1、 5.5 三角函数的图象和性质三角函数的图象和性质 典例精析典例精析 题型一 三角函数的周期性与奇偶性 【例 1】已知函数 f(x)2sin x4cos x4 3cos x2. (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)令 g(x)f(x3)，判断 g(x)的奇偶性. 【解析】(1)f(x)2sin x4cos x4 3cos x2sin x2 3cos x22sin(x23)， 所以 f(x)的最小正周期 T2124. (2)g(x)f(x3)2sin12(x3)32sin(x22)2cos x2. 所以 g(x)为偶函数. 【点拨】解决三角函数的有关性质问题，常常要化简三角函数. 【变式
2、训练 1】函数 ysin2xsin xcos x 的最小正周期 T 等于( ) A.2 B. C.2 D.3 【解析】y1cos 2x212sin 2x22(22sin 2x22cos 2x)12 22sin(2x4)12，所以 T22.故选 B. 题型二 求函数的值域 【例 2】求下列函数的值域： (1)f(x)sin 2xsin x1cos x； (2)f(x)2cos(3x)2cos x. 【解析】(1)f(x)2sin xcos xsin x1cos x2cos x(1cos2x)1cos x2cos2x2cos x 2(cos x12)212， 当 cos x1 时，f(x)max4
3、，但 cos x1，所以 f(x)4， 当 cos x12时，f(x)min12，所以函数的值域为12，4). (2)f(x)2(cos 3cos xsin 3sin x)2cos x 3cos x 3sin x2 3cos(x6)， 所以函数的值域为2 3，2 3. 【点拨】求函数的值域是一个难点，分析函数式的特点，具体问题具体分析，是突破这一难点的关键. 【变式训练 2】求 ysin xcos xsin xcos x 的值域. 【解析】令 tsin xcos x，则有 t212sin xcos x，即 sin xcos xt212. 所以 yf(t)tt21212(t1)21. 又 tsi
4、n xcos x 2sin(x4)，所以 2t 2. 故 yf(t)12(t1)21( 2t 2)， 从而 f(1)yf( 2)，即1y 212. 所以函数的值域为1， 212. 题型三 三角函数的单调性 【例 3】已知函数 f(x)sin(x)(0，|)的部分图象如图所示. (1)求 ， 的值； (2)设 g(x)f(x)f(x4)，求函数 g(x)的单调递增区间. 【解析】(1)由图可知，T4(24)，2T2. 又由 f(2)1 知，sin()1，又 f(0)1，所以 sin 1. 因为|，所以 2. (2)f(x)sin(2x2)cos 2x. 所以 g(x)(cos 2x)cos(2x
5、2)cos 2xsin 2x12sin 4x. 所以当 2k24x2k2，即k28xk28(kZ)时 g(x)单调递增. 故函数 g(x)的单调增区间为k28，k28(kZ). 【点拨】观察图象，获得 T 的值，然后再确定 的值，体现了数形结合的思想与方法. 【变式训练 3】使函数 ysin(62x)(x0，)为增函数的区间是( ) A.0，3 B.12，712 C.3，56 D.56， 【解析】利用复合函数单调性“同增异减”的原则判定，选 C. 总结提高总结提高 1.求三角函数的定义域和值域应注意利用三角函数图象. 2.三角函数的最值都是在给定区间上得到的，因而特别要注意题设中所给的区间. 3.求三角函数的最小正周期时，要尽可能地化为三角函数的一般形式，要注意绝对值、定义域对周期的影响. 4.判断三角函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性.