1、考点 06 基本不等式及应用 【命题解读】【命题解读】 基本不等式及其应用等，一般有两种命题方式：一是运用基本不等式研究函数的最值问题；二是以工具的形式，与充要条件、函数与导数、解析几何、三角函数、数列等综合考查. 【基础知识回顾基础知识回顾】 1、基本不等式 abab2 (1)基本不等式成立的条件：a0，b0. (2)等号成立的条件：当且仅当 ab. 2、算术平均数与几何平均数 设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为ab2，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 3、利用基本不等式求最值问题 已知 x0，y0，则 (1)如果 xy 是定值 p，
2、那么当且仅当 xy 时，xy 有最小值是 2 p (2)如果 xy 是定值 q，那么当且仅当 xy 时，xy 有最大值是q24 4、基本不等式的两种常用变形形式 (1)abab22(a，bR R，当且仅当 ab 时取等号) (2)ab2 ab(a0，b0，当且仅当 ab 时取等号) 5、几个重要的结论 (1)a2b22ab22. (2)baab2(ab0) (3) abab2 a2b22(a0，b0) 1、 （2021 潍坊市潍城区教育局月考）下列不等式一定成立的是（ ） Alg(x214)lgx(x0) Bsinx1sin x2(xk，kZ) C212xx xR D211x 1(xR) 2、
3、若正数,m n满足21mn，则11mn的最小值为（ ） A.32 2 B.32 C.22 2 D.3 3、（2020 湖南雅礼中学期中） （多选题）给出下面四个推断，其中正确的为（ ）. A若，则； B若则； C若，则； D若，则. 4、已知 a0, b0，且2a3b ab，则 ab 的最小值是_ 5、一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m，则这个矩形的长为_m，宽为_m 时菜园面积最大 6、(一题两空)若 a0，b0，且 a2b40，则 ab 的最大值为_，1a2b的最小值为_ 考向一 运用基本不等式求函数的最值 例 1、 （2020 届山东省泰安市高三上期末）
4、若33log21 logabab ，则2ab的最小值为（ ） A6 B83 C3 D163 变式 1、 （2020 届山东省滨州市三校高三上学期联考） 已知0a，0b， 若不等式41mabab恒成立，则 m 的最大值为（ ） A10 B12 C16 D9 ,(0,)a b2baab,(0,)x ylglg2 lglgxyxyaR0a44aa , x yR0 xy 2xyyx 变式 2、 (1)已知 0 x1，则 x(43x)取得最大值时 x 的值为_ (2)已知 x1)的最小值为_ 方法总结： (1)应用基本不等式求值域一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”所谓“一正”是指正数，“二
5、定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件如果不满足等号的成立条件就用函数的单调性求解 (2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑（或换元）出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式 考向二 基本不等式中 1 的运用 例 2、 （2020 届山东省济宁市高三上期末）已知奇函数 f x在 R 上单调,若正实数, a b满足490faf b ，则11ab的最小值是( ) A1 B92 C9 D18 变式 1、若正实数x y，满足1xy，则4yxy的最小值是 变式 2、 已知 a，b 为正数，且直线 axby60 与直线 2x(b3)y50 互
6、相平行，则2a3b 的最小值为_ 变式 3、已知正实数 a，b 满足 ab1，则bbaa421222的最小值为 方法总结：(1)利用常数“1”代换的方法构造积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值(2)“1”代换的方法可以求解形如【问题 2】中的“已知两正数之和为定值，求两数倒数和的最值”或“已知两正数倒数之和为定值， 求两正数和的最值”问题,是直接求解二元函数值域的一种方法 (3)解决问题时关注对已知条件和所求目标函数式的变形，使问题转化成可用“1”代换求解的模型 考向三 运用消参法解决不等式问题 例 3、(2017 苏北四市期末）. 若实数 x，y 满足 xy3x30 x12，则3x1y
7、3的最小值为_ 变式 1：（徐州、宿迁三检）若0,0ab，且11121abb+，则2ab+的最小值为 变式 2、设实数 x，y 满足 x22xy10，则 x2y2的最小值是_ 变式 3、已知正数, x yx，y 满足111xy，求4911xyxy的最小值 方法总结：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值 考向四 运用基本不等式解决含参问题 例 1、(2019 扬州期末）已知正实数 x，y 满足 x4yxy0，若 xym 恒成立，则实数 m 的取值范围为_ 变式 1、已知0,0ab，若不等式313maba
8、b恒成立，则m的最大值为_ 变式 2、 （1）已知函数 211()1xaxf xaRx，若对于任意*xN， 3f x 恒成立，则a的取值范围是_ (2)已知正数, x y满足2 2xxyxy恒成立，则实数的最小值为_ 方法总结：对于不等式中的成立问题，通常采取通过参数分离后，转化为求最值问题， 考点五、运用基本不等式解决实际问题 考向五 运用基本不等式解决实际问题 例 5、某工厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元，每生产 x 千件，需另投入成本为 C(x)，当年产量不足80 千件时，C(x)13x210 x(万元)当年产量不小于 80 千件时，C(x)51x10 000 x1 450(万
9、元)每件商品售价为 0.05 万元通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完 (1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 变式 1、小王于年初用 50 万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出 6 万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出 2 万元，假定该车每年的运输收入均为 25 万元小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第 x 年年底出售，其销售价格为25x万元(国家规定大货车的报废年限为 10 年) (1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？
10、(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润累计收入销售收入总支出) 变式 2、(2016 无锡期末）某公司生产的某批产品的销售量 P 万件(生产量与销售量相等)与促销费用 x 万元满足 Px24(其中 0 xa，a 为正常数)已知生产该批产品还需投入成本 6P1P万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为420P元/件 (1) 将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数； (2) 当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？ 方法总结：(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值 (2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围
11、 (3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解 1、 （2019 年高考浙江卷）若0,0ab，则“4ab”是 “4ab”的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 2、 （2020 山东月考）已知413m，则23143mm的最小值是（ ） A3 29 B36 C6 29 D12 3、 （2020 年高考江苏）已知22451( ,)x yyx yR，则22xy的最小值是 4、 （2019 年高考天津卷理数）设0,0,25xyxy，则(1)(21)xyxy的最小值为_ 5、 （2018 年高考天津卷理数）已知,a bR，且360ab，则128ab的最小值为 . 6、 （2020 年高考天津）已知0,0ab，且1ab ，则11822abab的最小值为_ 7、 （2020 泰安市泰山国际学校高三月考）求下列最值： （1）当32x 时，求函数823yxx的最大值； （2）设02,x求函数(42 )yxx的最大值. 8、运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50100 x(单位：千米/时)假设汽油的价格是每升 2 元，而汽车每小时耗油(22360 x)升，司机的工资是每小时14元 (1)求这次行车总费用y关于x的表达式； (2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值