1、 5.4 三角恒等变换三角恒等变换 典例精析典例精析 题型一 三角函数的求值 【例 1】已知 04，04，3sin sin(2)，4tan 21tan22，求 的值. 【解析】由 4tan 21tan22，得 tan 2 tan12 tan2212. 由 3sin sin(2)得 3sin()sin()， 所以 3sin()cos 3cos()sin sin()cos cos()sin ， 即 2sin()cos 4cos()sin ，所以 tan()2tan 1. 又因为 、(0，4)，所以 4. 【点拨】三角函数式的化简与求值的主要过程是三角变换，要善于抓住 已知条件与目标之间的结构联系，
2、找到解题的突破口与方向. 【变式训练 1】如果 tan()35，tan(4)14，那么 tan(4)等于( ) A.1318 B.1322 C.723 D.318 【解析】因为 4()(4)， 所以 tan(4)tan()(4)tan()tan(4)1tan()tan(4)723. 故选 C. 题型二 等式的证明 【例 2】求证：sin sin sin(2)sin 2cos(). 【证明】证法一： 右边sin ()2cos()sin sin sin()cos cos()sin sin sin ()sin sin sin 左边. 证法二：sin(2)sin sin sin sin(2)sin s
3、in 2cos()sin sin 2cos()， 所以sin(2)sin 2cos()sin sin . 【点拨】证法一将 2 写成()，使右端的角形式上一致，易于共同运算；证法二把握结构特征，用“变更问题法”证明，简捷而新颖. 【变式训练 2】已知 5sin 3sin(2)，求证：tan()4tan 0. 【证明】因为 5sin 3sin(2)，所以 5sin()3sin()， 所以 5sin()cos 5cos()sin 3sin()cos 3cos()sin ， 所以 2sin()cos 8cos()sin 0. 即 tan()4tan 0. 题型三 三角恒等变换的应用 【例 3】已知A
4、BC 是非直角三角形. (1)求证：tan Atan Btan Ctan Atan Btan C； (2)若 AB 且 tan A2tan B，求证：tan Csin 2B3cos 2B； (3)在(2)的条件下，求 tan C 的最大值. 【解析】(1)因为 C(AB)， 所以 tan Ctan(AB)(tan Atan B)1tan Atan B， 所以 tan Ctan Atan Btan Ctan Atan B， 即 tan Atan Btan Ctan Atan Btan C. (2)由(1)知 tan C(tan Atan B)1tan Atan Btan B12tan2Bsin
5、Bcos Bcos2B2sin2B)2cos2(22 sinBB sin 2B2(21cos 2B2)sin 2B3cos 2B. (3)由(2)知 tan Ctan B12tan2B12tan B1tan B12 224， 当且仅当 2tan B1tan B，即 tan B22时，等号成立. 所以 tan C 的最大值为24. 【点拨】 熟练掌握三角变换公式并灵活地运用来解决与三角形有关的问题，要有较明确的目标意识. 【变式训练 3】 在ABC 中， tan Btan C 3tan Btan C 3， 3tan A 3tan B1tan Atan B，试判断ABC 的形状. 【解析】由已知得 tan Btan C 3(1tan Btan C)， 3(tan Atan B)(1tan Atan B)， 即tan Btan C1tan Btan C 3，tan Atan B1tan Atan B33. 所以 tan(BC) 3，tan(AB)33. 因为 0BC，0AB，所以 BC3，AB56. 又 ABC，故 A23，BC6. 所以ABC 是顶角为23的等腰三角形. 总结提高 三角恒等式的证明，一般考虑三个“统一”：统一角度，即化为同一个角的三角函数；统一名称，即化为同一种三角函数；统一结构形式.