1、考点 07 章末检测二 一、单选题 1、 （2021 江苏省滨海中学高三月考）下列命题为真命题的是（ ） A若，则 B若，则 C若，则 D若，则 【答案】D 【解析】 ：对于 A 选项，当时，不等式不成立，故是假命题； 对于 B 选项，当时，不满足，故为假命题； 对于 C 选项，当时，不满足，故为假命题. 对于 D 选项，由于，所以，即，故为真命题. 故选：D. 2、（2021 浙江高三期末） 设一元二次不等式210axbx 的解集为 | 12xx ， 则ab的值为 （ ） A1 B14 C14 D12 【答案】B 【解析】 由题意可知方程210axbx 的根为1,2， 由韦达定理得：12ba
2、 ，11 2a ， 解得11,22ba ，所以14ab . 故选：B. 3、 （2021 山东德州市 高三期末）已知，且，则的最小值是（ ） A B C D 【答案】B 0ab11ab0ab22acbc0cababcacb0abcaacbbc2,1ab 0c =3,2,1cab21322abcacb0abc0a bcb acab caacacbcbbcb bcb bcb bcaacbbc0a0b124ab46ab4342 382 3343【解析】 已知，且，则， 所以， . 当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是. 故选：B. 4、 （2020 江苏省通州高级中学高一月考）不等式210axax
3、 对于任意的xR恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A0,4 B0,4 C0,4 D,04, 【答案】C 【解析】 因为不等式210axax 对于任意的xR恒成立， 所以函数 210f xaxax 对于任意的xR恒成立， 当0a时，函数 10f x ，满足题意； 当0a时，结合二次函数性质易知，2040aaa，解得04a， 综上所述，实数a的取值范围是0,4， 故选：C. 5、 （2021 安徽省泗县第一中学高二月考（文） ）已知0 x，0y ，211xy，若222xymm恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ） A4m或2m B2m或4m 0a0b124ab1 1214 ab1 121 121
4、434646238422ababababababba14384 38242 322abba32ab46ab42 3C24m D42m 【答案】C 【解析】 若222xymm恒成立，则2min22mmxy， 因为4422214242 284yyxxxyxyxyxyxy ， 当且仅当4=yxxy，即4,2xy时取等号 所以min82xy 所以228mm，即2280mm， 解得：24m 故选：C 6、 （山东省青岛市 2020-2021 学年高三模拟）“40,2xaxx ”的充要条件是（ ） A2a B2a C2a D2a 【答案】D 【解析】因为0 x，可得444222 (2)22222xxxxx
5、x ， 当且仅当422xx，即0 x时等号成立， 因为0 x，所以422xx， 所以“40,2xaxx ” 的充要条件是2a. 故选：D. 7、 （2021 山东威海市 高三期末）若关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为（ ） A B C D 【答案】D 【解析】 x2330 xmxm3m2, 13,45,66,7因为不等式的解集中恰有个正整数， 即不等式的解集中恰有个正整数， 所以，所以不等式的解集为 所以这三个正整数为，所以，即 8、（2021 广东高三专题练习） 若函数212 ,2( )(01log (23),2axx xf xaxx 且1)a 的值域为R， 则1( )2f
6、的取值范围为（ ） A( 2, 1) B 2,) C5,)4 D 2,0) 【答案】D 【解析】 当12x 时，22( )2(1)1f xxxx，( ) 1,)f x ， 当21x 时，232,)x ， 函数( )f x的值域为R， 1()log02121aaf ，又1( )log 42log 22aaf， 22log 20a ，即12( )02f ， 1( )2f的取值范围为 2,0). 故选：D 二、多选题 9、 （2020 河北石家庄市 石家庄一中高一月考）已知 a，b，c，dR，则下列命题为假命题的是（ ) A若,ab cd，则acbd B若ab，则22acbc C若0ab，则()0a
7、b c D若ab，则acb c 【答案】BD 【解析】 2330 xmxm330 xxm33m3,m4,5,667m67a对于 A，取21,12abcd ，此时acbd，故 A 错误； 对于 B，由2c 0时，利用不等式的性质，不等式两边乘以同一个正数，不等号方向不变，可知22acbc，故 B 正确； 对于 C，0abQ，0a b ，当0c时，()0ab c，故错误； 对于 D，由不等式的性质，两边同时减一个数，不等号方向不变，故 D 正确； 故选：BD 10、 （2021 江苏省滨海中学高三月考）设正实数 m、n 满足，则下列说法正确的是（ ） A的最小值为 3 B的最大值为 1 C的最小值
8、为 2 D的最小值为 2 【答案】ABD 【解析】 因为正实数 m、n， 所以， 当且仅当且 m+n=2，即 m=n=1 时取等号，此时取得最小值 3，A 正确； 由 ，当且仅当 m=n=1 时，mn 取得最大值 1，B 正确； 因为， 当且仅当 m=n=1 时取等号， 故2即最大值为 2，C 错误； ，当且仅当时取等号，此处取得最小值 2，故 D 正确 故选：ABD 11、 （2020 山东济南市 高三月考）已知实数 x，y 满足则（ ） A的取值范围为 B的取值范围为 C的取值范围为 D的取值范围为 【答案】ABD 2mn2nmnmnmn22mn21 22 13nnmnnmn mmnmnm
9、nm n nmmn212mnnm2()22224mnmnmnmnmnmn2222()2424222mnmnmnmnmn 1mn322, 124,xyxy x( 1,2)y( 2,1)xy()3,3xy( 1,3)【解析】 因为，所以.因为，所以，则，故 A 正确； 因为，所以.因为，所以，所以，所以，故 B 正确； 因为， 所以， 则，故 C 错误； 因为，所以，则，故 D 正确. 故选：ABD. 12、（2021 江苏苏州市 高三期末） 已知实数， 满足， 下列结论中正确的是 （ ） A B C D 【答案】AD 【解析】 对于 A：， 即.故 A 正确； 对于 B：， ，不一定成立，故 B
10、 错误； 对于 C：，故 C 错误； 124xy 2428xy 322xy 5510 x 12x 322xy 6244xy 124xy 421xy 1055y21y 322124xyxy ，9361142,2555555xyxy（）（）22xy 322124xyxy ，213331222555555xyxy （），（）13xy ab201aabba4b28ab 111ab274ab 22011 ,aaaabbabQ22(1) 1112111aabaaaa 111,10122 (1)2411aabaaaa Q4b1122123(1)42 3411abaaaaa 2 348Q28ab 221111
11、1(1)1 1aabaaa 对于 D: ，故 D 正确. 故选：AD 三、填空题 13、 （江苏省如皋市 2019-2020 学年高三上学期 10 月调研）不等式210mxmx 的解集为R，则实数m的取值范围为_. 【答案】04m 【解析】当0m时，不等式显然恒成立，即xR，满足条件。 当0m时，为二次函数，要恒大于零只有开口向上，0V。 所以0m，240mmV 即04m 综上所述：04m .14、（江苏省南通市通州区 2019-2020 学年高三第一次调研抽测） 设 x0， y0， x2y4， 则(4 ) (2 )xyxy的最小值为_. 【答案】9 【解析】(4)(2)82416161xyx
12、yxyxyxyxyxyxy 又 x2y42 2,xy即2xy ，当且仅当2,1xy等号成立，故原式9 故填 9 15、 （2021 浙江绍兴市 高三期末）已知且，则的最小值为_. 【答案】 【解析】 令，因为，所以， 则， 2322(1) 116(1)8(1)3(1)3(1)311128(1)aaaabaaaaaaaa2681511152715 (1)()3328(1)44aaa0,0 xy111211xyxy221ax1by0,0 xy1,1ab12ax1yb所以 所以 ，当且仅当，即，时取等号 故答案为： 16、 （2021 浙江杭州市 高三期末）若，且，则的最小值等于_，的最大值等于_.
13、 【答案】 【解析】 ：， ，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号，的最大值， 故答案为： ； 四、解答题 17、 （2020 上海高一专题练习）求下列函数的最小值 （1）21(0)xxyxx； （2）226(1)1xxyxx. 【解析】 （1）211=13xxyxxx 111ab13113122222aaaxybbbab 1312222222bababaababab 2baab222b2 1a 22xy=20a0b1ab22abab1220a0b1ab21()24abab12ab22211()212122abababab 12ab2()21212ababababab
14、12abab212211022xxxxx，（当且仅当1=xx，即 x=1 时取“=”） 即21(0)xxyxx的最小值为 3； （3）令10txt，则226(1)1xxyxx可化为： 9942410ytttt 当且仅当 t=3 时取“=” 即 y 的最小值为 10 18、 （2020 江苏常州市 常州高级中学高一期中）已知0 x，0y ，4xyxya （1）当12a 时，求xy的最小值； （2）当0a时，求41xyxy的最小值 【解析】 （1）当12a 时，412xyxy，(4)12xyx，显然4x， 所以124xyx，由0y ，得4x， 所以124xxyxx(44)(4 16)4xxx2(4
15、)20(4)644xxx 644204xx642 (4)20364xx， 当且仅当12x ，3y 时等号成立， 所以xy的最小值为36. （2）当0a时，由4xyxya得4xyxy，得141yx， 所以41xyxy41()() 1xyxy44 11yxxy 4626410y xxy， 当且仅当6,3xy时，等号成立. 所以41xyxy的最小值为10. 19、 （2020 江苏省通州高级中学高一月考）已知,0a b,，1ab，求12yab的最小值. 解法如下：12122332 2bayabababab， 当且仅当2baab，即2 1a ，22b 时取到等号， 则12yab的最小值为32 2. 应
16、用上述解法，求解下列问题： （1）已知, ,0,a b c，1a b c ，求111yabc的最小值； （2）已知10,2x，求181 2yxx的最小值； （3）已知正数123,na a aaL，满足1231naaaaL.求证：2222312122334112nnaaaaaaaaaaaaL. 【解析】 （1）1a b c ， 1111113bacacbyabcabcabcabacbc 32229b ac ac ba ba cb c ， 当且仅当13abc时取等号，即111yabc的最小值为 9. （2）221 2221 2102821 221 221828xxyxxxxxxxx ， 而10,2
17、x 2 121228 22828212212xxxxxxxx 当且仅当2 1 28 221 2xxxx即16x 时取到等号，则18y ， 函数181 2yxx的最小值为 18， （3）1231naaaa， 22223121223112233412nnnaaaaSaaaaaaaaaaaaaaL 222222121223121212231nnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaLL 213412aaaaaL 2222121 2231122221nnnaaaaaa aa aaaaLLL 当且仅当121naaanL时取到等号，则12S . 20、 (本小题满分 12 分)某造纸厂拟建一座底面图形为矩
18、形且面积为 162 平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为 400 元/米，中间两道隔墙建造单价为 248 元/米，池底建造单价为 80 元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计 (1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价； (2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过 16 米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价 【解析】 (1)设污水处理池的宽为x米，则长为162x米 总造价 2 162( )400 (2)248 280 162f xxxx 1296 1001001296129601296() 12960 xx
19、xx 1001296 212960 xx38880（元） ， 当且仅100(0)xxx，即10 x 时取等号 当污水处理池的长为 162 米，宽为 10 米时总造价最低，总造价最低为 38 880 元 (2)由限制条件知016162016xx 81168x 设100 81( )(16)8g xxxx， ( )g x在81,168上是增函数，当818x 时(此时16216x)， ( )g x有最小值，即( )f x有最小值， 即为818001296 (+12960=38882881） (元) 当污水处理池的长为 16 米，宽为818米时总造价最低，总造价最低为 38 882 元 21、 （202
20、0 泰州市第二中学高二月考）关于 x 的不等式 ax2(a1)x10 （1）若 a=2 解关于 x 的不等式 ax2(a1)x10 解关于 x 的不等式 ax2(a1)x10 时，不等式可化为1()a xa(x1)0 ，故1()xa(x1)0 当 0a1，不等式的解集为1 |1xxa. 当 a1 时，不等式的解集为. 当 a1 时，1a1，不等式的解集为1 |1xxa. 综上，当 0a1 时，解集1 |1xxa. 22、 (本小题满分 13 分) 已知函数2( )( ,f xxbxc b cR ），对任意的xR，恒有( )( )fxf x (1)证明：当0 x时， 2( )()f xxc； (
21、2)若对满足题设条件的任意, b c，不等式22( )( )()f cf bM cb恒成立，求M的最小值 【解析】 (1)证明 易知( )2fxxb 由题设， 对任意2,2xRxbxbxc， 即2(2 )+0 xbx c b 恒成立， 2(2)4()0bcb，从而214bc 于是1c ，且2214bcb ， 2()0cbccb 故当0 x时，有2()( )(2)(1)0 xcf xcb xc c 即当0 x时， 2( )()f xxc (2)解 由(1)易知， cb 当cb时，有2222222( )( )2f cf bcbbcbcbMcbcbcb 令btc，则2111,21cbtcbt 而函数1( )2( 11)1g ttt 的值域是3.2 当 cb时，M 的取值集合为3,2 当cb时，由(1)易知，2,2bc 此时( )( )8f cf b或0,220cb， 从而223( )( )()2f cf bcb 综上所述，M的最小值为32