴的平行线交函数9xy 的图象于C点，当BCx轴，点A的横坐标是 【答案】3log 2 【解析
9、】根据题意，可设点,3aA a，则,9aC a,由于BCx轴，故9aCByy，代入3xy ， 可得2Bxa，即2 ,9aBa，由于A在线段OB上，故OAOBkk，即392aaaa，解得 3log 2a . 变式 2、 （2020 届山东省滨州市高三上期末）已知31log3aa，133logbb，131log3cc ，则 a，b，c 的大小关系是( ) Acba Babc Cbca Dbac 【答案】C 【解析】 在同一直角坐标系内，作出函数13xy，3logyx，3xy ，13logyx的图像如下： 因为31log3aa，133logbb，131log3cc ， 所以a是13xy与3logyx
10、交点的横坐标；b是3xy 与13logyx交点的横坐标；c是13xy与13logyx交点的横坐标； 由图像可得：bca. 故选：C. 变式 3、（2019 广西北海一中月考）函数 yax1a(a0，且 a1)的图象可能是( ) 【答案】D 【解析】当 a1 时，yax1a是增函数 当 x0 时，y11a(0，1)，A，B 不满足 当 0a1 时，yax1a在 R 上是减函数 当 x0 时，y11a0，C 错，D 项满足 变式 4、 已知 f(x)|2x1|. (1)求 f(x)的单调区间； (2)比较 f(x1)与 f(x)的大小； (3)试确定函数 g(x)f(x)x2的零点的个数 【解析】
11、 (1)由 f(x)|2x1|2x1，x0，12x，x0 可作出函数的图像如图所示 因此函数 f(x)的单调减区间是(，0)上，单调增区间是(0，) (2)在同一坐标系中，分别作出函数 f(x)、f(x1)的图像如图所示 由图像知，当012x 1102x，即 x0log223时，两图像相交， 当 xf(x1)； 当 x22log3时，f(x)f(x1)； 当 x22log3时，f(x)f(x1) (3)将 g(x)f(x)x2的零点个数问题转化为函数 f(x)与 yx2的图像的交点个数问题，在同一坐标系中，分别作出函数 f(x)|2x1|和 yx2的图像(如图所示)，有四个交点，故 g(x)有
12、四个零点 方法总结：指数函数的图像直观的刻画了指数函数的性质，在解题中有着十分广泛的应用 (1)已知函数解析式判断其图像一般是取特殊点，判断所给的图像是否过这些点，若不满足则排除； (2)对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论； (3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数函数图像，数形结合求解 考向三 指数函数的综合运用 例 3、关于函数 f (x)14x2的性质，下列说法中正确的是( ) A函数 f (x)的定义域为 R B函数 f (x)的值域为(0，) C方
13、程 f (x)x 有且只有一个实根 D函数 f (x)的图象是中心对称图形 【答案】 ACD 【解析】 函数 f (x)14x2的定义域为 R，所以 A 正确； 因为 y4x在定义域内单调递增，所以函数 f (x)14x2在定义域内单调递减，所以函数的值域为0，12，所以方程 f (x)x 只有一个实根，所以 B 不正确，C 正确； 因为 f (x1)f (x)14x1214x2 14 4x24x2 4x112， f (x)关于12，14对称，所以 D 正确 变式 1、 （2020 届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研(二)）已知函数 ,413,1xxf xxx，若( )()16ff a
14、=，则实数a _ 【答案】1 【解析】函数 ,413,1xxf xxx,( )()16ff a=, 当1a 时,( )44af a, ( )4( ( )4416aaf f af= ,解得12a ,不合题意 当1a 时, ( )3f aa+= , 当31a + ?时,( )()()33416aff af a+=,解得1a, 当31a + 时,( )()()33316ff af aa+ + =,解得10a ,不合题意 综上,实数1a 故答案为：1 变式 2、已知定义域为 R R 的函数f(x)2xb2x1a是奇函数 (1) 求a，b的值； (2) 若对任意的tR R，不等式f(t22t)f(2t2
15、k)0 恒成立，求k的取值范围 【解析】 (1) f(x)是 R R 上的奇函数，f(0)0，即b1a20b1，f(x)12xa2x1. 又由f(1)f(1)，得12a4112a1a2. 经检验知，a2，b1 为所求 (2)(方法 1)由(1)得f(x)12x22x11212x1，易知f(x)在(，)上为减函数 f(x)是奇函数，f(t22t)f(2t2k)0f(t22t)k2t2，即对一切t有 3t22tk0. 412k0k13. (方法 2)由(1)知f(x)12x22x1， 222211 222tttt222211 222tktk 0， 即(2212tk 2)(1222tt)(2222t
16、t2)(1222tk0. 上式对一切tR R 均成立，从而412k0k13. 变式 3、设a是实数，f(x)a22x1(xR R) (1) 试证明对于任意a，f(x)都为增函数； (2) 试确定a的值，使f(x)为奇函数 【证明】 (1)设x1，x2R R，且x1x2，则 f(x1)f(x2)1221xa2221xa=21222121xx12122(22 )2121xxxx. 由于指数函数y2x在 R R 上是增函数，且x1x2， 12x22x，即1222xx0，得12x10，22x10. f(x1)f(x2)0，即f(x1)1， 函数f(x)的单调增(减)区间即函数yaf(x)的单调增(减)
17、区间； 若 0a0 时，f(x)的单调性； (3)若 3tf(2t)mf(t)0 对于 t12，1 恒成立，求 m 的取值范围 【解析】 ：(1)当 x0 时，f(x)3x3x0，不满足 f(x)2 当 x0 时，f(x)3x13x，令 3x13x2 031.xxQ， (3x)22 3x10，解得 3x1 2 3x1，3x1 2 xlog3(1 2) 0 x Q，1=33xxf x函数可化为（ ）. (2)y3x在(0， )上单调递增，y13x在(0， )上单调递减，f(x)3x13x在(0， )上单调递增 (3)t12，1 ，f(t)3t13t0 3tf(2t)mf(t)0 化为 3t32t132tm3t13t0， 即 3t3t13tm0，即 m32t1 令 g(t)32t1，则 g(t)在12，1 上递减， g(x)max4 所求实数 m 的取值范围是4，) 0,)141a 214,aam12,2am( )g xx 01a124,aam11,416am