1、 2.4 二次函数二次函数 典例精析典例精析 题型一 求二次函数的解析式 【例 1】已知二次函数 yf(x)的图象的对称轴方程为 x2，在 y 轴上的截距为 1，在 x 轴上截得的线段长为 2 2，求 f(x)的解析式. 【解析】设 f(x)ax2bxc (a0)，由已知有 解得 a12，b2，c1，所以 f(x)12x22x1. 【点拨】求二次函数的解析式，要根据已知条件选择恰当的形式，三种形式可以相互转化，若二次函数图象与 x 轴相交，则两点间的距离为|x1x2|b24ac|a|. 【变式训练 1】已知二次函数 yx2bxc 的图象过点 A(c,0)，且关于直线 x2 对称，则这个二次函数
2、的解析式是 . 【解析】由已知 xc 为它的一个根，故另一根为 1. 所以 1bc0，又b22b4，所以 c3. 所以 f(x)x24x3. 题型二 二次函数的最值 【例 2】已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a，且不等式 f(x)2x 的解集为(1,3). (1)若方程 f(x)6a0 有两个相等实根，求 f(x)的解析式； (2)若 f(x)的最大值为正数，求 a 的取值范围. 【解析】(1)因为 f(x)2x0 的解集为(1,3). 所以 f(x)a(x1)(x3)2xax2(24a)x3a. 由 f(x)6a0ax2(24a)x9a0， 由知，(24a)24a 9a05a24a10
3、，所以 a1 或 a15. 因为 a0，所以 a15，代入得 f(x)15x265x35. (2)由于 f(x)ax22(12a)x3aa(x12aa)2a24a1a， 又 a0，可得f(x)maxa24a1a. 由a2 3或2 3a0. 【点拨】(1)利用 0；(2)利用配方法. 【变式训练 2】已知二次函数 yx22x3 在区间0，m上有最大值 3 和最小值 2，则 m 的取值范围是 . 【解析】1,2. 题型三 二次函数在方程、不等式中的综合应用 【例 3】 设函数 f(x)ax2bxc (a0)， x1x2， f(x1)f(x2)， 对于方程 f(x)12 f(x1)f(x2)，求证：
4、 (1)方程在区间(x1，x2)内必有一解； (2)设方程在区间(x1，x2)内的根为 m，若 x1，m12，x2成等差数列，则b2am2. 【证明】(1)令 g(x)f(x)12 f(x1)f(x2)， 则 g(x1)g(x2)12 f(x1)f(x2) 12 f(x2)f(x1)14 f(x1)f(x2)20， 所以方程 g(x)0 在区间(x1，x2)内必有一解. (2)依题意 2m1x1x2，即 2mx1x21， 又 f(m)12 f(x1)f(x2)，即 2(am2bmc)ax2 1bx1cax2 2bx2c. 0, 0142aaaa整理得 a(2m2x2 1x2 2)b(2mx1x
5、2)0， a(2m2x2 1x2 2)b0， 所以b2am2x2 1x2 22m2. 【点拨】二次方程 ax2bxc0 的根的分布问题，一般情况下，需要从三个方面考虑：判别式；区间端点对应二次函数的函数值的正负；相应二次函数的对称轴 xb2a与区间的位置关系. 【变式训练 3】 已知 f(x)(xa)(xb)2(ab)， ， 是 f(x)0 的两根()， 则实数 ， ，a，b 大小关系为( ) A.ab B.ab C.ab D.ab 【解析】A. 总结提高 1.二次函数的表达式有多种形式，形式的选择要依据题目的已知条件和所求结论的特征而定. 2.利用二次函数的知识解题始终要把握二次函数图象的关键要素：开口方向；对称轴；与坐标轴的交点. 3.二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，相互渗透，解题时要注意三者的相互转化，重视用函数思想处理方程和不等式问题.