1、2.6 对数与对数函数对数与对数函数 典例精析典例精析 题型一 对数的运算 【例 1】计算下列各题： (1)2(lg 2)2lg 2 lg 5(lg 2)2lg 21； (2)lg 2lg 5lg 8lg 50lg 40. 【解析】 (1)原式2 (12lg 2)212lg 2lg 5(lg 21)2 12lg 2(lg 2lg 5)112lg 21. (2)原式lg2 58lg5040lg54lg541. 【点拨】运用对数的运算性质以及式子的恒等变形. 【变式训练 1】已知 log89a，log25b，用 a，b 表示 lg 3 为 . 【解析】由lg 33a22b. 题型二 对数函数性质的
2、应用 【例 2】设函数 f(x)loga(x2) (a0，且 a1). (1)求函数f(x)经过的定点坐标； (2)讨论函数 f(x)的单调性； (3)解不等式 log3(x2)1. 【解析】(1)当 x3 时，loga10 恒成立，所以函数 f(x)所经过的定点坐标为(3,0). ba2 lg2 lg1,2 lg33 lg2(2)当 a1 时， 函数 f(x)在区间(2， )上为单调递增函数； 当 0a1 时， 函数 f(x)在区间(2，)上为单调递减函数. (3)不等式 log3(x2)1 等价于不等式组 解得 2x5，所以原不等式的解集为(2,5). 【变式训练 2】已知函数 f(x)若
3、 f(x)在(，)上单调递增，则实数 a 的取值范围为 . 【解析】要保证函数 f(x)在(，)上单调递增，则分段函数应该在各自定义域内分别单调递增.若 f(x)(a2)x1 在区间(，1上单调递增，则 a20，即 a2.若 f(x)logax 在区间(1，)上单调递增，则 a1.另外要保证函数 f(x)在(，)上单调递增还必须满足(a2) 11loga10，即 a3.故实数 a 的取值范围为 2a3. 题型三 对数函数综合应用 【例 3】已知函数 f(x)loga(3ax). (1)当x0,2时，函数 f(x)恒有意义，求实数 a 的取值范围； (2)是否存在这样的实数 a， 使得函数 f(
4、x)在区间1,2上为减函数， 并且最大值为 1？如果存在，试求出 a 的值；如果不存在，请说明理由. 【解析】(1)由题设知 3ax0 对一切 x0,2恒成立，a0，且 a1. 因为 a0，所以 g(x)3ax 在0,2上为减函数， 从而 g(2)32a0，所以 a32， 所以 a 的取值范围为(0,1)(1，32). (2)假设存在这样的实数 a，由题设知 f(1)1， 即 loga(3a)1，所以 a32， , 32, 02xx1,log, 1, 1)2(xxxxaa此时 f(x)(332x). 当 x2 时，f(x)没有意义，故这样的实数不存在. 【点拨】 这是一道探索性问题， 注意函数
5、、 方程、 不等式之间的相互转化， 存在性问题的处理，一般是先假设存在，再结合已知条件进行转化求解，如推出矛盾，则不存在，反之，存在性成立. 【变式训练 3】给出下列四个命题： 函数 f(x)ln x2x 在区间(1，e)上存在零点； 若 f(x0)0，则函数 yf(x)在 xx0 处取得极值； 若 m1，则函数 y(x22xm)的值域为 R； “a1”是“函数 f(x)aex1aex在定义域上是奇函数”的充分不必要条件. 则其中正确的序号是 (把全部正确命题的序号都填上). 【解析】因为 f(1)ln 12110，f(e)ln e2ee10，故函数 f(x)在区间(1，e)上存在零点，命题正
6、确；对于函数 f(x)x3 来说，f(x)3x2，显然有 f(0)0，但 f(x)在定义域上为增函数，故 x0 不是函数的极值点，命题错误；令 tx22xm，若 m1，则(2)24 1 (m)44m0，所以 tx22xm 可以取遍所有的正数，所以函数 y(x22xm)的值域为 R，命题正确；由 f(x)f(x)，可得aex1aexaex1aex，解得 a 1，即函数 f(x)为奇函数的充要条件为 a 1，故 “a1”是“函数 f(x)aex1aex为奇函数”的充分不必要条件，所以命题正确.综上所述，正确的命题为. 总结提高 1.熟练运用对数的运算公式是解决对数运算的基础和前提，运用对数的运算法则，要注意各字23log21log21log母的取值范围，同时，不要将积、商、幂、方根的对数与对数的积、商、幂、方根混淆起来. 2.研究对数问题时，要尽量化成同底，另外，研究对数问题时要注意对数的底数与真数的限制条件. 3.对数函数的重要性质是单调性，比较大小是单调性的重要运用，在比较时，通常利用函数的单调性或借助于中间量1,0,1 来比较，但要注意分类讨论. 4.利用对数函数的概念、图象、性质讨论一些函数的应用问题是常考题型，应注意数形结合、分类讨论、化归等数学思想方法的灵活运用.