1、1.3 简易逻辑联结词、全称量词与存在量词简易逻辑联结词、全称量词与存在量词 典例精析典例精析 题型一 全称命题和特称命题的真假判断 【例 1】判断下列命题的真假. (1)xR，都有 x2x112； (2)， 使 cos()cos cos ； (3)x，yN，都有 xyN； (4)x0，y0Z，使得 2x0y03. 【解析】(1)真命题，因为 x2x1(x12)2343412. (2)真命题，例如 4，2，符合题意. (3)假命题，例如 x1，y5，但 xy4N. (4)真命题，例如 x00，y03，符合题意. 【点拨】全称命题是真命题，必须确定对集合中的每一个元素都成立，若是假命题，举反例即
2、可；特称命题是真命题，只要在限定集合中，至少找到一个元素使得命题成立. 【变式训练 1】已知命题 p：xR，使 tan x1，命题 q：xR，x20.则下面结论正确的是( ) A.命题“pq”是真命题 B.命题“pq”是假命题 C.命题“pq”是真命题 D.命题“pq”是假命题 【解析】选 D.先判断命题 p和 q 的真假，再逐个判断.容易知命题 p 是真命题，如 x4，p是假命题； 因为当 x0 时， x20， 所以命题 q 是假命题，q 是真命题.所以“pq”是假命题，A 错误；“pq”是真命题，B 错误；“pq”是假命题，C 错误；“pq”是假命题，D正确. 题型二 含有一个量词的命题的
3、否定 【例 2】写出下列命题的否定，并判断其真假. (1)p：xR，x2x140； (2)q：所有的正方形都是矩形； (3)r：xR，x22x20； (4)s：至少有一个实数 x，使 x310. 【解析】(1) p： xR，x2x140，是假命题. (2) q：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题. (3) r：xR，x22x20，是真命题. (4) s：xR，x310，是假命题. 【点拨】含有一个量词的命题否定中，全称命题的否定是特称命题，而特称命题的否定是全称命题，一般命题的否定则是直接否定结论即可. 【变式训练 2】已知命题 p：x(1，)，log3x0，则p 为 . 【解析】x0(1，
4、)，log3x00. 题型三 命题的真假运用 【例 3】若 r(x)：sin xcos xm，s(x)：x2mx10，如果“对任意的 xR，r(x)为假命题”且“对任意的 xR，s(x)为真命题”，求实数 m 的取值范围. 【解析】因为由 msin xcos x 2sin(x4)恒成立，得 m 2； 而由 x2mx10 恒成立，得 m240，即2m2. 依题意，r(x)为假命题且 s(x)为真命题，所以有 m 2且2m2， 故所求 m 的取值范围为 2m2. 【点拨】先将满足命题 p、q 的 m 的取值集合 A、B 分别求出，然后由 r(x)为假命题(取 A 的补集)，s(x)为真命题同时成立
5、(取交集)即得. 【变式训练 3】(2013 广东模拟)设 M 是由满足下列性质的函数 f(x)构成的集合：在定义域内存在 x0，使得 f(x01)f(x0)f(1)成立.已知下列函数：f(x)1x；f(x)2x；f(x)lg(x22)；f(x)cos x，其中属于集合 M 的函数是 (写出所有满足要求的函数的序号). 【解析】.对于，方程1x11x1，显然无实数解； 对于，由方程 2x12x2，解得 x1； 对于，方程 lg(x1)22lg(x22)lg 3，显然也无实数解； 对于，方程 cos(x1)cos xcos ， 即 cos x12，显然存在 x 使等式成立.故填. 总结提高 1.同一个全称命题，特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活选择. 2.命题的否定，一定要注意与否命题的区别：全称命题的否定，先要将它变成特称命题，然后将结论加以否定；反过来，对特称命题的否定，先将它变成全称命题，然后对结论加以否定.而命题的否命题，则是将原命题中的条件否定当条件，结论否定当结论构成一个新的，即否命题.